2013年海南省高考数学试题及答案（理科）.pdf

2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 1 页20132013 年普通高等学校招生全国统一考试数学年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷全国新课标卷 II)II)第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的 1(2013 课标全国，理 1)已知集合Mx|(x1)24，xR R，N1,0,1,2,3，则MN()A0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,2,3 D0,1,2,3 2(2013 课标全国，理 2)设复数z满足(1i)z2i，则z()A1i B1I C1i D1i 3(2013 课标全国，理 3)等比数列an的前n项和为Sn.已知S3a210a1，a59，则a1()A B C D 131319194(2013 课标全国，理 4)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l 5(2013 课标全国，理 5)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为 5，则a()A4 B3 C2 D1 6(2013 课标全国，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的N10，那么输出的S()A 1111+2310B 1111+2!3!10!C 1111+2311 D 1111+2!3!11!7(2013 课标全国，理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()8(2013 课标全国，理 8)设alog36，blog510，clog714，则()Acba Bbca Cacb Dabc 9(2013 课标全国，理 9)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为 1，则a1,3,3.xxyya x ()A B C1 D2 1412 10(2013 课标全国，理 10)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0 B函数 yf(x)的图像是中心对称图形 C若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x0)单调递减 D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)0 11(2013 课标全国，理 11)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 12(2013 课标全国，理 12)已知点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0,1)B C D 2 11,222 11,231 1,3 2第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13(2013 课标全国，理 13)已知正方形ABCD的边长为 2，E为CD的中点，则_.AE BD 14(2013 课标全国，理 14)从n个正整数 1,2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5的概率为，则n_.11415(2013 课标全国，理 15)设为第二象限角，若，则 sin cos _.1tan4216(2013 课标全国，理 16)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17(2013 课标全国，理 17)(本小题满分 12 分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 2 页18(2013 课标全国，理 18)(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCB.22AB(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值 19(2013 课标全国，理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于 57 000 元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取X105，且X105 的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的数学期望 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 3 页20(2013 课标全国，理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(ab0)右焦2222=1xyab点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.30 xy12(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值 21(2013 课标全国，理 21)(本小题满分 12 分)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0 是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2 时，证明f(x)0.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 4 页请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22(2013 课标全国，理 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值 23(2013 课标全国，理 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的2cos,2sinxtyt中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 5 页24(2013 课标全国，理 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；13(2).2221abcbca 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 6 页20132013 年普通高等学校招生全国统一考试数学年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷全国新课标卷 II)II)第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的 1 答案：答案：A 解析：解析：解不等式(x1)24，得1x3，即Mx|1x3而N1,0,1,2,3，所以MN0,1,2，故选 A.2 答案：答案：A 解析：解析：1i.2i2i 1 i=1 i1 i 1 iz 22i2 3 答案：答案：C 解析：解析：设数列an的公比为q，若q1，则由a59，得a19，此时S327，而a210a199，不满足题意，因此q1.q1 时，S3a1q10a1，31(1)1aqqq10，整理得q29.311qqa5a1q49，即 81a19，a1.194 答案：答案：D 解析：解析：因为m，lm，l，所以l.同理可得l.又因为m，n为异面直线，所以与相交，且l平行于它们的交线故选 D.5 答案：答案：D 解析：解析：因为(1x)5的二项展开式的通项为(0r5，rZ Z)，则含x2的项为ax(105a)x2，5Crrx225C x15C x所以 105a5，a1.6 答案：答案：B 解析：解析：由程序框图知，当k1，S0，T1 时，T1，S1；当k2 时，；12T 1=1+2S当k3 时，；12 3T 111+22 3S 当k4 时，；12 3 4T 1111+22 32 3 4S 当k10 时，k增加 1 变为 11，满足kN，输出S，所以 B 正12 3 410T 1111+2!3!10!S 确 7 答案：答案：A 解析：解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为下图：则它在平面zOx上的投影即正视图为，故选 A.8 答案：答案：D 解析：解析：根据公式变形，因为 lg 7lg 5lg 3，所lg6lg21lg3lg3a lg10lg21lg5lg5b lg14lg21lg7lg7c 以，即cba.