2012年高考文科数学陕西卷试题与答案.doc

2012年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题 集合,则（）AB CD 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）ABCD 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是 1234562 50 2 3 31 2 4 4 8 95 5 5 7 7 8 8 90 0 1 1 4 7 91 7 8（）A46,45,56 B46,45,53 C47,45,56 D45,47,53 设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的( )（）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件否是是否开始输出q结束输入成绩 下图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图,则图中空白框内应填入（）Aq = Bq = Cq = Dq = 已知圆,过点的直线,则 A与相交B与相切 C与相离D以上三个选项均有可能 设向量=(1.)与=(-1, 2)垂直,则等于 A BC0D-1 将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为 设函数f(x)=+lnx 则（）Ax=为f(x)的极大值点Bx=为f(x)的极小值点 Cx=2为 f(x)的极大值点Dx=2为 f(x)的极小值点小王从甲地到乙地的时速分别为和b(b),其全程的平均时速为v,则（）AavBv=CvDv=二、填空题设函数则 观察下列不等式,照此规律,第五个不等式为 在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为,b,c,若=2 ,B=,c=2,则b= _右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.若存在实数使成立,则实数的取值范围是_如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,垂足为F,若,则_直线与圆相交的弦长为_三、解答题已知等比数列的公比为q=-.(1)若=,求数列的前n项和;()证明:对任意,成等差数列函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为,(1)求函数的解析式;(2)设,则,求的值直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,=来源:学+科+网()证明; ()已知AB=2,BC=,求三棱锥的体积假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:1020302515102540205403020100100 150 200 250 300 350 寿命：小时403020100频数甲品牌100 150 200 250 300 350 寿命：小时乙品牌频数()估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;()这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率。已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,求直线的方程设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设n为偶数,求b+3c的最小值和最大值;(3)设,若对任意,有,求的取值范围;参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）（2012陕西）集合M=x|lgx0，N=x|x24，则MN=（）A（1，2）B1，2）C（1，2D1，2考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算菁优网版权所有专题：计算题分析：先求出集合M、N，再利用两个集合的交集的定义求出 MN解答：解：M=x|lgx0=x|x1，N=x|x24=x|2x2，MN=x|1x2，故选C点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题2（5分）（2012陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）Ay=x+1By=x2CDy=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明菁优网版权所有专题：探究型分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，f（x）=x|x|=f（x）；f（x）=x|x|=，函数是增函数故选D点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题3（5分）（2012陕西）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （）A46，45，56B46，45，53C47，45，56D45，47，53考点：茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差菁优网版权所有专题：计算题分析：直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可解答：解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46众数是45，极差为：6812=56故选：A点评：本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力4（5分）（2012陕西）设a，bR，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：计算题分析：利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件解答：解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=abi为纯虚数，所以a=0并且b0，所以ab=0，因此a，bR，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件故选B点评：本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用5（5分）（2012陕西）如图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）Aq=Bq=Cq=Dq=考点：循环结构菁优网版权所有专题：计算题分析：通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式解答：解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入故选D点评：本题考查循环框图的应用，考查计算能力6（5分）（2012陕西）已知圆C：x2+y24x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）Al与C相交Bl与C相切Cl与C相离D以上三个选项均有可能考点：直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：计算题分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x2）2+y2=4，圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d=12=r，点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交故选A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定：当dr时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相离（d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）7（5分）（2012陕西）设向量=（1，cos）与=（1，2cos）垂直，则cos2等于 （）ABC0D1考点：二倍角的余弦；数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有专题：计算题分析：由两向量的坐标，以及两向量垂直，根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积为0，得出2cos21的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将2cos21的值代入即可求出值解答：解：=（1，cos），=（1，2cos），且两向量垂直，=0，即1+2cos2=0，则cos2=2cos21=0故选C点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键8（5分）（2012陕西）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）ABCD考点：简单空间图形的三视图菁优网版权所有专题：计算题分析：直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可解答：解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线如图B故选B点评：本题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力9（5分）（2012陕西）设函数f（x）=+lnx，则（）Ax=为f（x）的极大值点Bx=为f（x）的极小值点Cx=2为 f（x）的极大值点Dx=2为 f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先求出其导函数，并找到导函数大于0和小于0对应的区间，即可求出结论解答：解：f（x）=+lnx；f（x）=+=；x2f（x）0；0x2f（x）0x=2为f（x）的极小值点故选：D点评：本题主要考察利用导数研究函数的极值解决这类问题的关键在于先求出其导函数，并求出其导函数大于0和小于0对应的区间10（5分）（2012陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（）AavBv=CvDv=考点：基本不等式菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v=及0ab，利用基本不等式及作差法可比较大小解答：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v=0aba+b0va=va综上可得，故选A点评：本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）（2012陕西）设函数发f（x）=，则f（f（4）=4考点：函数的值菁优网版权所有专题：计算题分析：利用分段函数先求f（4），然后再求f（f（4）的值解答：解：因为函数，所以f（4）=16，所以f（f（4）=f（16）=4故答案为：4点评：本题考查函数的值的求法，注意分段函数的定义域的应用，考查计算能力12（5分）（2012陕西）观察下列不等式：，照此规律，第五个不等式为1+考点：归纳推理菁优网版权所有专题：探究型分析：由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式解答：解：由已知中的不等式1+，1+，得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是 1+，（n2），所以第五个不等式为1+故答案为：1+点评：本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性13（5分）（2012陕西）在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=2考点：余弦定理菁优网版权所有专题：计算题分析：由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b即可解答：解：由余弦定理可知b2=a2+c22accosB=22+222=4因为b是三角形的边长，所以b=2故答案为：2点评：本题考查余弦定理的应用，考查计算能力14（5分）（2012陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为2米考点：抛物线的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=3代入抛物线方程求得x0进而得到答案解答：解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，2）代入x2=my，得m=2x2=2y，代入B（x0，3）得x0=，故水面宽为2m故答案为：2点评：本题主要考查抛物线的应用考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力15（5分）（2012陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A（不等式选做题）若存在实数x使|xa|+|x1|3成立，则实数a的取值范围是2a4B（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DFDB=5C（坐标系与参数方程）直线2cos=1与圆=2cos相交的弦长为考点：绝对值不等式的解法；直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：计算题；作图题；压轴题分析：A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围B；利用相交弦定理AEEB=CEED，ABCD可得DE=；在RtEDB中，由射影定理得：DE2=DFDB=5，即得答案；C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x1）2+y2=1，从而可得相交弦长解答：解：A存在实数x使|xa|+|x1|3成立，而|xa|+|x1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|xa|+|x1|3，2a4，故答案为：2a4B；AB=6，AE=1，由题意可得AECDEB，DE=CE，DECE=AEEB=15=5，即DE=在RtEDB中，由射影定理得：DE2=DFDB=5故答案为：5C；2cos=1，2x=1，即x=；又圆=2cos的普通方程由2=2cos得：x2+y2=2x，（x1）2+y2=1，圆心（1，0）到直线x=的距离为，相交弦长的一半为=，相交弦长为故答案为：点评：本题A考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，求出|xa|+|x1|的最大值是3是解题的关键，考查作图与理解能力，属于中档题本题B考查与圆有关的比例线段，掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键，而C着重简单曲线的极坐标方程，化普通方程是关键，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16（12分）（2012陕西）已知等比数列an的公比为q=（）若a3=，求数列an的前n项和；（）证明：对任意kN+，ak，ak+2，ak+1成等差数列考点：等比数列的前n项和；等差关系的确定菁优网版权所有专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）由 a3=a1q2，以及q=可得 a1=1，代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果（）对任意kN+，化简2ak+2（ak +ak+1）为 （2q2q1），把q=代入可得2ak+2（ak +ak+1）=0，故 ak，ak+2，ak+1成等差数列解答：解：（）由 a3=a1q2，以及q=可得 a1=1数列an的前n项和 sn=（）证明：对任意kN+，2ak+2（ak +ak+1）=2a1qk+1=（2q2q1）把q=代入可得2q2q1=0，故2ak+2（ak +ak+1）=0，故 ak，ak+2，ak+1成等差数列点评：本题主要考查等差关系的确定，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题17（12分）（2012陕西）函数（A0，0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出，得到函数的解析式（2）通过，求出，通过的范围，求出的值解答：解：（1）函数f（x）的最大值为3，A+1=3，即A=2，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=，所以=2故函数的解析式为y=2sin（2x）+1（2），所以，点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力18（12分）（2012陕西）直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，CAB=（）证明：CB1BA1；（）已知AB=2，BC=，求三棱锥C1ABA1的体积考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（I）连接AB1，根据ABCA1B1C1是直三棱柱，得到平面ABC平面ABB1A1，结合ACAB，可得AC平面ABB1A1，从而有ACBA1，再在正方形ABB1A1中得到AB1BA1，最后根据线面垂直的判定定理，得到BA1平面ACB1，所以CB1BA1； （II）在RtABC中，利用勾股定理，得到AC=1，又因为直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1=AC=1且AC平面ABB1A1，得到A1C1是三棱锥C1ABA1的高，且它的长度为1再根据正方形ABB1A1面积得到ABA1的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱锥C1ABA1的体积为解答：解：（I）连接AB1，ABCA1B1C1是直三棱柱，平面ABC平面ABB1A1，又平面ABC平面ABB1A1=AB，ACAB，AC平面ABB1A1，BA1平面ABB1A1，ACBA1，矩形ABB1A1中，AB=AA1，四边形ABB1A1是正方形，AB1BA1，又AB1、CA是平面ACB1内的相交直线，BA1平面ACB1，CB1平面ACB1，CB1BA1； （II）AB=2，BC=，RtABC中，AC=1直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1=AC=1又ACA1C1，AC平面ABB1A1，A1C1是三棱锥C1ABA1的高ABA1的面积等于正方形ABB1A1面积的一半=AB2=2三棱锥C1ABA1的体积为V=A1C1=点评：本题根据底面为直角三角形的直三棱柱，证明线面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查了直线与平面垂直的性质与判定和锥体体积公式等知识点，属于中档题19（12分）（2012陕西）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图菁优网版权所有专题：计算题；数形结合分析：（）先从频数分布图中得到甲品牌产品寿命小于200小时的个数，与总数相比求出频率，即可得到概率；（）先求出已使用了200小时的产品总数，再找到是甲品牌的个数，二者相比即可得到结论解答：解：（）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为：=，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为：（）根据抽样结果寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为：点评：本题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力是对基础知识的考察，解题的关键在于能读懂频数分布直方图20（13分）（2012陕西）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），根据，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用，即可求得直线AB的方程解答：解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为b=2，a=4椭圆C2的方程为；（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上设AB的方程为y=kx将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，=4，解得k=1，AB的方程为y=x点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解21（14分）（2012陕西）设函数fn（x）=xn+bx+c（nN+，b，cR）（1）设n2，b=1，c=1，证明：fn（x）在区间（，1）内存在唯一的零点；（2）设n为偶数，|f（1）|1，|f（1）|1，求b+3c的最小值和最大值；（3）设n=2，若对任意x1，x21，1，有|f2（x1）f2（x2）|4，求b的取值范围考点：函数恒成立问题；函数零点的判定定理；简单线性规划的应用菁优网版权所有专题：计算题；证明题；综合题；压轴题分析：（1）当b=1，c=1，n2时，fn（x）=xn+x1，易求fn（）fn（1）0，再用导数判断f（x）的单调性即可使结论得证；（2）解法一，由题意知，即，作出图，用线性规划的知识即可使问题解决；解法二，由1f（1）=1+b+c1，即2b+c0，1f（1）=1b+c1，即2b+c0，由可求得：6b+3c0，问题即可解决；解法三 由题意知，解得b=，c=，b+3c=2f（1）+f（1）3，由6b+3c0，可得答案；（3）当n=2时，f（x）=x2+bx+c，对任意x1，x21，1，有|f2（x1）f2（x2）|4，等价于在1，1上最大值与最小值之差M4，据此分类讨论解决即可解答：解：（1）当b=1，c=1，n2时，fn（x）=xn+x1fn（）fn（1）=（）10，fn（x）在区间内存在零点，又当x（，1）时，fn（x）=nxn1+10，fn（x）在（，1）上单调递增，fn（x）在区间内存在唯一的零点；（2）解法一 由题意知，即由图象知b+3c在点（0，2）取到最小值6，在点（0，0）处取到最大值0，b+3c的最小值为6，最大值为0；解法二 由题意知1f（1）=1+b+c1，即2b+c0，1f（1）=1b+c1，即2b+c0，2+得：62（b+c）+（b+c）=b+3c0，当b=0，c=2时，b+3c=6；当b=c=0时，b+3c=0；b+3c的最小值为6，最大值为0；解法三 由题意知，解得b=，c=，b+3c=2f（1）+f（1）3，1f（1）1，1f（1）1，6b+3c0，当b=0，c=2时，b+3c=6；当b=c=0，时，b+3c=0；b+3c的最小值为6，最大值为0；（3）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x21，1，有|f2（x1）f2（x2）|4，等价于在1，1上最大值与最小值之差M4，据此分类讨论如下：（i）当1，即|b|2，M=|f2（1）f2（1）|=2|b|4，与题设矛盾；（ii）当10，即0b2时，M=f2（1）f2（）=4恒成立，（iii）当01，即2b0时，M=f2（1）f2（）=4恒成立，综上所述，2b2点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数零点存在性定理的应用，考查线性规划的应用，也考查不等式的性质，考查绝对值的应用，渗透转化思想，方程思想，分类讨论思想，数形结合思想的考查，综合性极强，运算量大，难度高，属于难题20