2009年海南省高考数学试题及答案（理科）.pdf

-1-2009 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）数学（理工农医类）第 I 卷 一，选择题：（本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的。（1）已知集合,则 1,3,5,7,9,0,3,6,9,12ABNAC B (A)(B)1,5,73,5,7 (C)(D)1,3,91,2,3(2)复数 32322323iiii（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2（3）对变量 x,y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,，10），得散点图 1；对变量 u，v 有观测数据（1x1y1u，）（i=1,2,，10）,得散点图 2.由这两个散点图可以判断。1v （A）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 （B）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关（C）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 （D）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 （4）双曲线-=1 的焦点到渐近线的距离为 24x212y（A）（B）2 （C）（D）1 2 33（5）有四个关于三角函数的命题：xR,+=:x、yR,sin(x-y)=sinx-siny 1p2sin2x2cos2x122p:x,=sinx :sinx=cosyx+y=3p0,1 cos22x4p2其中假命题的是（A），（B），（C），（D），1p4p2p4p1p3p2p4p（6）设 x,y 满足 241,22xyxyzxyxy 则（A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值（C）有最大值 3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值（7）等比数列的前 n 项和为，且 4，2，成等差数列。若=1，则=nans1a2a3a1a4s（A）7（B）8 （C）15 （D）16（8）如图，正方体的棱线长为 1，线段1111ABCDABC D上有两个动点 E，F，且，则下列结论中11B D22EF 错误的是 （A）ACBE （B）/EFABCD平面 （C）三棱锥的体积为定值 ABEF （D）异面直线所成的角为定值,AE BF（9）已 知O，N，P 在所 在 平 面 内，且ABC，且,0OAOBOC NANBNC，则点 O，N，P 依次是的 PA PBPB PCPCPAABC （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）（10）如 果 执 行 右 边 的 程 序 框 图，输 入，那 么 输 出 的 各 个 数 的 合 等 于2,0.5xh-2-（A）3 （B）3.5 （C）4 （D）4.5 （11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为）为 2m（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24 2222 （12）用）用 mina,b,c表示表示 a,b,c 三个数中的最小值三个数中的最小值 设 f（x）=min,x+2,10-x (x 0),则 f（x）的最大值为 2x（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 第第 II 卷卷 二、填空题；本大题共二、填空题；本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。（13）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2），则直线 的方程为_.（14）已知函数 y=sin（x+）（0,-）的图像如图所示，则 =_ （15）7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答）。（16）等差数列前 n 项和为。已知+-=0，=38,则 m=_ nanS1ma1ma2ma21mS三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤。（18）（本小题满分 12 分）某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人），现用分层抽样方法（按 A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为 B 类工人；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽插结果分别如下表 1 和表 2.表 1：生产能力分组 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150人数 4 8 x5 3 表 2：生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150人数 6 y 36 18 -3-（i）先确定 x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ii）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （19）（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P 为侧棱 SD 上的点。2 （）求证：ACSD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若 SD平面PAC，求二面角 P-AC-D 的大小（）在（）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 使得 BE平面 PAC。若存在，求 SE：EC 的值；若不存在，试说明理由。（20）（本小题满分 12 分）已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和1.（）求椭圆 C 的方程；（）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，=，求点 M 的轨迹方程，并说OPOM明轨迹是什么曲线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （21）（本小题满分 12 分）已知函数 32()(3)xf xxxaxb e（I）如，求的单调区间；3ab()f x（II）若在单调增加，在单调减少，证明()f x(,),(2,)(,2),(,)6.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。（22）本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，已知的两条角平分线和相交于 H，F 在上，ABCADCE060BAC且。AEAF（I）证明：B,D,H,E 四点共圆：（II）证明：平分。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m CEDEF -4-（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程。已知曲线 C：（t 为参数），C：（为参数）。14cos,3sin,xtyt 28cos,3sin,xy（1）化 C，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；12（2）若 C 上的点 P 对应的参数为，Q 为 C 上的动点，求中点到直线 12t2PQM （t 为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 332,:2xtCyt （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原点的距离，y 表示 C到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和.（1）将 y 表示成 x 的函数；（2）要使 y 的值不超过 70，x 应该在什么范围内取值？