2012年高考文科数学陕西卷试题与答案.doc

2012年陕西省高考数学试卷（文科）

一、选择题
．集合,,则 （　　）
A． B． C D．
．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （　　）
A． B． C． D．
．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是
1
2
3
4
5
6
2 5
0 2 3 3
1 2 4 4 8 9
5 5 5 7 7 8 8 9
0 0 1 1 4 7 9
1 7 8
（　　）
A．46,45,56 B．46,45,53
C．47,45,56 D．45,47,53

．设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的( ) （　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
否
是
是
否
开始

输出q
结束
输入成绩
．下图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图,则图中空白框内应填入 （　　）
A．q = B．q =
C．q = D．q =

．已知圆,过点的直线,则
A与相交 B．与相切 C与相离 D．以上三个选项均有可能
．设向量=(1.)与=(-1, 2)垂直,则等于
A B C．0 D．-1
．将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为

．设函数f(x)=+lnx 则 （　　）
A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
．小王从甲地到乙地的时速分别为和b(<b),其全程的平均时速为v,则 （　　）
A．a<v< B．v= C．<v< D．v=

二、填空题
．设函数则 ．

．观察下列不等式

,

……
照此规律,第五个不等式为
．在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为,b,c,若=2 ,B=,c=2,则b= ______
．右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.

．若存在实数使成立,则实数的取值范围是______
．如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,,垂足为F,若,,则________
．直线与圆相交的弦长为_______
三、解答题
．已知等比数列的公比为q=-.
(1)若=,求数列的前n项和;
(Ⅱ)证明:对任意,,,成等差数列
．函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为,
(1)求函数的解析式;
(2)设,则,求的值
．
直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,=[来源:学+科+网]

(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)已知AB=2,BC=,求三棱锥 的体积

．
假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:
10
20
30
25
15
10
25
40
20
5
40
30
20
10
0
100 150 200 250 300 350 寿命：小时
40
30
20
10
0
频数
甲品牌
100 150 200 250 300 350 寿命：小时
乙品牌
频数

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(Ⅱ)这两种品牌产品中,,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率。

．
已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程
．
设函数
(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;
(2)设n为偶数,,,求b+3c的最小值和最大值;
(3)设,若对任意,有,求的取值范围;

参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）（2012•陕西）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（　　）

A．
（1，2）
B．
[1，2）
C．
（1，2]
D．
[1，2]

考点：
对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先求出集合M、N，再利用两个集合的交集的定义求出 M∩N．
解答：
解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，
∴M∩N={x|1＜x≤2}，
故选C．
点评：
本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．

2．（5分）（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

A．
y=x+1
B．
y=﹣x2
C．

D．
y=x|x|

考点：
函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；
对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．
解答：
解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；
对于B，是偶函数，不符合题意；
对于C，是奇函数，但不是增函数；
对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数
故选D．
点评：
本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．

3．（5分）（2012•陕西）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （　　）

A．
46，45，56
B．
46，45，53
C．
47，45，56
D．
45，47，53

考点：
茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．
解答：
解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46．
众数是45，极差为：68﹣12=56．
故选：A．

点评：
本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．

4．（5分）（2012•陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（　　）

A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件

C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件

考点：
复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．
解答：
解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；
复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，
因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．
故选B．
点评：
本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用．

5．（5分）（2012•陕西）如图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（　　）

A．
q=
B．
q=
C．
q=
D．
q=

考点：
循环结构．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式．
解答：
解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，
所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入．
故选D．
点评：
本题考查循环框图的应用，考查计算能力．

6．（5分）（2012•陕西）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（　　）

A．
l与C相交
B．
l与C相切

C．
l与C相离
D．
以上三个选项均有可能

考点：
直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．
解答：
解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，
∴圆心C（2，0），半径r=2，
又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，
∴点P在圆C内，又直线l过P点，
则直线l与圆C相交．
故选A．
点评：
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离（d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）．

