2014年陕西高考理科数学试题及答案.doc

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2014年陕西省高考数学试卷（理科）
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2014•陕西）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（　　）

A．
[0，1]
B．
[0，1）
C．
（0，1]
D．
（0，1）

2．（5分）（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（　　）

A．

B．
π
C．
2π
D．
4π

3．（5分）（2014•陕西）定积分（2x+ex）dx的值为（　　）

A．
e+2
B．
e+1
C．
e
D．
e﹣1

4．（5分）（2014•陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（　　）

A．
an=2n
B．
an=2（n﹣1）
C．
an=2n
D．
an=2n﹣1

5．（5分）（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（　　）

A．

B．
4π
C．
2π
D．

6．（5分）（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（5分）（2014•陕西）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（　　）

A．
f（x）=x
B．
f（x）=x3
C．
f（x）=（）x
D．
f（x）=3x

8．（5分）（2014•陕西）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．
真，假，真
B．
假，假，真
C．
真，真，假
D．
假，假，假

9．（5分）（2014•陕西）设样本数据x1，x2…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）

A．
1+a，4
B．
1+a，4+a
C．
1，4
D．
1，4+a

10．（5分）（2014•陕西）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（　　）

A．
y=﹣x
B．
y=x3﹣x
C．
y=x3﹣x
D．
y=﹣x3+x

二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=　_________　．

12．（5分）（2014•陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为　_________　．

13．（5分）（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=　_________　．

14．（5分）（2014•陕西）观察分析下表中的数据：
多面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是　_________　．

（不等式选做题）
15．（5分）（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为　_________　．

（几何证明选做题）
16．（2014•陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=　_________　．

（坐标系与参数方程选做题）
17．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是　_________　．

三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）
18．（12分）（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

19．（12分）（2014•陕西）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

20．（12分）（2014•陕西）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．
（Ⅰ）若++=，求||；
（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．

21．（12分）（2014•陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（kg）
300
500
概率
0.5
0.5

作物市场价格（元/kg）
6
10
概率
0.4
0.6
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．

22．（13分）（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

23．（14分）（2014•陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．

2014年陕西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）
考点：
交集及其运算．菁优网版权所有
专题：
集合．
分析：
先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．
解答：
解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，
∴M∩N=[0，1）．
故选B．
点评：
本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
2．（5分）
考点：
三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．
解答：
解：根据复合三角函数的周期公式得，
函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，
故选B．
点评：
本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．
3．（5分）
考点：
定积分．菁优网版权所有
专题：
导数的概念及应用．
分析：
根据微积分基本定理计算即可
解答：
解：（2x+ex）dx=（x2+ex）=（1+e）﹣（0+e0）=e．
故选：C．
点评：
本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．
4．（5分）
考点：
程序框图．菁优网版权所有
专题：
算法和程序框图．
分析：
根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．
解答：
解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，
∴数列为公比为2的等边数列，∴an=2n．
故选：C．
点评：
本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．
5．（5分）
考点：
球的体积和表面积．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．
解答：
解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．
故选：D．
点评：
本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．
6．（5分）
考点：
列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
专题：
应用题；概率与统计；排列组合．
分析：
设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．
解答：
解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，
∴所求概率为=．
故选：C．
点评：
本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．
7．（5分）
考点：
抽象函数及其应用．菁优网版权所有

专题：
函数的性质及应用．
分析：
对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．
解答：
解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；
B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；
C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．
D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；
故选D．
点评：
本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．
8．（5分）
考点：
四种命题．菁优网版权所有
专题：
阅读型；简易逻辑．
分析：
根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．
解答：
解：根据共轭复数的定义，命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；
其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴逆命题是假命题；
根据否命题与逆命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，
∴命题的否命题是假命题；逆否命题是真命题．
故选：B．
点评：
本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．
9．（5分）
考点：
极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．
解答：
解：方法1：∵yi=xi+a，
∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，
方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4．
方法2：由题意知yi=xi+a，
则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，
方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．
故选：A．
点评：
本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．
10．（5分）
考点：
导数的几何意义；函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用；导数的概念及应用．
分析：
分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式．
解答：
解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，下依次特征寻找正确选项：
A选项，导数为，令其为0解得x=±5，故A正确；
B选项，导数为，令其为0解得x=±5不成立，故B错；
C选项，导数为，令其为0解得x=±5不成立，故C错；
D选项，导数为，令其为0解得x=±5不成立，故D错．
故A．
点评：
本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用．

二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）
考点：
对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．
解答：
解：由4a=2，得，
再由lgx=a=，
得x=．
故答案为：．
点评：
本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．