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2009 年普通高校招生全国统一考试年普通高校招生全国统一考试 理数数学试题参考答案理数数学试题参考答案 一 选择题(1)A (2)D (3)C (4)A (5)A (6)B(7)C (8)D (9)C (10)B (11)A (12)C 二填空题(13)(14)(15)140 (16)10 yx910三解答题(17)解：方案一：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角；B 点到 M，11,N 的俯角；A，B 的距离 d（如图）22,所示）.3 分 第一步：计算 AM.由正弦定理；212sinsin()dAM 第二步：计算 AN.由正弦定理；221sinsin()dAN 第三步：计算 MN.由余弦定理.22112cos()MNAMANAMAN 方案二：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角，；B 点到 M，N 点的府角，；A，B 的距离 d（如图所示）.1122 第一步：计算 BM.由正弦定理；112sinsin()dBM第二步：计算 BN.由正弦定理；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 121sinsin()dBN 第三步：计算 MN.由余弦定理 22222cos()MNBMBNBMBN(18)解：（）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、110乙两工人都被抽到的概率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .1111010100p （）（i）由题意知 A 类工人中应抽查 25 名，B 类工人中应抽查 75 名.故 ，得，48525x 5x-5-，得.636 1875y15y 频率分布直方图如下 从直方图可以判断：B 类工人中个体间的关异程度更小.（ii），485531051151251351451232525252525Ax ，6153618115125135145133.875757575Bx 2575123133.8131.1100100 x A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为 123，133.8 和 131.1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （19）解法一：（）连 BD，设 AC 交 BD 于 O，由 题 意。在 正 方 形 ABCD 中，所 以SOACACBD,得.ACSBD 平面ACSD ()设正方形边长，则。a2SDa又，所以,22ODa060SOD 连，由（）知,所以,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m OPACSBD 平面ACOP且,所以是二面角的平面角。ACODPODPACD由,知,所以,SDPAC 平面SDOP030POD即二面角的大小为。PACD030 （）在棱 SC 上存在一点 E，使/BEPAC平面由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为24PDaSPNPNPDNPCSC。连 BN。在中知，又由于,故平面，得,由于EBDN/BNPO/NEPC/BENPAC平面/BEPAC平面,故.21SNNP：21SEEC：解法二：（）；连,设交于于，由题意知.以 O 为坐标原点，BDACBDOSOABCD 平面OBOC OS，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。xyzOxyz 设底面边长为，则高。a62SOa 于是 62(0,0,),(,0,0)22Sa Da 2(0,0)2Ca 2(0,0)2OCa 26(,0,)22SDaa w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0OC SD故 OCSD从而 ACSD ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量PAC26(,0,)22DSaaDAC，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 6)0,0,)2OSa3cos2OS DSOS DS030 （）在棱上存在一点使.SCE/BEPAC平面 由（）知是平面的一个法向量，DSPAC 且 2626,0,),(0,)2222DSaa CSaa（-6-设 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,CEtCS则 226(,(1),)222BEBCCEBCtCSaatat 而 103BE DCt 即当时，:2:1SE EC BEDS而不在平面内，故 BEPAC/BEPAC平面（20）解:()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得 ac，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1,4,37acacac解得所以椭圆的标准方程为 C221167xy（）设，其中。由已知及点在椭圆上可得(,)M x y4,4x 222OPOMPC。2222911216()xxy整理得，其中。2222(169)16112xy4,4x（i）时。化简得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3429112y 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。M4 7(44)3yx x（ii）时，方程变形为，其中 342222111211216916xy4,4x 当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。304My44x 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；314Mx44x 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；1Mx（21）解：（）当时，故 3ab 32()(333)xf xxxxe 322()(333)(363)xxfxxxxexxe 3(9)xexx w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (3)(3)xx xxe 当 3x 或03()0;xfx时，当 303()0.xxfx 或时，从而单调减少.()(,3),(0,3)3 03f x 在单调增加，在（，），（，）()3223()(3)(36)(6).xxxfxxxaxb exxa eexaxba 由条件得：从而 3(2)0,22(6)0,4,fababa即故 3()(6)42.xfxexaxa 因为所以()()0,ff 3(6)42(2)()()xaxaxxx 2(2)().xxx将右边展开，与左边比较系数得，故 2,2.a 2()4124.a又由 此 可 得(2)(2)0,2()40.即6.a 于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6.（22）解：（）在ABC 中，因为B=60，所以BAC+BCA=120.因为 AD，CE 是角平分线，所以HAC+HCA=60，故AHC=120.于是EHD=AHC=120.因为EBD+EHD=180，所以 B,D,H,E 四点共圆.-7-（）连结 BH,则 BH 为ABC 的平分线，得HBD=30 由（）知 B,D,H,E 四点共圆，所以CED=HBD=30.又AHE=EBD=60，由已知可得 EFAD，可得CEF=30.所以 CE 平分DEF.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （23）解：）解：（）222212:(4)(3)1,:1.649xyCxyC为圆心是（，半径是 1 的圆.1C4,3)为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆.2C（）当时，2t3(4,4).(8cos,3sin),(24cos,2sin).2PQM 故为直线 3C35270,|4cos3sin13|.5xyMCd到的距离从而当时，43cos,sin55 8 5.5d取得最小值（24）解：）解：（）4|10|6|20|,030.yxxx （）依题意，x 满足 4|10|6|20|70,030.xxx解不等式组，其解集为【9，23】所以 9,23.xw.w.w.k.s.5.u.c.o.m