1、2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月18日8:3010:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内1. 若m为实数，则代数式+m的值一定是 A. 正数 B.0 C.负数 &n
2、bsp;D.非负数2如图1所示，是两架处在平衡状态的天平，那么，对于a、b、c三种物体的重量，下列判断正确的是 Ac>a Ba<b Ca<c D. b<c3. 如图2，点C是PAQ的平分线上一点，点B、B分别在边AP、AQ上，如果再添加一个条件，即可推出AB=AB,那么该条件不可以是 图
3、2A. BBAC B. CB=CB C. ACB=ACB D. ABC=ABC 图14图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为a、b，则（a+b）2的值是 A13 B19 C25 D169
4、 图35已知m是方程的一个根，则代数式的值等于A.2005 B.2006 C.2007 D.20086将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，
5、则这段绳子共被剪成的段数为A37 B36 C35 D347 某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于A9人
6、 B10人 C11人 D12人8如图4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方体共有（ ）块A9 B10 C11 &n
7、bsp; D129如图5，将ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A，若C=120，A=26,则ADB的度数是A120 B112 C110 D10810. 方程的正根的个数是A0个 B1个 C2个 D3个二、填
8、空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）11若表示不超过x的最大整数，如等，则_12在直径为4cm的O中，长度为cm的弦BC所对的圆周角的度数为 .13如图6，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡放光，那么随机闭合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为 _.14如图7，在ABC中，AB=5,AC=3,D为BC的中点，AD=2，则tanBAD= _.15若干个 装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时
9、工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人装卸的时间是第一个人的，则按改变的方式装卸，自始至终共需时间 小时. 16.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用图8中的实线（OABC）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是 . 17.已知a3，b3，且，a
10、b=3,则k的最小整数值是_.18.若，且x、y、z均为非负数，则的最大值为_.三、解答题(本大题共2小题，每小题15分，满分30分)19. 已知在ABC中，ACB=90，AC=BC=4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度90），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与ABC的重叠部分（如图所示）。那么，在上述旋转过程中：（）线段与具有怎样的数量关系？四边形的面积是否发生变化？证明你发现的结论；（）连接，设 当的面积为时，求出的值。试问的面积是否存在最
11、小值，若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由。20. 某农机租赁公司共有台联合收割机，其中甲型台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（） 设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（） 若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案；（） 请你为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租
12、金最高，并说明理由。2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、选择题：1. D；2. A；3. B ；4. C；5. D；6. B；7. C； 8. A； 9. B； 10. A。1.提示：若m0，则|m|+ m= m=2 m0；若m<0，则|m|+ m=m+ m =0，故选D；2.提示：由左天平知ab，由右天平知bc，ac故选A；3.提示：由已知条件和选项B不能保证ACBACB，从而无法推出AB=AB，故选B；4.提示：依题意知（ab）2=1，a22ab+ b2=1，又a2+ b2=13，2ab=12，（a+b）2=a+2ab+ b2=13+12=25，故选C；5.由已
13、知条件得m22006m+1=0，m22005m= m1，m2+1= 2006m，于是原式=m1+3=1+3= +3=+3=3005+3=2008，故选D；6.提示：每隔3cm剪一刀共剪7231=241=23（刀），每隔4cm剪一刀，共剪7241=17（刀），所以应共剪23+17=40（刀），但其中重复位置的刀数为：72121=5（刀），因此互不重复的刀数为405=35（刀），所以72cm长的绳子按要求被剪的段数为35+1=36（段），故选B，7.提示：因为每份菜单价为别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），共9种菜，所有符合要求的购菜方案为：1+9，2+8，3+7，4+6，1+2+7，1
14、+3+6，1+4+5，2+3+5，1+2+3+4，共9种，又共有92人就餐，929=10余2，故选C；8.提示：从俯视图知该立体图形从前到后共排了三排小正方体，各位置上小正方体的个数如图所示，故选A； 9.提示：分别延长BD，CE相交，则交点即为点A，由三角形中位线的性质知DEBC，ADE=B=180CA=18012026=34，又由轴对称的性质知ADE=ADE=34，ADB=180234, ADB=
15、180234=112,故选B；10.提示，分别画出函数y=2xx2和y=在x0的图象（如 图所示），因为函数y=2xx2和y=的图象在第一象限内无交点，因此，方知2xx2=无正数根，故选A。另解：令2xx2=0，解得x1=0，x2=2，易知方程2xx2=正数解x的值的范围应是0<x<2，而此时2xx2=（x1）2+11，1，因此，原方程无正数解。二、填空题：11.10；12.60或120；13.；14.；15.16；16.24x38；17. 2；18.130。11. 10，提示：+3=2+3（4）=212=10；12. 60或120，提示：作0的直径AB，连结AC，则在ABC中，A
16、B=4，BC=2，C=90，A=60，设BC所对的圆周角为P.当P的顶点P在上时，P=A=60，当P的顶点P在劣弧上时，P+A=180，P=120；13. ，提示：画出树状图求解，答案为；14. ，提示：延长AD到E，使DE=AD=2，连结BE，则BDECDABE=AC=3，又AE=4，AB=5，显然AEB为Rt，E=90，tanBAD=；15.16，提示：设自始至终需x小时，由于每个工人的装卸速度相同，且工作时间是等差递减的，因此，这些工人的装卸时间的平均数为（x+x）；于是得方程（x+x）=10；16.24x5。18.130，提示：由用x来表示y、z，得y=402x，z=x10，又由y0，