12．（5分）
考点：
圆的标准方程．菁优网版权所有
专题：
直线与圆．
分析：
利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．
解答：
解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，
可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，
故答案为：x2+（y﹣1）2=1．
点评：
本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），属于基础题．
13．（5分）
考点：
平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有
专题：
平面向量及应用．
分析：
利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
解答：
解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），
∴sin2θ﹣cos2θ=0，
∴2sinθcosθ=cos2θ，
∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．
∴2tanθ=1，
∴tanθ=．
故答案为：．
点评：
本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．
14．（5分）
考点：
归纳推理．菁优网版权所有
专题：
归纳法；推理和证明．
分析：
通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．
解答：
解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，
①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；
③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2．
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．
因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2
故答案为：F+V﹣E=2
点评：
本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．
（不等式选做题）
15．（5分）
考点：
基本不等式．菁优网版权所有
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．
解答：
解：由柯西不等式得，
（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）
∵a2+b2=5，ma+nb=5，
∴（m2+n2）≥5
∴的最小值为
故答案为：
点评：
本题主要考查了柯西不等式，属于中档题．
（几何证明选做题）
16．（2014•陕西）
考点：
与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
专题：
选作题；几何证明．
分析：
证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．
解答：
解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，
∴∠AEF=∠C，
∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∵BC=6，AC=2AE，
∴EF=3．
故答案为：3．
点评：
本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
（坐标系与参数方程选做题）
17．（2014•陕西）
考点：
点的极坐标和直角坐标的互化．菁优网版权所有
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．
解答：
解：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，
可得点（2，）即（，1）；
直线ρsin（θ﹣）=1即 x﹣y=1，即x﹣y﹣2=0，
故点（，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离为 1，
故答案为：1．
点评：
本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）
18．（12分）
考点：
余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；
（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．
解答：
解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，
∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），
∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∴cosB==≥=，
当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．
19．（12分）
考点：
直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
专题：
空间角．
分析：
（Ⅰ由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；
（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，
且侧棱AD⊥底面BDC．
如图，

∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGHEF，AD⊂平面ABD，
∴AD∥EF．
∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，
∴AD∥GH．
由平行公理可得EF∥GH．
∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，
∴BC∥FG．
∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，
∴BC∥EH．
由平行公理可得FG∥EH．
∴四边形EFGH为平行四边形．
又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，
∴AD⊥BC，则EF⊥EH．
∴四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）解：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由三视图可知DB=DC=2，DA=1．
又E为AB中点，
∴F，G分别为DB，DC中点．
∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）．
则．
设平面EFGH的一个法向量为．
由，得，取y=1，得x=1．
∴．
则sinθ=|cos＜＞|===．
点评：
本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答磁体的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题．
20．（12分）
考点：
平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
专题：
平面向量及应用．
分析：
（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；
（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．
解答：
解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，
∴（x﹣1，y﹣1）+（x﹣2，y﹣3）+（x﹣3，y﹣2）=0
∴3x﹣6=0，3y﹣6=0
∴x=2，y=2，
即=（2，2）
∴
（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴，
∵=m+n，
∴（x，y）=（m+2n，2m+n）
∴x=m+2n，y=2m+n
∴m﹣n=y﹣x，
令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
故m﹣n的最大值为1．

点评：
本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，
21．（12分）
考点：
离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；
（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．
解答：
解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
则PA）=0.5，P（B）=0.4，
∵利润=产量×市场价格﹣成本，
∴X的所有值为：
500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，
300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，
则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，
P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×4+0.5（1﹣0.4）=0.5，
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
则X的分布列为：
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），
则C1，C2，C3相互独立，
由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，
3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，
综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．
点评：
本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力．
22．（13分）
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
专题：
向量与圆锥曲线．
分析：
（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案．
解答：
解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．
设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．
∴a=2，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），
代入C1的方程，整理得
（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）
设点P（xp，yp），
∵直线l过点B，
∴x=1是方程（*）的一个根，
由求根公式，得xp=，从而yp=，
∴点P的坐标为（，）．

同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），
∴=（k，﹣4）﹣k（1，k+2），
∵AP⊥AQ，∴•=0，即[k﹣4（k+2）]=0，
∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．
经检验，k=﹣符合题意，
故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．
点评：
本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．
23．（14分）
考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
专题：
导数的综合应用．
分析：
（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．
解答：
解：由题设得，
（Ⅰ）由已知，
，
…
可得
下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．
②假设n=k时结论成立，即，
那么n=k+1时，=即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N+成立．
（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．
设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，
当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0a=1时取等号成立），
∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，
又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）
当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，
∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0
即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，
故知ln（1+x）≥不恒成立，
综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．
（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，
n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），
比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）
证明如下：上述不等式等价于，
在（Ⅱ）中取a=1，可得，
令则
故有，
ln3﹣ln2，…
，
上述各式相加可得结论得证．
点评：
本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．

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