2012年陕西高考理科数学试题及答案.doc

本2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）.
1、集合，，则（ ）
A．（1，2） B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2]
2、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
3、设，，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4、已知圆：，是过点（3，0）的直线，则（ ）
A．与相交 B．与相切
C．与相离 D．以上三个选项均有可能
5、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6、 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则( )
A．，
B．，
C． ，
D．，
7、设函数，则（ ）
A．为的极大值点 B．为的极小值点
C．为的极大值点 D. 为的极小值点
8、 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有( )
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
9、 在△中，角,,所对的边长分别为，，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10、右图是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计
结果，则图中空白框内应填入（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
11、观察下列不等式

••••••
照此规律，第五个不等式为________________________________.
12、 的展开式中的系数为10，则实数的值为_____.
13、 右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽______米.
14、 设函数是由轴和曲线及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为___ _.
15、（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是__________________.
B.（几何证明选做题）如图，在圆中，直径与弦垂直，垂足为，，垂足为，若，，则_______.
C.（坐标系与参数方程选做题）直线与圆相交的弦长为___.
三．解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
16、(本小题满分12分)函数（，）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设，，求的值.

17、(本小题满分12分)
设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且,,成等差数列.
（Ⅰ）求数列的公比；
（Ⅱ）证明：对任意，，，成等差数列.

18、(本小题满分12分)

（Ⅰ）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真；
（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）.

19、(本小题满分12分)
已知椭圆：，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.
（Ⅰ)求椭圆的方程.
（Ⅱ）设为坐标原点，点，分别在椭圆和上，，求直
线的方程.

20、 (本小题满分13分)
某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1

从第一个顾客办理业务时计时.
（Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（Ⅱ）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望.

21、(本小题满分14分)
设函数（，，）
（Ⅰ)设，，，证明：在区间（，1）内存在唯一零点；
（Ⅱ）设，若对任意，，有，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ)的条件下，设是在（，1）内的零点，判断数列，， ，，的增减性.
2012年陕西省高考理科数学试题答案
一、选择题
1. 【解析】，，则，故选C
2. 【解析】选项中是奇函数的有B、C、D，增函数有A、D，故选D
3. 【解析】“”则或，“复数为纯虚数”则且，
则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B
4. 【解析】点在圆内，则必与相交，故选A
5. 【解析】设，则，，
　　　　则，故选A
6. 【解析】经计算得：甲=21.5625，乙=28.5625，甲=20，乙=29，故选B
7. 【解析】，，恒成立，令，则
当时，，函数单调减，当时，，函数单调增，
则为的极小值点，故选D
8. 【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下：
若两人进行3场比赛，则情况只有是甲全赢1种情况；
若两人进行4场比赛，第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为种情况；
若两人进行5场比赛，第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为种情况；
综上，甲赢有10种情况，同理，乙赢有10种情况，
则所有可能出现的情况共20种，故选C
9. 【解析】，故选C
10.【解析】M表示落入扇形的点的个数，1000表示落入正方形的点的个数，
则点落入扇形的概率为， 由几何概型知，点落入扇形的概率为，
则，故选D
二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 【答案】
【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=，
右边=，所以第五个不等式为.
12.【答案】1
【解析】∵，令，则，
又∵的系数为10，则，∴
13.【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0），
设l与抛物线的交点为A、B，根据题意知A（-2，-2），B（2，-2）
设抛物线的解析式为，则有，
∴，∴抛物线的解析式为
水位下降1米，则y=-3，此时有或
∴此时水面宽为米。
14.【答案】2
【解析】当时，，，∴曲线在点处的切线为
则根据题意可画出可行域D如右图：
目标函数，
当，时，z取得最大值2
15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．【答案】
【解析】表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即，则
B．【答案】5
【解析】∵，则圆的半径为3，连接OD，则OD=3[来源:学+科+网] 又，则OE=2
在直角三角形OED中，
根据射影定理，在直角三角形EDB中，
C．【答案】
【解析】是过点且垂直于极轴的直线，
是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=.
三、解答题
16.【解析】（Ⅰ）∵函数的最大值是3，∴，即。
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期，∴。
故函数的解析式为。
（Ⅱ）∵，即，
∵，∴，∴，故。
17.【解析】（1）设数列的公比为（）。
由成等差数列，得，即。
由得，解得，（舍去），所以。
（2）证法一：对任意，

，
所以，对任意，成等差数列。
证法二：对任意，，
，

，
因此，对任意，成等差数列。
18. 【解析】（Ⅰ）证法一 如图，过直线上一点作平面的垂线，设直线，，，的方向向量分别是，，，，则，，共面.根据平面向量基本定理，存在实数，使得，则，
因为，所以，
又因为，，所以，故，从而 .
证法二 如图，记,为直线上异于点的任意一点，过作,垂足为,则.，直线，又，平面,,平面，又平面， .
（Ⅱ）逆命题为：是平面内的一条直线，是平面外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则.逆命题为真命题
19. 【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆的方程为，
其离心率为，故，则，
故椭圆的方程为
（Ⅱ）解法一 两点的坐标分别为，
由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，
因此可设直线的方程为.
将代入中，得，所以，
将代入中，得，所以，
又由，得，即，
解得 ，故直线的方程为或
解法二 两点的坐标分别为，
由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，
因此可设直线的方程为.
将代入中，得，所以，
又由，得，，
将代入中，得，即，
解得 ，故直线的方程为或
20.【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，的Y的分布如下：
Y
1
2
3
4
5
P
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
(1) A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：
① 一个谷歌办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；
② 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；
③ 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。
所以

（2）解法一：X所有可能的取值为：0,1,2.
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，
所以；
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以
=；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以
；
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
.
解法二：X所有可能的取值为0,1,2.
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以
；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以
；
；
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
。
21． 【解析】（1）
。
又当

（2）当n=2时，
对任意上的最大值与最小值之差,据此分类讨论如下：
(Ⅰ)
。
(Ⅱ)
。
(Ⅲ)
。
综上可知，。
注：(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下：
用
当

（3）证法一：设，

于是有，
又由（1）知，
所以，数列
证法二：设，
，
则
所以，数列