2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题-含答案.doc

2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知为正实数，且是奇函数，则的值域为 2.设数列满足，则 3.已知，则 4.在八个数字，中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数5.已知虚数满足，则 6.设，若平面上点满足，对于任意，有，则的最小值为 ，此时 7.在中，且三角形的面积为，则的最小值为 8.设，则有 个不同的解9.设满足，则的取值范围为 10.四面体，则该四面体外接球的半径为 二、解答题11.已知动直线与圆：相切，与椭圆相交于不同的两点，.求原点到的中垂线的最大距离.12.设，且对任意实数均有，求的取值范围.13.设实数，满足和，证明：.14.将个不同整数分成两组，；，.证明.15.如图所示将同心圆环均匀分成格.在内环中固定数字.问能否将数字填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. ； 7. 8. 9. 10. 二、解答题11.解：依题意可设：.因为直线与圆相切，所以，到直线的距离为，即.原点到的中垂线的最大距离为.12.解1：设，对于，所以只要考虑.（1）当时，即.此时函数的最值在抛物线的左右端点取得，对任意有，所以，解得.（2）当时，即，此时函数的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对有，.（3）当时，即，此时函数的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对有，.（4）当时，即，此时函数的最值在抛物线的左右端点取得，对任意有，所以，解得.综上或.解2：设，则有，依题意，或.13.证明：由条件，同号.反证法，假设.（1）若，同为正数，由，同号可知，同号.由，同理.类似可证明：，.因此，矛盾.（2）若，同为负数，由，同号可知，均为负数，仍然有，类似（1）可证得.14.证明：令，下面用归纳法证明.当时，不妨设，.，当；当.假设对正整数成立，对正整数，不妨设15、经过有效处理的废水，可以排放到湖泊、河流和海洋中，也可以渗入地下。，.再设，则有，10、由于人口迅速增长、环境污染和全球气候变暖，世界人均供水量自1970年以来开始减少，而且持续下降。下证.7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。由（1），得到；（2）若，则.15.解：设对应于内环，的外环数字为，它是数字，的一个排列.对，记外环数字在按顺时针方向转动格时，和内环数字相同，即，.12、太阳是太阳系里唯一发光的恒星，直径是1400000千米。根据题意，应是，的排列.求和一、填空：.于是必须是奇数.答：硫酸铜溶液的颜色逐渐变浅，取出铁钉后，发现浸入硫酸铜溶液中的那部分变红了。对于奇数，我们取，可以验证20、在水中生活着许我微生物，常见的有草履虫、变形虫、喇叭虫、眼虫、团藻等。，二、问答：，7、将铁钉的一部分浸入硫酸铜溶液中，有什么现象？过一会儿，取出铁钉，我们又观察到了什么现象？（P36），5、月球在圆缺变化过程中出现的各种形状叫作月相。月相变化是由于月球公转而发生的。它其实是人们从地球上看到的月球被太阳照亮的部分。符合题目要求！