中考数学第25题专题复习训练(含答案).doc

第25题
专题复习训练(含答案）
1. 已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接DF、CF。
（1） 如图1，当点D在AB上，点E在AC中点，,求；
（2） 如图2，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转45°时，线段DF、CF有何数量关系和位置关系？证明你的结论；
（3） 如图3，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转任意角度时，线段DF、CF又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；

2. 如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．F为线段BD的中点．
（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，EF=2，求AB的长.
（2）如图2，当D、A、C在一条直线上时．线段EF与FC有何数量关系和位置关系？证明你的结论；
（3）如图③，连接EF、FC，线段EF与FC又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．

3.如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．
（1）求证：MN⊥CE；
（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，CE与MN有何数量关系和位置关系？证明你的结论．

4. 已知，如图1，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BC于点F，连接AF，G为AF的中点，连接EG，CG。
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG，CG的长；
（2）将图1中△BEF绕点B逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF的中点G，连接EG，CG。延长CG至M，使GM=GC，连接EM=EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；
（3）将图1中△BEF绕点B旋转任意角度，得如图3所示，取AF的中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。

5.已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F。
（1）如图1，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求AF的长；
（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，求证：.

6.在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=，CD=2，求AG的长度；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，试探究AG与DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．
图1 图2 图3

7.已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC

（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是______，MN与EC的数量关系是MN=EC
（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．

8.重庆一中初2016九上期末
如图1，在等腰中，，；在等腰中，，；点、分别在边、上，连接、，点是线段的中点，连接与交于点.
（1） 若，，求的值.
（2） 求证：.
（3）把等腰绕点转至如图2位置，点是线段的中点，延长交于点，请问
（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.
图2

图1

9.(西南大学附属中学初2016级九年级第七次月考)
已知，如图1，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BC于点F，连接AF，G为AF的中点，连接EG，CG。
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG，CG的长；
（2）将图1中△BEF绕点B逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF的中点G，连接EG，CG。延长CG至M，使GM=GC，连接EM=EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；
（3）将图1中△BEF绕点B旋转任意角度，得如图3所示，取AF的中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。

10.(重庆实验外国语学校2015-2016学年度下期第一次月考)
已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等腰苴角三角形，∠AFE=90°，点M是CE的中点，连接DM.(1)如图1，当点E、F分别在AD、AC上时，若AD=4，EF=，求DM的长；(2)如图2，当点E在BA延长线上时，连接DF、FM，求证:DM=FM,DM⊥FM；(3)如图3，当点E不在BA延长线上且点F在DE上时,过点A作AG⊥EC，垂足为G，连接FM，试探究DM与FM的关系。

11.(重庆八中初2016级初三（下）第三次月考)
以A为顶角顶点的等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，D在BC边上，E在AB边上，F为线段AD上一点，连接FC，．
(1)如图1．若AB=，∠BAC=30°，求
(2)如图1，求证：FA=FC．
A
E
C
F
D
B
图1
G
A
C
B
E
F
D
N
M
图2
(3)如图2，延长CF交AB于G，延长AB到M使GM=AC，连接CM，∠BAD=∠BCG ，N是GC的中点，探究AN与CM之间的数量关系并证明．

2016重庆中考数学第25题专题复习训练答案
1. 已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接DF、CF。
（4） 如图1，当点D在AB上，点E在AC中点，,求；
（5） 如图2，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转45°时，线段DF、CF有何数量关系和位置关系？证明你的结论；
（6） 如图3，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转任意角度时，线段DF、CF又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；

(1) (2) (如图) (3) （如图）

2. 如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．F为线段BD的中点．
（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，EF=2，求AB的长.
（2）如图2，当D、A、C在一条直线上时．线段EF与FC有何数量关系和位置关系？证明你的结论；
（3）如图③，连接EF、FC，线段EF与FC又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．

3.如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．
（1）求证：MN⊥CE；
（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，CE与MN有何数量关系和位置关系？证明你的结论．

4. 已知，如图1，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BC于点F，连接AF，G为AF的中点，连接EG，CG。
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG，CG的长；
（2）将图1中△BEF绕点B逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF的中点G，连接EG，CG。延长CG至M，使GM=GC，连接EM=EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；
（3）将图1中△BEF绕点B旋转任意角度，得如图3所示，取AF的中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。

5.在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=，CD=2，求AG的长度；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，试探究AG与DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．
图1 图2 图3