17、z0，得解得10x20，又把y=402x，z=x10代入M=5x+4y+2z得，M=x+140，显然M是关于x的一次函数，且M随x增大而减小，所以当x=10时，M的最大值为130。三、解答题：19.（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为ABC面积的一半.理由如下：连结OCABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，COABOCK=B=45，CO=OB， 又 COK与BOH均为旋转角，COK=BOH=COKBOHBH=CK，S四边形CHOK=SCOK+SCOH=SBOH+SCOH=SCOB=SABC=4.（2）由（1）知CK=BH=x
18、，BC=4，CH=4x，根据题意，得CHCK=，即(4x）x=3，解这个方程得x1=1，x2=3，此两根满足条件：0x4所以当CKH的面积为时，x的取值是1或3；设OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为4，于是得关系式：S=4SCKH=4x（4x）=（x24x）+4=（x22）+2当x=2时，函数S有最小值2，x=2时，满足条件0x4，OKH的面积存在最小值，此时x的值是2.20.（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30x）台，派往A、B地区的甲型收割机分别为（30x）台和（x10）.y=1600x+1200（30x）+1800（30x）+1600（x10
19、）=200x+74000 （10x30）（2）由题意，得200x+7400079600,解得x28，10x30，x是正整数x=28、29、30有3种不同分派方案：当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区；（3）y=200x+74000中y随x的增大而增大当x=30时，y取得最大值，此时，y=20030+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收
20、割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元.初三数学竞赛试题(初试)06.10.18一、 填空题(每题5分，共70分)1. 计算 =_.2. 在ABC中，AB=3，AC=4，高AD=2.4，设能完全覆盖ABC的圆的半径为R，则R的最小值是_.3. 已知，实数m満足,则m20072=_.4. 方程=mx+2有一负根而无正根，则实数 m的取值范围是_.5. 方程x2(m+2)x+m2+1=0有实根 、，则2+2的最大值是_.6. 某校为方便学生中午在校就餐，与某快餐公司联系为学生供应价格不等的6种盒饭(每人只限一份)，右图是某一天销售情况统计图，条形框上的百分数是销售的该
21、种盒饭占总销售量的百分数。若该天销售了1500份盒饭，加工各种盒饭的成本如下表所示。每天快餐公司可盈利_元。单位(元)234567成本(元)1.82.433.84.24.57. P为ABC内一点，AP、BP、CP与对边相交，把ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图上标明，则ABC的面积等于_。8. 如图，大半圆的弦AB与小半圆相切，且ABCD，AB=4。则阴影部分的面积是_。 9. 方程组的解是_. 10. 如图，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCD的三边DA、AB、BC围成，隧道最大高度为4.9米，AB=10米，BC=2.4米，若有一辆高为4米、宽为
22、2米的集装箱的汽车要通过隧道，为了使箱顶不碰到隧道顶部，又不违反交通规则(汽车应靠道路右侧行驶，不能超过道路中线)，汽车的右侧必须离开隧道右壁_。11. 已知， a+d2=2005, b+d2=2006, c+d2=2007,且abc=4，则=_。12. 三个动点A、B、C分别在同一圆周上沿同一方向作圆周运动，并且同时从同一点出发，A跑在B前面，接着又沿圆周追到B的背后，并且在出发8秒钟后，第一次追上B，同样在出发10秒钟后，B第一闪追上C，问A第一次追上C需用_秒。13. 如图，正方形ABCD的边长为2，又BEAC，且AE=AC，则BE=_。14. 长为2，宽为1的矩
23、形，以它的一条对角线所在的直线为轴转动一周，则得到的旋转体的体积是_.二、 解答题(共50分).AB .O .15. 桌上有一圆柱形玻璃杯高12，底面周长18，在杯内壁离杯口3的A处有一滴密糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至密糖相对方向离桌面3的B处时(即A、B在底面的射影的連线段经过底面的圆心O)，突然发现了密糖，问小虫怎样爬到达密糖最近？它至少爬多少路才能到达密糖所在位置。(10分)16. 某计算装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数中的各数依次输入A口，从B口分别得到输出的数。结果表明：从A口输入n=1时，从B口得到a1=;当n2时，从A口输入n，从B口得到的结果
24、是将前一结果an-1先乘以自然数中和第n1个奇数再除以自然数中和第n+1个奇数，试问：(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？ (2)从A口输入2008时，从B口得到什么数？ (3)求：a1+a2+a3+a2008的值。答案 ：1.2.2.53.20084.m>1且m05.66.16777.3158.29. 或10.大于2m小于3m11.12.13.14.15.616.(1)a2=, a3=, (2) a2008= (3) a1+a2+a3+a2008=2006年全国初中数学竞
25、赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）1在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A）36 （B）37 （C）55
26、 （D）90答：C解：因为4和9的最小公倍数为36，1936=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处故选C2已知，且=8，则a的值等于（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 答：C解：由已知可得，又=8，所以 解得a=9故选C3RtA
27、BC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴若斜边上的高为h，则（ ）（A）h<1 （B）h=1 （C）1h2答：B解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为（a，a2），由勾股定理，得， 所以 由于，所以a2c2=1，故斜边AB上高h= a2c2=1故选B4一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线
28、将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360于是，剪过k次
29、后，可得(k1)个多边形，这些多边形的内角和为(k1)360因为这(k1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34(622)180=3460180，其余多边形有(k1)34= k33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k33) 180所以(k1)3603460180(k33)180，解得k2005当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形
