2011年海南省高考数学试题及答案（理科）.pdf

第 1 页 海南、宁夏海南、宁夏 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 第第 I I 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。求的。(1)复数的共轭复数是 21 2ii（A）（B）（C）（D）35i35iii（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是（A）(B)（C）(D)2yx1yx21yx 2xy（3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040（4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）（B）（C）（D）13122334（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=x2yxcos2（A）（B）（C）（D）45353545（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为 （7）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点，为 CAB的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（A）（B）（C）2 （D）3 23（8）的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 512axxxx（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 yx2yxy（A）（B）4 （C）（D）6 103163（10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 12:10,3Pab 22:1,3Pab 3:10,3Pab 4:1,3Pab 其中的真命题是（A）（B）（C）（D）14,P P13,P P23,P P24,P P（11）设函数的最小正周期为，且，则()sin()cos()(0,)2f xxx()()fxf x（A）在单调递减 （B）在单调递减()f x0,2()f x3,44（C）在单调递增（D）在单调递增()f x0,2()f x3,44(12)函数的图像与函数的图像所有焦点的横坐标之和等于 11yx2sin(24)yxx（A）2 (B)4 (C)6 (D)8 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。第 2 页（13）若变量满足约束条件则的最小值为 。,x y329,69,xyxy2zxy（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过xOyC12,F Fx22l的直线 交于两点，且的周长为 16，那么的方程为 。,A B2ABFC（15）已知矩形的顶点都在半径为 4 的球的球面上，且,则棱锥ABCDO6,2 3ABBCOABCD的体积为 。（16）在中，则的最大值为 。ABC60,3BAC2ABBC三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）等比数列的各项均为正数，且 na212326231,9.aaaa a求数列的通项公式.na设 求数列的前项和.31323loglog.log,nnbaaa1nb(18)(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四 边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD.()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。（19）（本小题满分 12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）（20）（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y=-3 上，M 点满足 MB/OA，MAAB=MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。（21）（本小题满分 12 分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。ln()1axbf xxx()yf x(1,(1)f230 xy（）求、的值；ab（）如果当，且时，求的取值范围。0 x 1x ln()1xkf xxxk请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，DEABCABACABCAEn，的长是关于的方程的两个根。ADABx2140 xxmn（）证明：，四点共圆；CBDE（）若，且，求，所在圆的半径。90A4,6mnCBDE(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 第 3 页（为参数）2cos22sinxyM 是 C1上的动点，P 点满足,P 点的轨迹为曲线 C2 2OPOM ()求 C2的方程()在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与 C1的异于极点的交点为 A，与3C2的异于极点的交点为 B，求.AB(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 设函数,其中。()3f xxax0a（）当时，求不等式的解集 1a()32f xx（）若不等式的解集为，求 a 的值。()0f x|1x x 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案理科数学试卷参考答案 一、选择题（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D（7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题（13）-6 （14）（15）（16）221168xy8 32 7三、解答题（17）解：（）设数列an的公比为 q，由得所以。有条件可知 a0,故。23269aa a32349aa219q 13q 由得，所以。故数列an的通项式为 an=。12231aa12231aa q113a 13n（）111111loglog.lognbaaa(12.)(1)2nn n 故 12112()(1)1nbn nnn 12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn 所以数列的前 n 项和为 1nb21nn(18)解：（）因为,由余弦定理得 60,2DABABAD3BDAD从而 BD2+AD2=AB2，故 BDAD 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD 所以 BD平面 PAD.故 PABD（）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为轴的正半轴建立空间直角坐标系xD-，则 xyz,。1,0,0A03,0B，1,3,0C 0,0,1P(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)ABPBBC 设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z），则 即 3030 xyyz 因此可取 n=(3,1,3)设平面 PBC 的法向量为 m，则 00m PBm BC 第 4 页 可取 m=（0，-1，）342 7cos,72 7m n 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 2 77（19）解（）由实验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为，所以用 A 配方生产的产228=0.3100品的优质品率的估计值为 0.3。由实验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为，所以用 B 配方生产的产32 100.42100品的优质品率的估计值为 0.42（）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间 90,94,94,102,102,110的频率分别为 0.04，,054,0.42，因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即 X 的分布列为 X 的数学期望值 EX=20.04+20.54+40.42=2.68(20）解解：()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）,=(0,-3-y),MAMBAB=(x,-2).再由愿意得知（+）=0,即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.MAMBAB 所以曲线 C 的方程式为 y=x-2.142()设 P(x,y)为曲线 C：y=x-2 上一点，因为 y=x,所以 的斜率为x 0014212l120因此直线 的方程为，即。l0001()2yyx xx200220 x xyyx则 O 点到 的距离.又，所以 l20020|2|4yxdx200124yx 2020220014142(4)2,244xdxxx当=0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2.20 xl（21）解解：（）221(ln)()(1)xxbxfxxx 由于直线的斜率为，且过点，故即 230 xy12(1,1)(1)1,1(1),2ff 解得，。1,1,22bab 1a 1b（）由（）知，所以 ln11xxx 。22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxf xxxxxx考虑函数，则。()2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x 22(1)(1)2()kxxh xx(i)设，由知，当时，。而，故 0k 222(1)(1)()k xxh xx1x()0h x(1)0h当时，可得；(0,1)x()0h x 21()01h xx当 x（1，+）时，h（x）0 211x从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（+）0，即 f（x）+.1lnxxxk1lnxxxk（ii）设 0k0,故 h（x）0,而 h（1）=0，故k11当 x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，+）时，h（x）0，可得 h211x（x）0,与题设矛盾。综合得，k 的取值范围为（-，0（22）解：（I）连接 DE，根据题意在ADE 和ACB 中，ADAB=mn=AEAC,即.又DAE=CAB,从而ADEACB ABAEACAD因此ADE=ACB 第 5 页 所以 C,B,D,E 四点共圆。（）m=4,n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.取 CE 的中点 G,DB 的中点 F，分别过 G,F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH.因为C，B，D，E 四点共圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.由于A=900，故 GHAB,HFAC.HF=AG=5，DF=(12-2)=5.21故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2（23）解：（I）设 P(x,y),则由条件知 M().由于 M 点在 C1上，所以 2,2YX 即 sin222,cos22yxsin44cos4yx从而的参数方程为（为参数）2C4cos44sinxy（）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。1C4sin2C8sin射线与的交点的极径为，31CA14sin3射线与的交点的极径为。32CB28sin3所以.21|2 3AB（24）解：（）当时，可化为。1a()32f xx|1|2x由此可得 或。3x 1x 故不等式的解集为或。()32f xx|3x x 1x ()由的 ()0f x 30 xax此不等式化为不等式组 或 30 xaxax30 xaaxx即 或 4xaax2xaaa 因为，所以不等式组的解集为 0a|2ax x 由题设可得=，故2a12a