河北省唐山市高考数学一模试卷理科.doc

2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求1（5分）若复数z满足（3+4i）z=25，则复平面内表示z的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）已知集合A=x|x2x0，则（）AAB=BAB=RCBADAB3（5分）若函数，则f（f（2）=（）A1B4C0D5e24（5分）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A+2B2+4C+4D2+25（5分）在ABC中，B=90，则=（）A1B1CD46（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S4=4，S6=6，则S5=（）A1B0C2D47（5分）已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则SABF=（）ABCD8（5分）二项式（xa）7的展开式中，含x4项的系数为280，则dx=（）Aln2Bln2+1C1D9（5分）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（）A0.6B0.1C0.01D0.0510（5分）已知0，将函数f（x）=cosx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的最小值是（）AB3CD11（5分）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）ABCD12（5分）已知ab0，ab=ba，有如下四个结论：be；be；a，b满足abe2；abe2则正确结论的序号是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是14（5分）设数列an的前n项和为Sn，且，若a4=32，则a1=15（5分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线C上的点B满足ABAF，且|BF|=4，则p=16（5分）在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，则BC的取值范围是三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=ab（1）若，求sinA；（2）若=4，AB边上的高为，求C18（12分）某市春节期间7家超市的广告费支出xi（万元）和销售额yi（万元）数据如下：超市ABCDEFG广告费支出xi1246111319销售额yi19324044525354（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额参数数据及公式：，ln20.719（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACB=90，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点（1）求证：MN平面BB1C1C；（2）若平面CMN平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值20（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值21（12分）已知函数f（x）=sinx+tanx2x（1）证明：函数f（x）在（，）上单调递增；（2）若x（0，），f（x）mx2，求m的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数，0），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=1，l与C交于不同的两点P1，P2（1）求的取值范围；（2）以为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程23已知x，y（0，+），x2+y2=x+y（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求1（5分）（2017唐山一模）若复数z满足（3+4i）z=25，则复平面内表示z的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：（3+4i）z=25，（34i）（3+4i）z=25（34i），z=34i则复平面内表示z的点（3，4）位于第四象限故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）（2017唐山一模）已知集合A=x|x2x0，则（）AAB=BAB=RCBADAB【分析】先分别求出集合A和B，由此得到AB=R【解答】解：集合A=x|x2x0=x|x1或x0，AB=x|或1x，AB=R故选：B【点评】本题考查并集、交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、交集定义的合理运用3（5分）（2017唐山一模）若函数，则f（f（2）=（）A1B4C0D5e2【分析】由函数的解析式先求出f（2）的值，再求出f（f（2）的值【解答】解：由题意知，则f（2）=54=1，f（1）=e0=1，所以f（f（2）=1，故选A【点评】本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，注意自变量的范围，属于基础题4（5分）（2017唐山一模）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A+2B2+4C+4D2+2【分析】由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，由图中数据，可得体积【解答】解：由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，体积为+=+2，故选A【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键5（5分）（2017唐山一模）在ABC中，B=90，则=（）A1B1CD4【分析】根据平面向量的三角形法则求出，再由得出=0，列出方程求出的值【解答】解：ABC中，=（2，+2），又B=90，=0，即22（+2）=0，解得=1故选：A【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题目6（5分）（2017唐山一模）设等差数列an的前n项和为Sn，若S4=4，S6=6，则S5=（）A1B0C2D4【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，S4=4，S6=6，d=4，d=6，解得a1=4，d=2则S5=5（4）+2=0，故选：B【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）（2017唐山一模）已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则SABF=（）ABCD【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x2），代入y=x，解得B的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案【解答】解：由双曲线，可得a2=1，b2=3，故c=2，A（1，0），F（2，0），渐近线方程为y=x，不妨设BF的方程为y=（x2），代入方程y=x，解得：B（1，）SAFB=|AF|yB|=1=故选：B【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算8（5分）（2017唐山一模）二项式（xa）7的展开式中，含x4项的系数为280，则dx=（）Aln2Bln2+1C1D【分析】在（xa）7的展开式的通项中，令x的指数为4，求出r值，再表示出x4项的系数，解关于a的方程即可求出a，利用定积分可得结论【解答】解：（xa）7的展开式的通项为（1）r