7．（5分）（2012•陕西）设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于 （　　）

A．

B．

C．
0
D．
﹣1

考点：
二倍角的余弦；数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由两向量的坐标，以及两向量垂直，根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积为0，得出2cos2θ﹣1的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将2cos2θ﹣1的值代入即可求出值．
解答：
解：∵=（1，cosθ），=（﹣1，2cosθ），且两向量垂直，
∴•=0，即﹣1+2cos2θ=0，
则cos2θ=2cos2θ﹣1=0．
故选C
点评：
此题考查了平面向量的数量积运算法则，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

8．（5分）（2012•陕西）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．
解答：
解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，
后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，
B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．
如图B．
故选B．

点评：
本题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力．

9．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=+lnx，则（　　）

A．
x=为f（x）的极大值点
B．
x=为f（x）的极小值点

C．
x=2为 f（x）的极大值点
D．
x=2为 f（x）的极小值点

考点：
利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先求出其导函数，并找到导函数大于0和小于0对应的区间，即可求出结论．
解答：
解：∵f（x）=+lnx；
∴f′（x）=﹣+=；
x＞2⇒f′（x）＞0；
0＜x＜2⇒f′（x）＜0．
∴x=2为f（x）的极小值点．
故选：D．
点评：
本题主要考察利用导数研究函数的极值．解决这类问题的关键在于先求出其导函数，并求出其导函数大于0和小于0对应的区间．

10．（5分）（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（　　）

A．
a＜v＜
B．
v=
C．
＜v＜
D．
v=

考点：
基本不等式．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小
解答：
解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S
则v==
∵0＜a＜b
∴a+b＞0
∴
∵v﹣a===
∴v＞a
综上可得，
故选A
点评：
本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用．

二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）（2012•陕西）设函数发f（x）=，则f（f（﹣4））=　4　．

考点：
函数的值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用分段函数先求f（﹣4），然后再求f（f（﹣4））的值．
解答：
解：因为函数，所以f（﹣4）==16，
所以f（f（﹣4））=f（16）==4．
故答案为：4．
点评：
本题考查函数的值的求法，注意分段函数的定义域的应用，考查计算能力．

12．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：
，
，

…
照此规律，第五个不等式为　1+++++＜　．

考点：
归纳推理．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式
解答：
解：由已知中的不等式
1+，1++，…
得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方
右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，
故可以归纳出第n个不等式是 1+…+＜，（n≥2），
所以第五个不等式为1+++++＜
故答案为：1+++++＜
点评：
本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性

13．（5分）（2012•陕西）在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=　2　．

考点：
余弦定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b即可．
解答：
解：由余弦定理可知b2=a2+c2﹣2accosB=22+﹣2×2×2×=4．
因为b是三角形的边长，所以b=2．
故答案为：2．
点评：
本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．

14．（5分）（2012•陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　2　米．

考点：
抛物线的应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
解答：
解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A（2，﹣2）代入x2=my，
得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，
故水面宽为2m．
故答案为：2．

点评：
本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力．

15．（5分）（2012•陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是　﹣2≤a≤4　．
B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=　5　．
C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为　　．

考点：
绝对值不等式的解法；直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
专题：
计算题；作图题；压轴题．
分析：
A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．
B；利用相交弦定理AE•EB=CE•ED，AB⊥CD可得DE=；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5，即得答案；
C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x﹣1）2+y2=1，从而可得相交弦长．
解答：
解：A．∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，
而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，
又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3，

∴﹣2≤a≤4，
故答案为：﹣2≤a≤4．
B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，
∴DE•CE=AE•EB=1×5=5，即DE=．
在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5．
故答案为：5．
C；∵2ρcosθ=1，
∴2x=1，即x=；
又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得：x2+y2=2x，
∴（x﹣1）2+y2=1，
∴圆心（1，0）到直线x=的距离为，
∴相交弦长的一半为=，
∴相交弦长为．
故答案为：．
点评：
本题A考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，求出|x﹣a|+|x﹣1|的最大值是3是解题的关键，考查作图与理解能力，属于中档题．
本题B考查与圆有关的比例线段，掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键，而C着重简单曲线的极坐标方程，化普通方程是关键，属于中档题．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16．（12分）（2012•陕西）已知等比数列{an}的公比为q=﹣．
（Ⅰ）若a3=，求数列{an}的前n项和；
（Ⅱ）证明：对任意k∈N+，ak，ak+2，ak+1成等差数列．

