中位线经典习题及答案.doc

中位线经典习题及答案

菁优网

2014年4月王强的初中数学组卷

2014年4月王强的初中数学组卷

一．选择题（共10小题）
1．（2013•铜仁地区）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（　　）

A．
2cm
B．
7cm
C．
5cm
D．
6cm

2．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（　　）

A．
18米
B．
24米
C．
28米
D．
30米

3．（2012•泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（　　）

A．
4
B．
3
C．
2
D．
1

4．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）

A．

B．

C．
3
D．
4

5．（1997•海南）用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（　　）

A．
假定CD∥EF
B．
假定CD不平行于EF

C．
已知AB∥EF
D．
假定AB不平行于EF

6．用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°“时，应先假设（　　）

A．
∠B＞45°，∠C≤45°
B．
∠B≤45°，∠C＞45°
C．
∠B＞45°，∠C＞45°
D．
∠B≤45°，∠C≤45°

7．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（　　）

A．
a∥b
B．
a与b垂直
C．
a与b不一定平行
D．
a与b相交

8．能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是（　　）

A．
x=4
B．
x=3
C．
x=2
D．
x=15

9．下列说法正确的是（　　）

A．
等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合

B．
面积相等的两个三角形一定全等

C．
用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”

D．
反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小

10．下列命题宜用反证法证明的是（　　）

A．
等腰三角形两腰上的高相等

B．
有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形

C．
两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行

D．
全等三角形的面积相等

二．填空题（共4小题）
11．（2013•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为　_________　．

12．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为　_________　．

13．（2012•枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为　_________　．

14．（2011•柳州）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离　_________　米．

三．解答题（共16小题）
15．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．

16．（2012•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．
（1）求∠A的度数；
（2）求EF的长．

17．（2005•乌鲁木齐）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．

18．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．
（1）求证：DP=PE；
（2）若D为AC的中点，求BP的长．

19．（2013•镇江）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．

20．（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．
求证：四边形BECF是平行四边形．

21．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．

22．（2011•天水）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

23．（2010•东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

24．（2006•镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

25．（2006•湛江）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．

26．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．

27．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．

28．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．
（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．

29．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．
求证：OE=OF．

30．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．

2014年4月王强的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．（2013•铜仁地区）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（　　）

A．
2cm
B．
7cm
C．
5cm
D．
6cm

考点：
三角形中位线定理．2619177
分析：
由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．
解答：
解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，
则DE=AC，DF=BC，EF=AB，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=6cm，
故选D．

点评：
解决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．

2．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（　　）

A．
18米
B．
24米
C．
28米
D．
30米

考点：
三角形中位线定理．2619177
分析：
根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
解答：
解：∵D、E是OA、OB的中点，即CD是△OAB的中位线，
∴DE=AB，
∴AB=2CD=2×14=28m．
故选C．
点评：
本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．

3．（2012•泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（　　）

A．
4
B．
3
C．
2
D．
1

考点：
三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．2619177
专题：
压轴题．
分析：
连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE=HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．
解答：
解：连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∴△DCE≌△HAE（AAS），
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF=BH，
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，
∴EF=1．
故选D．

点评：
本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质，解题的关键是连接DE和AB相交构造全等三角形，题目设计新颖．

4．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）

A．

B．

C．
3
D．
4

考点：
三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．2619177
专题：
压轴题．
分析：
首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．
解答：
解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，
∴DE=BE+CD﹣BC=6，
∴PQ=DE=3．
故选C．
点评：
本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．

5．（1997•海南）用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（　　）

A．
假定CD∥EF
B．
假定CD不平行于EF

C．
已知AB∥EF
D．
假定AB不平行于EF

考点：
反证法．2619177
分析：
根据要证CD∥EF，直接假设CD不平行于EF即可得出．
解答：
解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．
∴证明的第一步应是：从结论反面出发，假设CD不平行于EF．
故选：B．
点评：
此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．

6．用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°“时，应先假设（　　）

A．
∠B＞45°，∠C≤45°
B．
∠B≤45°，∠C＞45°
C．
∠B＞45°，∠C＞45°
D．
∠B≤45°，∠C≤45°

考点：
反证法．2619177
分析：
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
解答：
解：用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°”时，
应先假设∠B＞45°，∠C＞45°．
故选：C．
点评：
此题主要考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键．

7．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（　　）

A．
a∥b
B．
a与b垂直
C．
a与b不一定平行
D．
a与b相交

考点：
反证法．2619177
分析：
根据反证法的步骤，直接得出即可．
解答：
解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，
∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c，则a、b相交．
故选：D．
点评：
此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

8．能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是（　　）

A．
x=4
B．
x=3
C．
x=2
D．
x=15

考点：
反证法．2619177
分析：
根据x=3时，（x﹣3）2=0，得出能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是：x=3．
解答：
解：∵x=3时，（x﹣3）2=0，
∴能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是：x=3．
故选：B．
点评：
本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题是假命题只要找到一个反例即可．