a r C7rx7r，令7r=4得r=3，展开式中x4项的系数（1）3 a3C73=35a3=280，a=2，dx=lnx=1故选：C【点评】本题考查二项式定理的应用，解决指定项的系数问题牢记定理是前提，准确计算是关键9（5分）（2017唐山一模）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（）A0.6B0.1C0.01D0.05【分析】根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行，可得：|2.53|m，且|2.452.5|m，解得m的取值范围，比较各个选项即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得n=6，a=3b=2.5，不满足条件|ba|m，执行循环体，a=2.5，b=2.45，由题意，此时应该满足条件|ba|m，退出循环，输出b的值为2.45可得：|2.53|m，且|2.452.5|m，解得：0.05m0.5，故选：B【点评】本题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题10（5分）（2017唐山一模）已知0，将函数f（x）=cosx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的最小值是（）AB3CD【分析】利用诱导公式化简和同名函数，根据三角函数平移变换规律，建立关系即可求的最小值【解答】解：由函数f（x）=cosx=sin（x）图象向右平移个单位后得到：sin（），由题意可得：，（kZ）解得：，0，当k=0时，的值最小值为故选A【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题11（5分）（2017唐山一模）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）ABCD【分析】先求出基本事件总数n=120，再求出乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数m=+AA=24，由此能求出乙、丙都不与甲相邻出场的概率【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，基本事件总数n=120，乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数m=+=24，乙、丙都不与甲相邻出场的概率p=故选：B【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用12（5分）（2017唐山一模）已知ab0，ab=ba，有如下四个结论：be；be；a，b满足abe2；abe2则正确结论的序号是（）ABCD【分析】根据题意，得出=，f（x）=，x0，利用导数判断0xe时f（x）增，xe时f（x）减；x=e时f（x）取得最大值；根据f（a）=f（b）得出aeb，判断正确错误；由eb得出f（b）f（）且f（a）f（），即abe2，判断正确错误【解答】解：ab0，ab=ba，blna=alnb，=，设f（x）=，x0，f（x）=，当0xe时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当xe时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当x=e时，f（x）max=f（e）=；f（a）=f（b），aeb0，正确，错误；eb，f（b）f（），f（a）f（），ae，abe2，正确，错误；综上，正确的命题是故选：C【点评】本题考查了利用构造函数的方法判断数值大小的应用问题，是综合性题目二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13（5分）（2017唐山一模）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，1），化目标函数z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为11=2故答案为：2【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题14（5分）（2017唐山一模）设数列an的前n项和为Sn，且，若a4=32，则a1=【分析】利用，a4=32，可得=32，即可得出结论【解答】解：，a4=32，=32，a1=，故答案为【点评】本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础15（5分）（2017唐山一模）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线C上的点B满足ABAF，且|BF|=4，则p=2或6【分析】求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论【解答】解：由题意，kAF=，直线AB的方程为y=x+，代入y2=2px，可得p2x212px+36=0，x=，|BF|=4，+=4，p=2或6，故答案为2或6【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题16（5分）（2017唐山一模）在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，则BC的取值范围是（1，）【分析】如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m由PA，PB，PC两两互相垂直，得a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2m2=412a2，在ABC中，1m【解答】解：如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=mPA，PB，PC两两互相垂直，a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2m2=412a2在ABC中，1m故答案为（1，）【点评】本题考查了空间位置关系，关键是把空间问题转化为平面问题，属于中档题三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2017唐山一模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=ab（1）若，求sinA；（2）若=4，AB边上的高为，求C【分析】（1）由已知结合正弦定理得：，结合范围可求，即可得解sinA的值（2）由题意及三角形面积公式可求，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可求C的值【解答】解：（1）由已知，结合正弦定理得：，于是因为，所以，可得（2）由题意可知，得：从而有：，即，又因为，所以，【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）（2017唐山一模）某市春节期间7家超市的广告费支出xi（万元）和销售额yi（万元）数据如下：超市ABCDEFG广告费支出xi1246111319销售额yi19324044525354（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