2013年高考文科数学陕西卷试题与答案.doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．
1．(2013陕西，文1)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则RM为(　　)．
A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
2．(2013陕西，文2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　　)．
A． B． C．或 D．0
3．(2013陕西，文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)．
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
4．(2013陕西，文4)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)．
A．25
B．30
C．31
D．61
5．(2013陕西，文5)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　　)．

A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
6．(2013陕西，文6)设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)．
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
7．(2013陕西，文7)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是(　　)．
A．－6 B．－2 C．0 D．2
8．(2013陕西，文8)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)．
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
9．(2013陕西，文9)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)．
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
10．(2013陕西，文10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有(　　)．
A．[－x]＝－[x] B． C．[2x]＝2[x] D．[x]＋＝[2x]
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．
11．(2013陕西，文11)双曲线的离心率为__________．
12．(2013陕西，文12)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为__________．

13．(2013陕西，文13)观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
……
照此规律，第n个等式可为_______________________________．
14．(2013陕西，文14)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为__________(m)．
15．(2013陕西，文15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
A．(不等式选做题)设a，b∈R，|a－b|＞2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是__________．
B．(几何证明选做题)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝__________.

C．(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．
16．(2013陕西，文16)(本小题满分12分)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
17．(2013陕西，文17)(本小题满分12分)设Sn表示数列{an}的前n项和．
(1)若{an}是等差数列，推导Sn的计算公式；
(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有.判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．

18．(2013陕西，文18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．
19．(2013陕西，文19)(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数

6

(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．

20．(2013陕西，文20)(本小题满分13分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．
21．(2013陕西，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex，x∈R.
(1)求f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；
(3)设a＜b，比较与的大小，并说明理由．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．
1．
答案：B
解析：要使f(x)＝有意义，
则须1－x≥0，即x≤1，
所以M＝{x|x≤1}，RM＝{x|x＞1}．
2．
答案：C
解析：由a∥b知1×2－m2＝0，即或.
3．
答案：B
解析：由换底公式得logab·logca＝＝logcb，
所以B正确．
4．
答案：C
解析：因为x＝60＞50，所以y＝25＋0.6(60－50)＝31，故选C．
5．
答案：D
解析：由频率分布直方图知识可知：在区间[15,20)和[25,30)上的概率为0.04×5＋[1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5]＝0.45.
6．
答案：C
解析：由复数的基本知识可知：z2能与0比较大小且z2≥0，则z为实数，所以A正确；同理，z2＜0，则z是纯虚数，所以B正确；反过来，z是纯虚数，z2＜0，D正确；对于选项C，不妨取z＝1＋i，则z2＝2i不能与0比较大小．
7．
答案：A
解析：设z＝2x－y，可行域如图：当直线y＝2x－z过点A时，截距－z最大，即z最小，所以最优解为(－2,2)，zmin＝2×(－2)－2＝－6.
8．
答案：B
解析：∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，
∴点M(a，b)到圆心(0,0)的距离要大于半径，
即a2＋b2＞1，
而圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离为d＝＜1，
∴直线与圆相交．
9．
答案：A
解析：∵，
∴sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
即sin(B＋C)＝sin2A，
即sin A＝1，∴，故选A．
10
答案：D
解析：令x＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，
所以A错；
令，，，
所以B错；
令x＝0.5，[2x]＝1,2[x]＝0，
所以C错；故选D．
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．
11．答案：
解析：在双曲线中，a＝4，b＝3，
则c＝＝5，∴.
12．
答案：3π
解析：由三视图可知该几何体为半径为1的球体的一半，所以表面积为×4π×12＋π×12＝3π.
13．
答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
解析：观察规律，等号左侧为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，
等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是1×3×…×(2n－1)．
14．
答案：20
解析：设DE＝x，MN＝y，由三角形相似得：

，
即，即x＋y＝40，
由均值不等式可知x＋y＝40≥，
S＝x·y≤400，当x＝y＝20时取等号，
所以当宽为20时面积最大．
15．
答案：(－∞，＋∞)
解析：由不等式性质知：|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|＞2，所以|x－a|＋|x－b|＞2的解集为全体实数．
B．
答案：
解析：∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED．
又∠C＝∠A，故∠A＝∠PED．
又∠P＝∠P，故△PED∽△PAE，
则，∴PE2＝PA·PD．
又PD＝2DA＝2，
∴PA＝PD＋DA＝3，
∴PE2＝3×2＝6，
∴PE＝.
C．答案：(1,0)
解析：由消去t得，y2＝4x，故曲线表示为焦点(1,0)的抛物线．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．
16．
解：f(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝
＝.
(1)f(x)的最小正周期为，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，
∴.
由正弦函数的性质，
当，即时，f(x)取得最大值1.
当，即x＝0时，f(0)＝，
当，即时，，
∴f(x)的最小值为.
因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.
17．
解：(1)解法一：设{an}的公差为d，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，
又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，
∴2Sn＝n(a1＋an)，
∴.
解法二：设{an}的公差为d，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，
又Sn＝an＋an－1＋…＋a1
＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，
∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]
＝2na1＋n(n－1)d，
∴Sn＝na1＋d.
(2){an}是等比数列，证明如下：
∵，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝.
∵a1＝1，q≠0，
∴当n≥1时，有，
因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列．
18．
解：(1)由题设知，BB1DD1，
∴BB1D1D是平行四边形，
∴BD∥B1D1.
又BD平面CD1B1，
∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1B1C1BC，
∴A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥D1C．
又A1B平面CD1B1，
∴A1B∥平面CD1B1.
又∵BD∩A1B＝B，
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．
又∵AO＝AC＝1，AA1＝，
∴A1O＝＝1.
又∵S△ABD＝＝1，
∴＝S△ABD×A1O＝1.
19．
解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：

由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率.
20．
(1)解：设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.

由此得，
化简得，
所以，动点M的轨迹方程为.
(2)解法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

将y＝kx＋3代入中，
有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0，
由求根公式得，x1＋x2＝，①
x1x2＝.②
又因A是PB的中点，故x2＝2x1，③
将③代入①，②得，，
可得，且，
解得或，所以，直线m的斜率为或.
解法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵A是PB的中点，
∴，①
.②
又，③
，④
联立①，②，③，④解得或
即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，
所以，直线m的斜率为或.
21．
解：(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x，设所求切线的斜率为k，
∵g′(x)＝，∴k＝g′(1)＝1，
于是在点(1,0)处切线方程为y＝x－1.
(2)解法一：曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝ex－x2－x－1零点的个数．
∵φ(0)＝1－1＝0，
∴φ(x)存在零点x＝0.
又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，
当x＜0时，h′(x)＜0，
∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减．
当x＞0时，h′(x)＞0，
∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴φ′(x)在x＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0，
即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0.
∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，
∴φ(x)在R上是单调递增的，
∴φ(x)在R上有唯一的零点，
故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．
解法二：∵ex＞0，x2＋x＋1＞0，
∴曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于曲线与y＝1公共点的个数，
设，则φ(0)＝1，
即x＝0时，两曲线有公共点．
又φ′(x)＝≤0(仅当x＝0时等号成立)，
∴φ(x)在R上单调递减，
∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点，
故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．
(3)
＝
＝．
设函数u(x)＝ex－－2x(x≥0)，
则u′(x)＝ex＋－2≥－2＝0，
∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，
∴u(x)单调递增．
当x＞0时，u(x)＞u(0)＝0.令，
则得，
∴.
2013 陕西文科数学 第11页