2015年海南省高考数学试题及答案（理科）.pdf

120152015 年普通高等学校招生全国统一考试（年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷海南卷）理科数学理科数学 注意事项注意事项 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 一一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=-2，-1,0,2，B=x|（X-1）（x+2）0,则 AB=（A）1，0 （B）0，1 （C）-1，0，1 （D）0，1，2 2.若 a 为实数且（2+ai）（a-2i）=4i，则a=（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是 （A）逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B）2007 年我国治理二氧化硫排放显现 （C）2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D）2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.等比数列满足=3，=21，则=11+3+53+5+7 （A）21 （B）42 （C）63 （D）84 5.设函数=，则+=f(x)1,2,1),2(log112xxxxf(2)f(log212)（A）3 （B）6 （C）9 （D）12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 （A）（B）（C）（D）817161517.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于 y 轴于 M、N 两点，则=MN （A）2 （B）8 （C）4 （D）10 668.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术 中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入分别为 14,18，,则输出的 =（A）0 （B）2 （C）4 （D）14 9.已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体 积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 （A）36 （B）64 （C）144 （D）256 10.如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，BOP=。将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 的函数，则（）（）的图像大致为 11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为 120，则E的离心率为 (A)(B)2 (C)(D)532212.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得f()f(x)(x R)（1）=0 0 x f()f(x)0成立的 的取值范围是 ()0 (A)(，1)(0，1)(B)(1，0)(1，)(C)(，1)(1，0)(D)(0，1)(1，)第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第 1313 题题第第 2121 题为必考题，每个试题考生必须做答题为必考题，每个试题考生必须做答.第第 2222 题题第第 2424 题为题为选考题，考生根据要求做答。选考题，考生根据要求做答。二二、填空题填空题：本大题共：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分。分。13.设向量不平行，向量与平行，则实数=_.(用数字填写答案)，aba2b14.若满足约束条件，则的最大值为_.，,022,02,01yxyxyxz=xy15.4的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为 32，则=_.(a)(1)a 16.设Sn是数列的前 项和，且=1，则=_.1+1=+1三三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，ABD 是ADC 面积的 2 倍。()求；CBsinsin()若 AD=1，DC=，求 BD 和 AC 的长.2218.（本小题满分 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率 19.（本小题满分 12 分）如图，长方体中，=8，点分别在，上，=。过1111=16，=101，11111 1带你的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形，（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（）求直线与平面 所成角的正弦值 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C：2+2=2，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有 9xym(m 0)两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.（I）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（II）若l过点(，),延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否平行四边行？3mm 若能，求此时 的斜率，若不能，说明理由.21.（本小题满分 12 分）设函数.()=+2()证明：在（，0）单调递减，在（0，）单调递增；()3（）若对于任意-1,1,都有,求的取值范围 1,2(1)(2)1 请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆 O 与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.（I）证明：EF平行于BC（II）若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 C1:，其中 0，在以 O 为极点，x 轴正)0(,sin,costttytx为参数，半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：，曲线 C3：.=2sin=32cos （I）.求 C2与 C3交点的直角坐标 （II）.若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求的最大值 AB（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 设均为正数，且,证明：、+=+（I）若，则；abcd dcba （II）是的充要条件.dcbadcba （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 设均为正数，且,证明：（I）若，则；dcba （II）是的充要条件.dcbadcba 4 2015 年海南省数学理科高考试题及答案解析年海南省数学理科高考试题及答案解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A=-2，-1,0，1,2，B=x|（X-1）（x+2）0,则 AB=（）（A）-1,0 （B）0,1（C）-1,0,1 （D）,0,，1，2【答案】A【解析】由已知得21Bxx，故1,0AB ，故选 A（2）若 a 为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则 a=（）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2【答案】B【解析】来源:Z_xx_k.Com（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是()（A）逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007 