2013年陕西高考理科数学试题及答案.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修）(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1(2013陕西，理1)设全集为R，函数f(x)的定义域为M，则RM为()A1,1 B(1,1) C(，11，) D(，1)(1，)1)(1，)2(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()A25 B30 C31 D613(2013陕西，理3)设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为()A11 B12 C13 D145(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A BC D6(2013陕西，理6)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则 B若，则C若|z1|z2|，则 D若|z1|z2|，则z12z227(2013陕西，理7)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定8(2013陕西，理8)设函数f(x)则当x0时，ff(x)表达式的展开式中常数项为A20 B20 C15 D159(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A15,20 B12,25C10,30 D20,3010(2013陕西，理10)设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11(2013陕西，理11)双曲线的离心率为，则m等于_12(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为_13(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_14(2013陕西，理14)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_15(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_B(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD2DA2，则PE_.C(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)16(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值17(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列18(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.(1)证明：A1C平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小19(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望20(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点21(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)ex，xR.(1)若直线ykx1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；(2)设x0，讨论曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)公共点的个数；(3)设ab，比较与的大小，并说明理由2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（理科）(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1答案：D解析：要使函数f(x)有意义，则1x20，解得1x1，则M1,1，RM(，1)(1，)2答案：C解析：由算法语句可知所以当x60时，y250.6(6050)25631.3答案：C解析：若a与b中有一个为零向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的充分必要条件；若a与b都不为零向量，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos ，由|ab|a|b|得|cos |1，则两向量的夹角为0或，所以ab.若ab，则a与b同向或反向，故两向量的夹角为0或，则|cos |1，所以|ab|a|b|，故“|ab|a|b|”是“ab”的充分必要条件4答案：B解析：8404220，把1,2，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l，则第k段抽取的号码为l(k1)20,1l20,1k42.令481l(k1)20720，得25k37.由1l20，则25k36.满足条件的k共有12个5 答案：A解析：S矩形ABCD122，S扇形ADES扇形CBF.由几何概型可知该地点无信号的概率为P.6答案：D解析：对于选项A，若|z1z2|0，则z1z2，故，正确；对于选项B，若，则，正确；对于选项C，z1|z1|2，z22|z2|2，若|z1|z2|，则，正确；对于选项D，如令z1i1，z21i，满足|z1|z2|，而z122i，z222i，故不正确7答案：B解析：bcos Cccos Basin A，由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin Asin2A又sin A0，sin A1，故ABC为直角三角形8答案：A解析：当x0时，f(x)0，则ff(x).令3r0，得r3，此时T4(1)320.9答案：C解析：设矩形另一边长为y，如图所示.，则x40y，y40x.由xy300，即x(40x)300，解得10x30，故选C10答案：D解析：对于选项A，取x1.1，则x1.11，而x1.1(2)2，故不正确；对于选项B，令x1.5，则2x33,2x21.52，故不正确；对于选项C，令x1.5，y2.5，则xy44，x2，y3，xy5，故不正确；对于选项D，由题意可设xx1,011，yy2,021，则xyxy12，由011，120，可得1121.若0121，则xyxy12xy；若1120，则01121，xyxy12xy1112xy1xy，故选项D正确第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11答案：9解析：由双曲线方程知a4.又，解得c5，故16m25，m9.12 答案：解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r1，高SO2，则V几何体.13答案：4解析：由y|x1|及y2画出可行域如图阴影部分所示令2xyz，则y2xz，画直线l0：y2x并平移到过点A(1,2)的直线l，此时z最大，即z最小2(1)24.14答案：12223242(1)n1n2(1)n1解析：第n个等式的左边第n项应是(1)n1n2，右边数的绝对值为123n，故有12223242(1)n1n2(1)n1.15(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A答案：2解析：(ambn)(bman)abm2(a2b2)mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a22abb2)2(ab)22(当且仅当mn时等号成立)B 答案：解析：C与A在同一个O中，所对的弧都是，则CA又PEBC，CPEDAPED又PP，PEDPAE，则，PE2PAPD又PD2DA2，PAPDDA3，PE2326，PE.C 答案：(为参数)解析：由三角函数定义知tan (x0)，yxtan ，由x2y2x0得，x2x2tan2x0，xcos2，则yxtan cos2tan sin cos ，又时，x0，y0也适合题意，故参数方程为(为参数)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)16解：f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2x.(1)f(x)的最小正周期为，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，.由正弦函数的性质，当，即时，f(x)取得最大值1.当，即x0时，f(0)，当，即时，f(x)的最小值为.因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.17(1)解：设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，2ak11akak2akak21，a12q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾，假设不成立，故an1不是等比数列18(1)证法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图ABAA1，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由，易得B1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)，0，0，A1CBD，A1CBB1，A1C平面BB1D1D证法二：A1O平面ABCD，A1OBD又ABCD是正方形，BDAC，BD平面A1OC，BDA1C又OA1是AC的中垂线，A1AA1C，且AC2，AC2AA12A1C2，AA1C是直角三角形，AA1A1C又BB1AA1，A1CBB1，A1C平面BB1D1D(2)解：设平面OCB1的法向量n(x，y，z)，(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面BB1D1D的法向量，cos |cosn，|.又0，.19解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)P(A)P()P(A)1P(B).(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)，X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X0)，P(X1)，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为X0123PX的数学期望.20(1)解：如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，又，化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20，其中32kb640.由求根公式得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)21解：(1)f(x)的反函数为g(x)ln x.设直线ykx1与g(x)ln x的图像在P(x0，y0)处相切，则有y0kx01ln x0，kg(x0)，解得x0e2，.(2)曲线yex与ymx2的公共点个数等于曲线与ym的公共点个数令，则，(2)0.当x(0,2)时，(x)0，(x)在(0,2)上单调递减；当x(2，)时，(x)0，(x)在(2，)上单调递增，(x)在(0，)上的最小值为.当0m时，曲线与ym无公共点；当时，曲线与ym恰有一个公共点；当时，在区间(0,2)内存在，使得(x1)m，在(2，)内存在x2me2，使得(x2)m.由(x)的单调性知，曲线与ym在(0，)上恰有两个公共点综上所述，当x0时，若0m，曲线yf(x)与ymx2没有公共点；若，曲线yf(x)与ymx2有一个公共点；若，曲线yf(x)与ymx2有两个公共点(3)解法一：可以证明.事实上，(ba)(*)令(x0)，则(仅当x0时等号成立)，(x)在0，)上单调递增，x0时，(x)(0)0.令xba，即得(*)式，结论得证解法二：(ba)eba(ba)2eba2，设函数u(x)xexx2ex2(x0)，则u(x)exxex12ex，令h(x)u(x)，则h(x)exexxex2exxex0(仅当x0时等号成立)，u(x)单调递增，当x0时，u(x)u(0)0，u(x)单调递增当x0时，u(x)u(0)0.令xba，则得(ba)eba(ba)2eba20，因此，.2013 陕西理科数学 第14页