故选 D.lg2lg2lg2lg7lg5lg39 答案：答案：B 解析：解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，1,3xxy 作直线 2xy1，因为直线 2xy1 与直线x1 的交点坐标为(1，1)，结合题意知直线ya(x3)过点(1，1)，代入得，12a 所以.12a 10 答案：答案：C 解析：解析：x0是f(x)的极小值点，则yf(x)的图像大致如下图所示，则在(，x0)上不单调，故 C 不正确 11 答案：答案：C 解析：解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x02p5，则x05.2p又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(xx0)(yy0)y0.,02p2px将x0，y2 代入得px084y00，即4y080，所以y04.202y由2px0，得，解之得p2，或p8.20y16252pp所以C的方程为y24x或y216x.故选 C.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 7 页12 答案：答案：B 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13答案：答案：2 解析：解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的 坐 标 为(1,2)，则(1,2)，(2,2)，所 以AE BD.2AE BD 14答案：答案：8 解析：解析：从 1,2，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为2Cn5 的有(1,4)，(2,3)2 种，所以，即，解得221C14n24111142n nn n n8.15答案：答案：105解析：解析：由，得 tan，即 sin cos.1tan1tan41tan21313将其代入 sin2cos21，得.210cos19因为为第二象限角，所以 cos，sin，sin cos.3 1010101010516答案：答案：49 解析：解析：设数列an的首项为a1，公差为d，则S1010a145d0，110 9102adS1515a1105d25.115 14152ad联立，得a13，23d 所以Sn.2(1)211032333n nnnn令f(n)nSn，则，.32110()33f nnn220()3fnnn令f(n)0，得n0 或.203n 当时，f(n)0,时，f(n)0，所以当时，f(n)取最小值，而nN N，则f(6)203n 200 3n203n 48，f(7)49，所以当n7 时，f(n)取最小值49.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 解：(1)由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B 又A(BC)，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 由，和C(0，)得 sin Bcos B，又B(0，)，所以.4B(2)ABC的面积.12sin 24SacBac由已知及余弦定理得 4a2c2.2cos4ac又a2c22ac，故，当且仅当ac时，等号成立 422ac 因此ABC面积的最大值为.2+118 解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点 又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCB得，ACBC.22AB以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.CA 设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)CD CE 1CA设n n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即 10,0,CDCA nn11110,220.xyxz可取n n(1，1，1)同理，设m m是平面A1CE的法向量，则可取m m(2,1，2)10,0,CECA mm从而 cosn n，m m，3|3n mn m故 sinn n，m m.63即二面角DA1CE的正弦值为.6319 解：(1)当X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000，当X130,150时，T50013065 000.所以 80039000,100130,65000,130150.XXTX(2)由(1)知利润T不少于 57 000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 000 元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.20 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 8 页则，221122=1xyab222222=1xyab2121=1yyxx由此可得.2212122121=1bxxyyayyxx 因为x1x22x0，y1y22y0，0012yx所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.3因此a26，b23.所以M的方程为.22=163xy(2)由 2230,1,63xyxy解得或 4 3,33,3xy 0,3.xy因此|AB|.4 63由题意可设直线CD的方程为 y，5 333xnn设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得 3x24nx2n260.22,163yxnxy于是x3,4.222 93nn 因为直线CD的斜率为 1，所以|CD|.24342|93xxn由已知，四边形ACBD的面积.218 6|929SCDABn当n0 时，S取得最大值，最大值为.8 63所以四边形ACBD面积的最大值为.8 6321 解：(1)f(x).1exxm由x0 是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x).1e1xx函数f(x)在(1，)单调递增，且f(0)0.1e1xx因此当x(1,0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)单调递减，在(0，)单调递增(2)当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2 时，f(x)0.当m2 时，函数f(x)在(2，)单调递增 1e2xx又f(1)0，f(0)0，故f(x)0 在(2，)有唯一实根x0，且x0(1,0)当x(2，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值 由f(x0)0 得，ln(x02)x0，0ex012x 故f(x)f(x0)x00.012x 20012xx 综上，当m2 时，f(x)0.请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22 解：(1)因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，BCDCFAEA故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圆的直径(2)连结CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.1223 解：(1)依题意有P(2cos，2sin)，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)coscos2,sinsin2xy(2)M点到坐标原点的距离(02)2222cosdxy当 时，d0，故M的轨迹过坐标原点 24 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 9 页解：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即abbcca.13(2)因为，22abab22bcbc22caca故2(abc)，222()abcabcbca即abc.222abcbca所以1.222abcbca