年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）20 06 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关（4）等比数列an满足 a1=3，135aaa=21，则357aaa()（A）21 （B）42 （C）63 （D）84【答案】B【解析】（5）设函数211 log(2),1,()2,1,xx xf xx,2(2)(log 12)ff()（A）3 （B）6 （C）9 （D）12【答案】C【解析】由已知得2(2)1 log 43f ，又2log 121，所以22log 12 1log 62(log 12)226f，故 2(2)(log 12)9ff（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （A）81 （B）71 （C）61 （D）51【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCDABC D中，截去四面体111AAB D，如图所示，设正方体棱长为a，则1 1133111326A A B DVaa，故剩余几何体体积为3331566aaa，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51 5CBADD1C1B1A1（7）过三点 A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于 y 轴于 M、N 两点，则MN=（A）26 （B）8 （C）46 （D）10【答案】C【解析】（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入 a,b 分别为 14,18，则输出的 a=A.0 B.2 C.4 D.14【答案】B来源:Z.xx.k.Com【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为14a，18b；4b；10a；6a；2a；2b，此时2ab程序结束，输出a的值为 2，故选 B（9）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时2311136326O ABCC AOBVVRRR，故6R，则球O的表面积为 24144SR，故选 C BOAC 10.如 图，长 方 形 ABCD 的 边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的 中 点，点 P 沿 着 边 BC，CD 与 DA 运 动，记BOP=x将动点 P 到 A、B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x），则 f（x）的图像大致为 来源:学科网【答案】B【解析】的 运6动过程可以看出，轨迹关于直线2x对称，且()()42ff，且轨迹非线型，故选 B（11）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为（A）5 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】D【解析】（12）设函数 f(x)是奇函数()()f x xR的导函数，f（-1）=0，当0 x 时，()()0 xfxf x，则使得()0f x 成立的 x 的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】记 函 数()()f xg xx，则2()()()xfxf xg xx，因 为 当0 x 时，()()0 xfxf x，故 当0 x 时，()0g x，所以()g x在(0,)单调递减；又因为函数()()f x xR是奇函数，故函数()g x是偶函数，所以()g x在(,0)单调递减，且(1)(1)0gg当01x时，()0g x，则()0f x；当1x 时，()0g x，则()0f x，综上所述，使得()0f x 成立的x的取值范围是(,1)(0,1)，故选 A 二、填空题（13）设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_ 【答案】12【解析】因为向量ab与2ab平行，所以2abk ab（），则12,kk，所以12（14）若 x，y 满足约束条件1020,220,xyxyxy，则zxy的最大值为_【答案】32 xy1234123412341234DCBO（15）4()(1)axx的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则a _【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464xxxxx，故4()(1)axx的展开式中 x 的奇数次幂项分别为4ax，34ax，x，36x，5x，其系数之和为441+6+1=32aa，解得3a （16）设nS是数列 na的前 n 项和，且11a ，11nnnaS S，则nS _【答案】1n【解析】由已知得111nnnnnaSSSS，两边同时除以1nnSS，得1111nnSS，故数列1nS是以1为首项，1为公差的等差数列，则11(1)nSnn ，所以1nSn 三解答题 717（本题满分（本题满分 12 分）分）中，是上的点，平分，面积是面积的 2 倍 ABCDBCADBACABDADC()求；sinsinBC()若，求和的长 1AD 22DC BDAC【答案】()；()121()因 为，所以在和中，由余弦定理得:ABDADCSSBD DC2BD ABDADC，2222cosABADBDAD BDADB2222cosACADDCAD DCADC由()知，所以 222222326ABACADBDDC2ABAC1AC 考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理 18（本题满分（本题满分 12 分）分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评AB分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率【答案】（）详见解析；（）0.48【解析】试题分析：（）将两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并根据数字的集中或分,A B散来判断平均值和方差的大小；（）事件“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”分为两种情况：当 B 地区满意度等级为不满意时，A 地区的满意度等级为满意或非常满意；当 B 地区满意度等级为满意时，A 地区满意度等级为非常满意再利用互斥事件和独立事件的概率来求解 试题解析：（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 表示事件：2BC“B 地区用户满意度等级为满意”则与独立，与独立，与互斥，1AC1BC2AC2BC1BC2BC1122BABACC CC C 1122()()BABAP CP C CC C 1122()()BABAP C CP C C 1122()()()()BABAP CP CP CP C由所给数据得，发生的概率分别为，故，1AC2AC1BC2BC162042010208201()AP C16=20，故 2()=AP C4201()=BP C10202()BP C8=20101684()=+0.4820202020P C考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件 19（本题满分（本题满分 12 分）分）如 图，长 方 体中,，点，分 别 在，上，1111ABCDABC D=16AB=10BC18AA EF11AB11C D过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 114AED FEF（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；8（）求直线与平面所成角的正弦值 AF【答案】（）详见解析；（）4 