2014年陕西高考理科数学试题及答案.doc

152014年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（2014陕西）设集合M=x|x0，xR，N=x|x21，xR，则MN=（）A0，1B0，1）C（0，1D（0，1）2（5分）（2014陕西）函数f（x）=cos（2x）的最小正周期是（）ABC2D43（5分）（2014陕西）定积分（2x+ex）dx的值为（）Ae+2Be+1CeDe14（5分）（2014陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）Aan=2nBan=2（n1）Can=2nDan=2n15（5分）（2014陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）AB4C2D6（5分）（2014陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）ABCD7（5分）（2014陕西）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）Af（x）=xBf（x）=x3Cf（x）=（）xDf（x）=3x8（5分）（2014陕西）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假9（5分）（2014陕西）设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，10），则y1，y2，y10的均值和方差分别为（）A1+a，4B1+a，4+aC1，4D1，4+a10（5分）（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）Ay=xBy=x3xCy=x3xDy=x3+x二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11（5分）（2014陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=_12（5分）（2014陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为_13（5分）（2014陕西）设0，向量=（sin2，cos），=（cos，1），若，则tan=_14（5分）（2014陕西）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_（不等式选做题）15（5分）（2014陕西）设a，b，m，nR，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为_（几何证明选做题）16（2014陕西）如图，ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=_（坐标系与参数方程选做题）17（2014陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线sin（）=1的距离是_三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18（12分）（2014陕西）ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c（）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值19（12分）（2014陕西）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H（）证明：四边形EFGH是矩形；（）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值20（12分）（2014陕西）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在ABC三边围成的区域（含边界）上（）若+=，求|；（）设=m+n（m，nR），用x，y表示mn，并求mn的最大值21（12分）（2014陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300500概率0.50.5作物市场价格（元/kg）610概率0.40.6（）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率22（13分）（2014陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线C2：y=x2+1（y0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为（） 求a，b的值；（）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若APAQ，求直线l的方程23（14分）（2014陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（x），x0，其中f（x）是f（x）的导函数（）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x），nN+，求gn（x）的表达式；（）若f（x）ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）设nN+，比较g（1）+g（2）+g（n）与nf（n）的大小，并加以证明2014年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）考点：交集及其运算菁优网版权所有专题：集合分析：先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项解答：解：M=x|x0，xR，N=x|x21，xR=x|1x1，xR，MN=0，1）故选B点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键2（5分）考点：三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：由题意得=2，再代入复合三角函数的周期公式求解解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x）的最小正周期是，故选B点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题3（5分）考点：定积分菁优网版权所有专题：导数的概念及应用分析：根据微积分基本定理计算即可解答：解：（2x+ex）dx=（x2+ex）=（1+e）（0+e0）=e故选：C点评：本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数4（5分）考点：程序框图菁优网版权所有专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式解答：解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，数列为公比为2的等边数列，an=2n故选：C点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键5（5分）考点：球的体积和表面积菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积解答：解：正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，正四棱柱体对角线的长为=2又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=R3=故选：D点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题6（5分）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有专题：应用题；概率与统计；排列组合分析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，所求概率为=故选：C点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键7（5分）考点：抽象函数及其应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案解答：解：Af（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；Bf（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；Cf（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错Df（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选D点评：本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题8（5分）考点：四种命题菁优网版权所有专题：阅读型；简易逻辑分析：根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假解答：解：根据共轭复数的定义，命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|1|，而1与1不是互为共轭复数，逆命题是假命题；根据否命题与逆命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题是假命题；逆否命题是真命题故选：B点评：本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键9（5分）考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数菁优网版权所有专题：概率与统计分析：方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论解答：解：方法1：yi=xi+a，E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4方法2：由题意知yi=xi+a，则=（x1+x2+x10+10a）=（x1+x2+x10）=+a=1+a，方差s2=（x1+a（+a）2+（x2+a（+a）2+（x10+a（+a）2=（x1）2+（x2）2+（x10）2=s2=4故选：A点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算10（5分）考点：导数的几何意义；函数解析式的求解及常用方法菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：分别求出四个选项中的导数，验证在x=5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式解答：解：由题意可得出，此三次函数在x=5处的导数为0，下依次特征寻找正确选项：A选项，导数为，令其为0解得x=5，故A正确；B选项，导数为，令其为0解得x=5不成立，故B错；C选项，导数为，令其为0解得x=5不成立，故C错；D选项，导数为，令其为0解得x=5不成立，故D错故A点评：本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11（5分）考点：对数的运算性质菁优网版权所有专题：计算题分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=故答案为：点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题12（5分）考点：圆的标准方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：利用点（a，b）关于直线y=xk的对称点为 （b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y1）2=1，故答案为：x2+（y1）2=1点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=xk的对称点为 （b，a），属于基础题13（5分）考点：平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出解答：解：，向量=（sin2，cos），=（cos，1），sin2cos2=0，2sincos=cos2，0，cos02tan=1，tan=故答案为：点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题14（5分）考点：归纳推理菁优网版权所有专题：归纳法；推理和证明分析：通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+VE=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案解答：解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，正方体：F=6，V=8，E=12，得F+VE=8+612=2；三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+VE=5+69=2；三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+VE=4+46=2根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+VE=2再通过举四棱锥、六棱柱、等等，发现上述公式都成立因此归纳出一般结论：F+VE=2故答案为：F+VE=2点评：本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题（不等式选做题）15（5分）考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2（m2+n2）（a2+b2）a2+b2=5，ma+nb=5，（m2+n2）5的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，属于中档题（几何证明选做题）16（2014陕西）考点：与圆有关的比例线段菁优网版权所有专题：选作题；几何证明分析：证明AEFACB，可得，即可得出结论解答：解：由题意，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，AEF=C，EAF=CAB，AEFACB，BC=6，AC=2AE，EF=3故答案为：3点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题（坐标系与参数方程选做题）17（2014陕西）考点：点的极坐标和直角坐标的互化菁优网版权所有专题：坐标系和参数方程分析：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果解答：解：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=cos，y=sin，可得点（2，）即（，1）； 直线sin（）=1即 xy=1，即xy2=0，故点（，1）到直线xy2=0的距离为 =1，故答案为：1点评：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18（12分）考点：余弦定理；正弦定理菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：（）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值解答：解：（）a，b，c成等差数列，2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，sinB=sin（A+C）=sin（A+C），sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（）a，b，c成等比数列，b2=ac，cosB=，当且仅当a=c时等号成立，cosB的最小值为点评：此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键19（12分）考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有专题：空间角分析：（）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到ADBC，结合异面直线所成角的概念得到EFEH，从而证得结论；（）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解答：（）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以BDC为直角的等腰直角三角形，且侧棱AD底面BDC如图，AD平面EFGH，平面ADB平面EFGH=EF，AD平面ABD，ADEFAD平面EFGH，平面ADC平面EFGH=GH，AD平面ADC，ADGH由平行公理可得EFGHBC平面EFGH，平面DBC平面EFGH=FG，BC平面BDC，BCFGBC平面EFGH，平面ABC平面EFGH=EH，BC平面ABC，BCEH由平行公理可得FGEH四边形EFGH为平行四边形又AD平面BDC，BC平面BDC，ADBC，则EFEH四边形EFGH是矩形；（）解：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DB=DC=2，DA=1又E为AB中点，F，G分别为DB，DC中点A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）则设平面EFGH的一个法向量为由，得，取y=1，得x=1则sin=|cos|=点评：本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答磁体的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题20（12分）考点：平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：（）先根据+=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（）利用向量的坐标运算，先求出，再根据=m+n，表示出mn=yx，最后结合图形，求出mn的最小值解答：解：（）A（1，1），B（2，3），C（3，2），+=，（x1，y1）+（x2，y3）+（x3，y2）=03x6=0，3y6=0x=2，y=2，即=（2，2）（）A（1，1），B（2，3），C（3，2），=m+n，（x，y）=（m+2n，2m+n）x=m+2n，y=2m+nmn=yx，令yx=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故mn的最大值为1点评：本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，21（12分）考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论解答：解：（）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，利润=产量市场价格成本，X的所有值为：500101000=4000，50061000=2000，300101000=2000，30061000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（10.5）（10.4）=0.3，P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（10.5）4+0.5（10.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.50.4=0.2，则X的分布列为： X4000 2000 800 P 0.3 0.50.2 （）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=30.820.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896点评：本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力22（13分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：向量与圆锥曲线分析：（）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2；（）由（）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y0），设其方程为y=k（x1）（k0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（k1，k22k），利用=0，可求得k的值，从而可得答案解答：解：（）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点设C1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2a=2，b=1（）由（）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y0）易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x1）（k0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点P（xp，yp），直线l过点B，x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得xp=，从而yp=，点P的坐标为（，）同理，由得点Q的坐标为（k1，k22k），=（k，4），=k（1，k+2），APAQ，=0，即k4（k+2）=0，k0，k4（k+2）=0，解得k=经检验，k=符合题意，故直线l的方程为y=（x1），即8x+3y8=0点评：本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题23（14分）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：（）由已知，可得用数学归纳法加以证明；（）由已知得到ln（1+x）恒成立构造函数（x）=ln（1+x）（x0），利用导数求出函数的最小值即可；（）在（）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3，然后各式相加即得到不等式解答：解：由题设得，（）由已知，可得下面用数学归纳法证明当n=1时，结论成立假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立由可知，结论对nN+成立（）已知f（x）ag（x）恒成立，即ln（1+x）恒成立设（x）=ln（1+x）（x0），则（x）=，当a1时，（x）0（仅当x=0，a=1时取等号成立），（x）在0，+）上单调递增，又（0）=0，（x）0在0，+）上恒成立当a1时，ln（1+x）恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a1时，对x（0，a1有（x）0，（x）在（0，a1上单调递减，（a1）（0）=0即当a1时存在x0使（x）0，故知ln（1+x）不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（，1（）由题设知，g（1）+g（2）+g（n）=，nf（n）=nln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+g（n）nln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（）中取a=1，可得，令则故有，ln3ln2，上述各式相加可得结论得证点评：本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题15