30、，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和3358个三角形于是共剪了58333358=2005（刀）故选B（第5题图）ABCDOQP5如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q若QP=QO，则的值为（ ）（A）（B） （C）（D）答：D（第5题图）ABCDOQP解：如图，设O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=rm，QA=rm在O中，根据相交弦定理，得QAQC=QPQD即 (rm)(rm)=mQD ，所以 QD=连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2QO2，即 &n
31、bsp; ， 解得所以， 故选D二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6已知a，b，c为整数，且ab=2006，ca=2005若a<b，则abc的最大值为 答：5013解：由，得 因为，a400，所以，12.5x<13.5 故x=13，此时9已知0<a<1，且满足，则的值等于
32、(表示不超过x的最大整数)答：6解：因为0<，所以，等于0或1由题设知，其中有18个等于1，所以 10="" x="1250(20871a)" a="">1当a>1时， =10分又当时，由，得 ， 将两边平方，结合得化简得 ， &
33、nbsp; 故 ，解得，或 所以，a的取值范围为a>1且，15分解法二：因为，所以，所以 又，所以，为一元二次方程 的两个不相等实数根，故，所以a>1当a>1时， =10分 另外，当时，由式有 ，即 或 ，解得，或当时，同理可得或所以，a的取值范围为a>1且，15分（第13题）ABC
34、OPEK13如图，点P为O外一点，过点P作O的两条切线，切点分别为A，B过点A作PB的平行线，交O于点C连结PC，交O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K求证：PEAC=CEKB证明：因为ACPB，所以KPE=ACE又PA是O的切线，所以KAP=ACE，故KPE=KAP，于是 KPEKAP，所以 ， 即 由切割线定理得 所以 &nb
35、sp; 10分因为ACPB，KPEACE，于是 故 ，即 PEAC=CEKB 15分1410个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中求n的最小值解：设10个学生为，n个课外小组，首先，每个学生至少参加两个课外小组否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾 &n
36、bsp; 5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾所以，每一个学生至少参加三个课外小组于是n个课外小组，的人数之和不小于310=30另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组，的人数不超过5n， 故 5n30， 所以n6 10分下面构造一个例子说明n=6是可以的，容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件所以，n的最小值为6 &nb
37、sp; 15分中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答.2解答书写时不要超过装订线.3草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1已知实数满足 ，则的值为（ ）（A）7
38、 （B） （C） （D）5【答】（A）解：因为，0，由已知条件得， ，所以 72把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（
39、; ） （A） （B） （C） （D）【答】（C）解：基本事件总数有6636，即可以得到36个二次函数. 由题意知0，即4.通过枚举知，满足条件的有17对. 故.3有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( ) （A）6条 （B） 8条 &n
40、bsp; （C）10条 （D）12条（第3题）【答】（B）解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线从而这6个点可以确定的直线不少于8条当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条4已知是半径为1的圆的一条弦，且以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（ &n
41、bsp;）（A） （B）1 （C） （D）a【答】（B）解：如图，连接OE，OA，OB 设，则 又因为，（第4题）所以，于是5将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）（A）2种 （B）3种 （C）4种 &nb
42、sp; （D）5种【答】（D）解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾又如果（1i3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6对于实数u，v
43、，定义一种运算“*”为：若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 【答】，或解：由，得，依题意有 解得，或7小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟【答】4解：设18路公交车的速度是
44、米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则
45、; 由，可得 ，所以 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟（第8题5数，段成比例，所以）8如图，在中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是BAC 的平分线，MFAD，则FC的长为 【答】9解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MNAB又，所以 ，（第8题答案5数
46、，段成比例，所以）所以 因此 99ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心I作DEBC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 【答】解：如图，设ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则，所以 （第8题答案图5数，段成比例，所以）（第8题答案图5数，段成比例，所以）因为ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此（第9题答案5数，段成比例，所以），所以 ，故 10关于x，y的方程的所有正整数解为 【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数设，则，同上可知，a，b都是偶数设，则，所以，c，d都是偶数设，则，于是 ，其中s，t都是偶数所以所/h/x
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