2013年高考文科数学陕西卷试题与答案.doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1(2013陕西，文1)设全集为R，函数f(x)的定义域为M，则RM为()A(，1) B(1，) C(，1 D1，)2(2013陕西，文2)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于()A B C或 D03(2013陕西，文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()Alogablogcblogca BlogablogcalogcbCloga(bc)logablogac Dloga(bc)logablogac4(2013陕西，文4)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()A25 B30 C31 D615(2013陕西，文5)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20,25)上为一等品，在区间15,20)和25,30)上为二等品，在区间10,15)和30,35上为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()A0.09 B0.20 C0.25 D0.456(2013陕西，文6)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数 B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20 D若z是纯虚数，则z207(2013陕西，文7)若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值是()A6 B2 C0 D28(2013陕西，文8)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定9(2013陕西，文9)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不确定10(2013陕西，文10)设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有()Axx B C2x2x Dx2x二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11(2013陕西，文11)双曲线的离心率为_12(2013陕西，文12)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_13(2013陕西，文13)观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律，第n个等式可为_14(2013陕西，文14)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_(m)15(2013陕西，文15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A(不等式选做题)设a，bR，|ab|2，则关于实数x的不等式|xa|xb|2的解集是_B(几何证明选做题)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_.C(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)16(2013陕西，文16)(本小题满分12分)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值17(2013陕西，文17)(本小题满分12分)设Sn表示数列an的前n项和(1)若an是等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a11，q0，且对所有正整数n，有.判断an是否为等比数列，并证明你的结论18(2013陕西，文18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积19(2013陕西，文19)(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率20(2013陕西，文20)(本小题满分13分)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率21(2013陕西，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)ex，xR.(1)求f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点；(3)设ab，比较与的大小，并说明理由2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1答案：B解析：要使f(x)有意义，则须1x0，即x1，所以Mx|x1，RMx|x12答案：C解析：由ab知12m20，即或.3答案：B解析：由换底公式得logablogcalogcb，所以B正确4答案：C解析：因为x6050，所以y250.6(6050)31，故选C5答案：D解析：由频率分布直方图知识可知：在区间15,20)和25,30)上的概率为0.0451(0.020.040.060.03)50.45.6答案：C解析：由复数的基本知识可知：z2能与0比较大小且z20，则z为实数，所以A正确；同理，z20，则z是纯虚数，所以B正确；反过来，z是纯虚数，z20，D正确；对于选项C，不妨取z1i，则z22i不能与0比较大小7答案：A解析：设z2xy，可行域如图：当直线y2xz过点A时，截距z最大，即z最小，所以最优解为(2,2)，zmin2(2)26.8答案：B解析：点M(a，b)在圆x2y21外，点M(a，b)到圆心(0,0)的距离要大于半径，即a2b21，而圆心(0,0)到直线axby1的距离为d1，直线与圆相交9答案：A解析：，sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A，即sin(BC)sin2A，即sin A1，故选A10答案：D解析：令x1.1，1.12，而1.11，所以A错；令，所以B错；令x0.5，2x1,2x0，所以C错；故选D二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11答案：解析：在双曲线中，a4，b3，则c5，.12 答案：3解析：由三视图可知该几何体为半径为1的球体的一半，所以表面积为412123.13答案：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析：观察规律，等号左侧为(n1)(n2)(nn)，等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是13(2n1)14 答案：20解析：设DEx，MNy，由三角形相似得：，即，即xy40，由均值不等式可知xy40，Sxy400，当xy20时取等号，所以当宽为20时面积最大15答案：(，)解析：由不等式性质知：|xa|xb|(xa)(xb)|ba|ab|2，所以|xa|xb|2的解集为全体实数B 答案：解析：PEBC，CPED又CA，故APED又PP，故PEDPAE，则，PE2PAPD又PD2DA2，PAPDDA3，PE2326，PE.C答案：(1,0)解析：由消去t得，y24x，故曲线表示为焦点(1,0)的抛物线三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)16解：f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2x.(1)f(x)的最小正周期为，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，.由正弦函数的性质，当，即时，f(x)取得最大值1.当，即x0时，f(0)，当，即时，f(x)的最小值为.因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.17解：(1)解法一：设an的公差为d，则Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snan(and)an(n1)d，2Snn(a1an)，.解法二：设an的公差为d，则Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snanan1a1a1(n1)da1(n2)da1，2Sn2a1(n1)d2a1(n1)d2a1(n1)d2na1n(n1)d，Snna1d.(2)an是等比数列，证明如下：，an1Sn1Sn.a11，q0，当n1时，有，因此，an是首项为1且公比为q的等比数列18解：(1)由题设知，BB1DD1，BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1B1C1BC，A1BCD1是平行四边形，A1BD1C又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，SABDA1O1.19解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率.20(1)解：设M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|.由此得，化简得，所以，动点M的轨迹方程为.(2)解法一：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykx3代入中，有(34k2)x224kx240，其中，(24k)2424(34k2)96(2k23)0，由求根公式得，x1x2，x1x2.又因A是PB的中点，故x22x1，将代入，得，可得，且，解得或，所以，直线m的斜率为或.解法二：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)A是PB的中点，.又，联立，解得或即点B的坐标为(2,0)或(2,0)，所以，直线m的斜率为或.21解：(1)f(x)的反函数为g(x)ln x，设所求切线的斜率为k，g(x)，kg(1)1，于是在点(1,0)处切线方程为yx1.(2)解法一：曲线yex与yx2x1公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数(0)110，(x)存在零点x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0，(x)在(，0)上单调递减当x0时，h(x)0，(x)在(0，)上单调递增(x)在x0有唯一的极小值(0)0，即(x)在R上的最小值为(0)0.(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在R上是单调递增的，(x)在R上有唯一的零点，故曲线yf(x)与yx2x1有唯一的公共点解法二：ex0，x2x10，曲线yex与yx2x1公共点的个数等于曲线与y1公共点的个数，设，则(0)1，即x0时，两曲线有公共点又(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在R上单调递减，(x)与y1有唯一的公共点，故曲线yf(x)与yx2x1有唯一的公共点(3)设函数u(x)ex2x(x0)，则u(x)ex220，u(x)0(仅当x0时等号成立)，u(x)单调递增当x0时，u(x)u(0)0.令，则得，.2013 陕西文科数学 第11页