考点：
等比数列的前n项和；等差关系的确定．菁优网版权所有
专题：
计算题；等差数列与等比数列．
分析：
（Ⅰ）由 a3==a1q2，以及q=﹣可得 a1=1，代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果．
（Ⅱ）对任意k∈N+，化简2ak+2﹣（ak +ak+1）为 （2q2﹣q﹣1），把q=﹣代入可得2ak+2﹣（ak +ak+1）=0，故 ak，ak+2，ak+1成等差数列．
解答：
解：（Ⅰ）由 a3==a1q2，以及q=﹣可得 a1=1．
∴数列{an}的前n项和 sn===．
（Ⅱ）证明：对任意k∈N+，2ak+2﹣（ak +ak+1）=2a1qk+1﹣﹣=（2q2﹣q﹣1）．
把q=﹣代入可得2q2﹣q﹣1=0，故2ak+2﹣（ak +ak+1）=0，故 ak，ak+2，ak+1成等差数列．
点评：
本题主要考查等差关系的确定，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．

17．（12分）（2012•陕西）函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设，则，求α的值．

考点：
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．
（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．
解答：
解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，
∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．
故函数的解析式为y=2sin（2x﹣）+1．
（2）∵，所以，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
点评：
本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力．

18．（12分）（2012•陕西）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=．
（Ⅰ）证明：CB1⊥BA1；
（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥C1﹣ABA1的体积．

考点：
直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：
计算题；证明题．
分析：
（I）连接AB1，根据ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到平面ABC⊥平面ABB1A1，结合AC⊥AB，可得AC⊥平面ABB1A1，从而有AC⊥BA1，再在正方形ABB1A1中得到AB1⊥BA1，最后根据线面垂直的判定定理，得到BA1⊥平面ACB1，所以CB1⊥BA1；
（II）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC==1，又因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=AC=1且AC⊥平面ABB1A1，得到A1C1是三棱锥C1﹣ABA1的高，且它的长度为1．再根据正方形ABB1A1面积得到△ABA1的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱锥C1﹣ABA1的体积为．
解答：
解：（I）连接AB1，
∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面ABB1A1，
又∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB，AC⊥AB，
∴AC⊥平面ABB1A1，
∵BA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥BA1，
∵矩形ABB1A1中，AB=AA1，
∴四边形ABB1A1是正方形，
∴AB1⊥BA1，
又∵AB1、CA是平面ACB1内的相交直线，
∴BA1⊥平面ACB1，
∵CB1⊂平面ACB1，∴CB1⊥BA1；
（II）∵AB=2，BC=，
∴Rt△ABC中，AC==1
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=AC=1
又∵AC∥A1C1，AC⊥平面ABB1A1，
∴A1C1是三棱锥C1﹣ABA1的高．
∵△ABA1的面积等于正方形ABB1A1面积的一半
∴=AB2=2
三棱锥C1﹣ABA1的体积为V=××A1C1=．

点评：
本题根据底面为直角三角形的直三棱柱，证明线面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查了直线与平面垂直的性质与判定和锥体体积公式等知识点，属于中档题．

19．（12分）（2012•陕西）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（Ⅱ）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．

考点：
用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．菁优网版权所有
专题：
计算题；数形结合．
分析：
（Ⅰ）先从频数分布图中得到甲品牌产品寿命小于200小时的个数，与总数相比求出频率，即可得到概率；
（Ⅱ）先求出已使用了200小时的产品总数，再找到是甲品牌的个数，二者相比即可得到结论．
解答：
解：（Ⅰ）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为：=，
用频率估计概率，
所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为：．
（Ⅱ）根据抽样结果寿命大于200小时的产品有75+70=145个，
其中甲品牌产品是75个，
所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是．
用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为：．
点评：
本题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．是对基础知识的考察，解题的关键在于能读懂频数分布直方图．

