2012年安徽高考理科数学试题及答案.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
参考公式：
如果事件与互斥；则
如果事件与相互独立；则
如果与是事件，且；则
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数满足：；则（ ）

（2）下列函数中，不满足：的是（ ）

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

（4）公比为等比数列的各项都是正数，且，则（ ）

（5）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）

甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
（6）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且
则“”是“”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 即不充分不必要条件
（7）的展开式的常数项是（ ）

（8）在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量
则点的坐标是（ ）

（9）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若；
则的面积为（ ）

（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换
的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品
的同学人数为（ ）
或 或 或 或
第II卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置。
（11）若满足约束条件：；则的取值范围为
（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是
（13）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是
（14）若平面向量满足：；则的最小值是
（15）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
①若；则 ②若；则
③若；则 ④若；则
⑤若；则
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内。
（16）(本小题满分12分) 设函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）设函数对任意，有，且当时， ；
求函数在上的解析式。
（17）（本小题满分12分）
某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。
（Ⅰ）求的概率； （Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。
（18）（本小题满分12分）
平面图形如图4所示，其中是矩形，，，
。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的长；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。

（19）（本小题满分13分）K]
设
（I）求在上的最小值；
（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。

（20）（本小题满分13分）
如图，分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点；
（I）若点的坐标为；求椭圆的方程；
（II）证明：直线与椭圆只有一个交点。

（21）（本小题满分13分）
数列满足：
（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是
（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
1. 【解析】选

2. 【解析】选
与均满足：得：满足条件
3. 【解析】选

4. 【解析】选

5. 【解析】选
甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为
6. 【解析】选
① ②如果；则与条件相同
7. 【解析】选
第一个因式取，第二个因式取得：
第一个因式取，第二个因式取得： 展开式的常数项是
8. 【解析】选
【方法一】设
则
【方法二】将向量按逆时针旋转后得
则
9. 【解析】选
设及；则点到准线的距离为
得： 又
的面积为
10. 【解析】选
。
①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人。
②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人。
11. 【解析】的取值范围为
约束条件对应边际及内的区域：
则
12. 【解析】表面积是
该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱
几何体的表面积是
13. 【解析】距离是
圆的圆心
直线；点到直线的距离是
14. 【解析】的最小值是

15. 【解析】正确的是①②③
①
②
③当时，与矛盾
④取满足得：
⑤取满足得：
16. 【解析】
（I）函数的最小正周期
（2）当时，
当时，
当时，
得：函数在上的解析式为
17. 【解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为
（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为
随机变量可取
，，

答：（Ⅰ）的概率为 （Ⅱ）求的均值为
18. 【解析】（I）取的中点为点，连接
则，面面面
同理：面 得：共面
又面
（Ⅱ）延长到，使 得：
，面面面面

（Ⅲ）是二面角的平面角
在中，
在中，
得：二面角的余弦值为。
19. 【解析】（I）设；则
①当时，在上是增函数
得：当时，的最小值为
②当时，
当且仅当时，的最小值为
（II）
由题意得：
20. 【解析】（I）点代入得：
①
又 ② ③
由①②③得： 既椭圆的方程为
（II）设；则
得：
过点与椭圆相切的直线斜率
得：直线与椭圆只有一个交点。
21. 【解析】（I）必要条件：当时，数列是单调递减数列
充分条件：数列是单调递减数列
得：数列是单调递减数列的充分必要条件是
（II）由（I）得：
①当时，，不合题意
②当时，

当时，与同号，
由

当时，存在，使与异号
与数列是单调递减数列矛盾
得：当时，数列是单调递增数列。
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