6.（2014•密云县二模）已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC

（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是______，MN与EC的数量关系是MN=EC
（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．
（1）MN⊥EC，MN=EC；
理由：∵当点E在AB上且点C和点D重合时，点M、N分别是DB、EC的中点，
∴MN是三角形BED的中位线，∴MN∥ BE，∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，∴BE=DE，∠AED=90°，
∴MN与EC的位置关系是：MN⊥EC，MN与EC的数量关系是：MN= EC．

（2）MN⊥EC，MN=EC；
理由：如图3，连接EM并延长到F，使EM=MF，连接CM、CF、BF．
在△EDM和△FBM中，DM＝MB ∠EMD＝∠FMB ME＝FM，∴△EDM≌△FBM（SAS），

∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°，∴∠FBC=∠EAC=90°，
在△EAC和△FBC中，AE＝BF ∠EAC＝∠FBC AC＝BC，∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴FC=EC，∠FCB=∠ECA，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，∴EC⊥FC，
又∵点M、N分别是EF、EC的中点，∴MN∥FC，∴MN⊥EC，
如图4，连接EM并延长交BC于F，∵∠AED=∠ACB=90°，∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠BFM，∠EDM=∠MBF，在△EDM和△FBM中，

7.如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．
（1）求证：MN⊥CE；
（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，求证：CE=2MN．

解：（1）证明一：
延长DN交AC于F，连BF，∵N为CE中点，∴EN=CN，
∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，∴DE∥AC，∵EN=NC ∴△EDN≌△CFN，
∴DN=FN，FC=ED，∴MN是△BDF的中位线，∴MN∥BF，∵AE=DE，DE=CF，
∴AE=CF，∵∠EAD=∠BAC=45°，∴∠EAC=∠ACB=90°，
在△CAE和△BCF中，CA＝BC ∠CAE＝∠BCF AE＝CF ∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴∠ACE=∠CBF，∵∠ACE+∠BCE=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，即BF⊥CE，∵MN∥BF，∴MN⊥CE．

证明二：(如图) 证明三：（如图）

(2)证明一：
延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，
∵M为BD中点，∴MN是△BDG的中位线，∴BG=2MN，
在△EDN和?CGN中，DN＝NG ∠DNE＝∠GNC EN＝NC ∴△EDN≌△CGN（SAS），
∴DE=CG=AE，∠GCN=∠DEN，∴DE∥CG，∴∠KCG=∠CKE，
∵∠CAE=45°+30°+45°=120°，∴∠EAK=60°，∴∠CKE=∠KCG=30°，∴∠BCG=120°，
在△CAE和△BCG中，AC＝BC ∠CAE＝∠BCG AE＝CG
∴△CAE≌△BCG（SAS），∴BG=CE，∵BG=2MN，∴CE=2MN．

证明二：
D
B
C
G
A
E
M
N

8.(重庆南开初2016级九年级（上）期末)已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F。
（1）如图1，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求AF的长；
（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，求证：.

9.重庆一中初2016九上期末如图1，在等腰中，，；在等腰中，，；点、分别在边、上，连接、，点是线段的中点，连接与交于点.
（3） 若，，求的值.
（4） 求证：.
（3）把等腰绕点转至如图2位置，点是线段的中点，延长交于点，请问
（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.
图2

图1

解：
(1) ， ∴ ，
在中：
∴ ……………4分

（2） 证明： ∴≌(
∴ ∴
∴ ∴ ∴ …………8分

(3) 成立. 延长至，使CN，连接
∴≌(
∴ ∴
∴
∴ ∴ ……………10分
∴≌( ∴
∴ ∴ ∴ …12分

10.(西南大学附属中学初2016级九年级第七次月考)
已知，如图1，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BC于点F，连接AF，G为AF的中点，连接EG，CG。
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG，CG的长；
（2）将图1中△BEF绕点B逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF的中点G，连接EG，CG。延长CG至M，使GM=GC，连接EM=EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；
（3）将图1中△BEF绕点B旋转任意角度，得如图3所示，取AF的中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。

11.(重庆实验外国语学校2015-2016学年度下期第一次月考)
已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等腰苴角三角形，∠AFE=90°，点M是CE的中点，连接DM.(1)如图1，当点E、F分别在AD、AC上时，若AD=4，EF=，求DM的长；(2)如图2，当点E在BA延长线上时，连接DF、FM，求证:DM=FM,DM⊥FM；(3)如图3，当点E不在BA延长线上且点F在DE上时,过点A作AG⊥EC，垂足为G，连接FM，试探究DM与FM的关系。

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