20．（13分）（2012•陕西）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．

考点：
直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；
（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），根据，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用，即可求得直线AB的方程．
解答：
解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为
∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率
∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为
∴b=2，a=4
∴椭圆C2的方程为；
（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），
∵
∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上
∴设AB的方程为y=kx
将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴
将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴
∵，∴=4，
∴，解得k=±1，
∴AB的方程为y=±x
点评：
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．

21．（14分）（2012•陕西）设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：fn（x）在区间（，1）内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|f（﹣1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围．

考点：
函数恒成立问题；函数零点的判定定理；简单线性规划的应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；证明题；综合题；压轴题．
分析：
（1）当b=1，c=﹣1，n≥2时，fn（x）=xn+x﹣1，易求fn（）fn（1）＜0，再用导数判断f（x）的单调性即可使结论得证；
（2）解法一，由题意知，即，作出图，用线性规划的知识即可使问题解决；
解法二，由﹣1≤f（1）=1+b+c≤1，即﹣2≤b+c≤0①，﹣1≤f（﹣1）=1﹣b+c≤1，即﹣2≤﹣b+c≤0②，由①②可求得：﹣6≤b+3c≤0，问题即可解决；
解法三 由题意知，解得b=，c=，b+3c=2f（1）+f（﹣1）﹣3，
由﹣6≤b+3c≤0，可得答案；
（3）当n=2时，f（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，等价于在[﹣1，1]上最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论解决即可．
解答：
解：（1）当b=1，c=﹣1，n≥2时，fn（x）=xn+x﹣1
∵fn（）fn（1）=（﹣）×1＜0，
∴fn（x）在区间内存在零点，
又当x∈（，1）时，fn′（x）=nxn﹣1+1＞0，
∴fn（x）在（，1）上单调递增，
∴fn（x）在区间内存在唯一的零点；

（2）解法一 由题意知，即

由图象知b+3c在点（0，﹣2）取到最小值﹣6，在点（0，0）处取到最大值0，
∴b+3c的最小值为﹣6，最大值为0；
解法二 由题意知
﹣1≤f（1）=1+b+c≤1，即﹣2≤b+c≤0，①
﹣1≤f（﹣1）=1﹣b+c≤1，即﹣2≤﹣b+c≤0，②
①×2+②得：﹣6≤2（b+c）+（﹣b+c）=b+3c≤0，
当b=0，c=﹣2时，b+3c=﹣6；当b=c=0时，b+3c=0；
∴b+3c的最小值为﹣6，最大值为0；
解法三
由题意知，
解得b=，c=，
∴b+3c=2f（1）+f（﹣1）﹣3，
∵﹣1≤f（﹣1）≤1，﹣1≤f（1）≤1，
∴﹣6≤b+3c≤0，
当b=0，c=﹣2时，b+3c=﹣6；当b=c=0，时，b+3c=0；
∴b+3c的最小值为﹣6，最大值为0；

（3）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，等价于在[﹣1，1]上最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下：
（i）当＞1，即|b|＞2，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，与题设矛盾；
（ii）当﹣1≤﹣＜0，即0＜b≤2时，M=f2（1）﹣f2（﹣）=≤4恒成立，
（iii）当0≤﹣≤1，即﹣2≤b≤0时，M=f2（﹣1）﹣f2（﹣）=≤4恒成立，
综上所述，﹣2≤b≤2．

点评：
本题考查函数恒成立问题，考查函数零点存在性定理的应用，考查线性规划的应用，也考查不等式的性质，考查绝对值的应用，渗透转化思想，方程思想，分类讨论思想，数形结合思想的考查，综合性极强，运算量大，难度高，属于难题．

20