额参数数据及公式：，ln20.7【分析】（1）求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程；（2）对数回归模型更合适当x=8万元时，预测A超市销售额为47.2万元【解答】解：（1），所以，y关于x的线性回归方程是（2）0.750.97，对数回归模型更合适当x=8万元时，预测A超市销售额为47.2万元【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，比较基础19（12分）（2017唐山一模）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACB=90，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点（1）求证：MN平面BB1C1C；（2）若平面CMN平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值【分析】（1）连接AC1，BC1，则NAC1且N为AC1的中点，证明：MNBC1，即可证明MN平面BB1C1C；（2）以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面B1MN，即可求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值【解答】（1）证明：连接AC1，BC1，则NAC1且N为AC1的中点，又M为AB的中点，MNBC1，又BC1平面BB1C1C，MN平面BB1C1C，故MN平面BB1C1C（4分）（2）解：由A1A平面ABC，得ACCC1，BCCC1以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC1=2（0），则M（1，0，1），N（0，1），B1（2，2，0），=（1，0），取平面CMN的一个法向量为，由，得：，令y=1，得，同理可得平面B1MN的一个法向量为，平面CMN平面B1MN，解得，得，又，设直线AB与平面B1MN所成角为，则所以，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（12分）（2017唐山一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值【分析】（1）由椭圆的离心率得出a、c的关系，再由a、b、c的平方关系，把点Q的坐标代入椭圆C的方程，求出b、a的值，写出椭圆C的方程；（2）讨论直线PN的斜率k不存在和斜率k存在时，分别计算四边形OPMN的面积S，即可得出四边形OPMN的面积为定值【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，得，=，a2=2b2；将Q代入椭圆C的方程，得+=1，解得b2=4，a2=8，椭圆C的方程为；（2）当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，从而有，所以四边形OPMN的面积为；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为：y=kx+m（m0），P（x1，y1），N（x2，y2）；将PN的方程代入C整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，所以，由得：，将M点坐标代入椭圆C方程得：m2=1+2k2；点O到直线PN的距离为，四边形OPMN的面积为综上，平行四边形OPMN的面积S为定值【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，考查了转化法与方程组以及根与系数关系的应用问题，是综合性题目21（12分）（2017唐山一模）已知函数f（x）=sinx+tanx2x（1）证明：函数f（x）在（，）上单调递增；（2）若x（0，），f（x）mx2，求m的取值范围【分析】（1）利用导函数的性质证明即可（2）利用导函数求解x（0，），对m进行讨论，构造函数思想，结合导函数的单调性，求解m的取值范围【解答】解：（）函数f（x）=sinx+tanx2x则，cosx（0，1，于是（等号当且仅当x=0时成立）故函数f（x）在上单调递增（）由（）得f（x）在上单调递增，又f（0）=0，f（x）0，（）当m0时，f（x）0mx2成立（）当m0时，令p（x）=sinxx，则p（x）=cosx1，当时，p（x）0，p（x）单调递减，又p（0）=0，所以p（x）0，故时，sinxx（*）由（*）式可得f（x）mx2=sinx+tanx2xmx2tanxxmx2，令g（x）=tanxxmx2，则g（x）=tan2x2mx由（*）式可得，令h（x）=x2mcos2x，得h（x）在上单调递增，又h（0）0，存在 使得h（t）=0，即x（0，t）时，h（x）0，x（0，t）时，g（x）0，g（x）单调递减，又g（0）=0，g（x）0，即x（0，t）时，f（x）mx20，与f（x）mx2矛盾综上，满足条件的m的取值范围是（，0【点评】本题主要考查导函数的性质来解决三角函数的问题，构造函数，利用导函数求单调性讨论m解决本题的关键属于难题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（10分）（2017唐山一模）已知直线l的参数方程为（t为参数，0），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=1，l与C交于不同的两点P1，P2（1）求的取值范围；（2）以为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程【分析】（1）求解曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程（t为参数，0），带入，得到关于t的一元二次方程的关系式，由题意判别式大于0，可得的取值范围（2）利用参数的几何意义即可求线段P1P2中点轨迹的参数方程【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为=1，根据2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1，将代入x2+y2=1得t24tsin+3=0（*）由16sin2120，得，又0，所求的取值范围是；（）由（1）中的（*）可知，代入中，整理：得P1P2的中点的轨迹方程为（为参数，）故得线段P1P2中点轨迹的参数方程为为（为参数，）【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换和参数方程的几何意义的运用23（2017唐山一模）已知x，y（0，+），x2+y2=x+y（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由【分析】（1）根据基本不等式的性质求出的最小值即可；（2）根据基本不等式的性质得到（x+1）（y+1）的最大值是4，从而判断出结论即可【解答】解：（1），当且仅当x=y=1时，等号成立所以的最小值为2（2）不存在因为x2+y22xy，所以（x+y）22（x2+y2）=2（x+y），（x+y）22（x+y）0，又x，y（0，+），所以x+y2从而有（x+1）（y+1）=4，因此不存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道中档题参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；zlzhan；gongjy；lcb001；742048；双曲线；w3239003；左杰；sxs123；陈远才；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年3月16日