515【解析】试题分析：（）由线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；（）由交线围成的正方形，计算相关数据以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系EHGFDDA x，并求平面的法向量和直线的方向向量，利用求直线与平DxyzAFsincos,n AFn AFnAF AF面所成角的正弦值 试题解析：（）交线围成的正方形如图：EHGF（）作，垂 足 为，则，因 为为 正 方 形，所 以EMABM14AMAE18EMAAEHGF于是，所以以为坐标原点，的方向为轴10EHEFBC226MHEHEM10AH DDA x的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，Dxyz(10,0,0)A(10,10,0)H(10,4,8)E(0,4,8)F，设是平面的法向量，则即(10,0,0)FE (0,6,8)HE(,)nx y zEHGF0,0,n FEn HE 100,680,xyz所以可取又，故所以直线与平面所(0,4,3)n(10,4,8)AF 4 5cos,15n AFn AFnAF AF成角的正弦值为 4 515考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角 A1AB1BD1DC1CFEHGM 20（本题满分（本题满分 12 分）分）已知椭圆,直线 不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段222:9(0)Cxym mlOlCAB的中点为 ABM ()证明：直线的斜率与 的斜率的乘积为定值；OMl（）若 过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时 的斜l(,)3mmOMCPOAPBl率，若不能，说明理由【答案】()详见解析；（）能，或 4747【解析】试题分析：()题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线 的斜率；设直线 的方程同时和椭圆方程联立，利用ABll韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；（）根据()中结论，设直线方程并与椭圆方程联ABOM立，求得坐标，利用以及直线 过点列方程求的值 M2PMxxl(,)3mmk试题解析：()设直线，:l ykxb(0,0)kb11(,)A x y22(,)B xy(,)MMM xy将代入得，故，ykxb2229xym2222(9)20kxkbxbm12229Mxxkbxk 9于是直线的斜率，即所以直线的斜率与 的299MMbykxbkOM9MOMMykxk 9OMkk OMl斜率的乘积为定值（）四边形能为平行四边形 OAPB因为直线 过点，所以 不过原点且与有两个交点的充要条件是，l(,)3mmlC0k 3k 由()得的 方 程 为 设 点的 横 坐 标 为 由得，即OM9yxk PPx2229,9,yxkxym 2222981Pk mxk将点的坐标代入直线 的方程得，因此四边形239Pkmxk(,)3mml(3)3mkb2(3)3(9)Mmk kxkOAPB为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是 ABOP2PMxx239kmk解得，因为，所以当 的斜率为 2(3)23(9)mk kk147k 247k 0,3iikk1i 2l或时，四边形为平行四边形 4747OAPB考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系 21（本题满分（本题满分 12 分）分）设函数 2()mxf xexmx()证明：在单调递减，在单调递增；()f x(,0)(0,)（）若对于任意，都有，求的取值范围 12,1,1x x 12()()1f xf xem【答案】()详见解析；（）1,1【解析】试题分析：()先求导函数，根据的范围讨论导函数在和的符号即()(1)2mxfxm exm(,0)(0,)可；（）恒成立，等价于由是两个独立的变量，故可12()()1f xf xe12max()()1f xf xe12,x x求 研 究的 值 域，由()可 得 最 小 值 为，最 大 值 可 能 是或，故 只 需()f x(0)1f(1)f(1)f，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解(1)(0)1,(1)(0)1,ffeffem考 点：导数的综合应用（请考生在（请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。高三网题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。高三网）22（本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修 41：几何证明选讲 如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点OABCOABCBCMNADG，与、分别相切于、两点 ABACEF （）证明：；/EFBC（）若等于的半径，且，求四边形的面积 AGO2 3AEMNEBCF【答案】（）详见解析；（）16 33【解析】试题分析：（）由已知得，欲证明，只需证明，由切线长定理可得ADBC/EFBCADEF，故只需证明是角平分线即可；（）连接，在中，易求得AEAFADOEOMRt AEO030OAE，故和都是等边三角形，求得其边长，进而可求其面积四边形的面积为两个等边三角形AEFAEFEBCF面积之差 试题解析：（）由于是等腰三角形，所以是的平分线又因为分别与ABCADBCADCABO、相切于、两点，所以，故从而 ABACEFAEAFADEF/EFBC（）由（）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在AEAFADEFADEFEFOOADM10上连接，则由等于的半径得，所以所以OEOMOEAEAGO2AOOE030OAEABC和都是等边三角形因为，所以，AEF2 3AE 4AO 2OE 因为，所以于是，所以四边形的2OMOE132DMMN1OD 5AD 10 33AB EBCF面积 22110 331316 3()(2 3)232223 考点：1等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质 23（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴xoy1cos,:sin,xtCytt0t 0Ox正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线 2:2sinC3:2 3cosC（）.求与交点的直角坐标；2C1C（）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值 2C1CA3C1CBAB【答案】（）和；（）(0,0)3 3(,)224【解析】试题分析：（）将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以2C1C直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（）分别联立与和与的极坐标方2C1C3C1C程，求得的极坐标，由极径的概念将表示，转化为三角函数的最大值问题处理,A BAB试题解析：（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为2C2220 xyy3C222 30 xyx联立解得或所以与交点的直角坐标为和 222220,2 30,xyyxyx0,0,xy3,23,2xy2C1C(0,0)3 3(,)22（）曲线的极坐标方程为，其中因此得到极坐标为，的1C(,0)R 0A(2sin,)B极坐标为所以，当时，取得最大(2 3cos,)2sin2 3cosAB4in()3s56AB值，最大值为 4考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值 24（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 设均为正数，且，证明：,a b c dabcd（）若，则；abcdabcd（）是的充要条件 abcdabcd【答案】（）详见解析；（）详见解析 考点：推理证明