9．下列说法正确的是（　　）

A．
等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合

B．
面积相等的两个三角形一定全等

C．
用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”

D．
反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小

考点：
反证法；反比例函数的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．2619177
分析：
分别根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质和反证法的证明第一步以及反比例函数的增减性得出即可．
解答：
解：A、等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线、高线互相重合，故此选项错误；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误；
C、用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”，此选项正确；
D、反比例函数y=中，每个象限内，函数值y随自变量x的增大一定而减小，故此选项错误；
故选：C．
点评：
此题主要考查了反证法、反比例函数性质、等腰三角形的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．

10．下列命题宜用反证法证明的是（　　）

A．
等腰三角形两腰上的高相等

B．
有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形

C．
两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行

D．
全等三角形的面积相等

考点：
反证法．2619177
分析：
利用直接证明的方法不易证明的结论，可以考虑利用反证法证明，据此即可判断．
解答：
解：A、利用三角形的面积公式比较容易证明，故选项错误；
B、利用等边三角形的判定定理即可直接证明，故选项错误；
C、正确；
D、根据全等的定义可以直接证明，故选项错误．
故选C．
点评：
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法应用的条件，直接证明的方法不易证明的结论，可以考虑利用反证法证明．

二．填空题（共4小题）
11．（2013•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为　15　．

考点：
三角形中位线定理；平行四边形的性质．2619177
分析：
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．
解答：
解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，
∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．
故答案是：15．

点评：
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．

12．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为　　．

考点：
三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．2619177
专题：
压轴题．
分析：
延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．
解答：
解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF=∠CAF，
∵AF垂直CG，
∴∠AFG=∠AFC，
在△AFG和△AFC中，
∵，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AC=AG，GF=CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．
故答案为：．

点评：
本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．

13．（2012•枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为　　．

考点：
三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．2619177
专题：
压轴题．
分析：
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长
解答：
解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，
∴DF=AB=2.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=4，
∴EF=DE﹣DF=1.5，
故答案为1.5．
点评：
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

14．（2011•柳州）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离　46　米．

考点：
三角形中位线定理．2619177
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据E、F分别是线段AB、BC中点，利用三角形中位线定理，即可求出AC的长．
解答：
解：∵E、F分别是线段AB、BC中点，
∴FE是三角形ABC的中位线，
∴FE=AC，
∴AC=2FE=23×2=46米．
故答案为46．
点评：
此题考查学生对三角形中位线定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握三角形中位线定理，为进一步学习奠定基础．

三．解答题（共16小题）
15．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．

考点：
三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．2619177
分析：
（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．
解答：
（1）证明：在△ABN和△ADN中，
∵，
∴△ABN≌△ADN，
∴BN=DN．

（2）解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，DN=NB，
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴CD=2MN=6，
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
点评：
本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．

16．（2012•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．
（1）求∠A的度数；
（2）求EF的长．

考点：
三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．2619177
分析：
（1）由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求∠A的度数；
（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC，则BC=4cm．然后根据三角形中位线定理求得EF=BC．
解答：
解：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°﹣∠B=30°，即∠A的度数是30°；

（2）∵由（1）知，∠A=30°．
∴在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=AB=4cm．
又E、F分别为边AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC=2cm．
点评：
本题考查了三角形中位线定理、含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

17．（2005•乌鲁木齐）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．

考点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．2619177
专题：
证明题．
分析：
根据DE是三角形的中位线得到DE∥BC，根据CE是直角三角形斜边上的中线得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形而得证．
解答：
证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE为△ACB的中位线．
∴DE∥BC．
∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，
∴CE=AB=AE．
∴∠A=∠ACE．
又∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠ACE．
∴DF∥CE．
又∵DE∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形．

点评：
本题利用了：
①三角形中位线的性质．
②直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半．
③等边对等角．
④平行四边形的性质和判定．
⑤内错角相等，两直线平行．

18．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．
（1）求证：DP=PE；
（2）若D为AC的中点，求BP的长．

考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．2619177
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）过点D作DF∥AB，构造三角形全等，可证得△CDF为等边三角形，得到DF=BE，可由AAS证得△DFP≌△EBP⇒DP=EP；
（2）若D为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，有BF=BC=a，点P是BF的中点，得到BP=BF=a．
解答：
（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．
∵△ABC为正三角形，
∴∠CDF=∠A=60°．
∴△CDF为正三角形．
∴DF=CD．
又BE=CD，
∴BE=DF．
又DF∥AB，
∴∠PEB=∠PDF．
∵在△DFP和△EBP中，
∵，
∴△DFP≌△EBP（AAS）．
∴DP=PE．

（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．
∵D为AC中点，DF∥AB，
∴BF=BC=a．
∴BP=BF=a．

点评：
本题利用了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质求解．

19．（2013•镇江）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．2619177
专题：
证明题．
分析：
（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABE≌△DCF；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得∠AEB=∠DFC，则∠AEF=∠DFE，所以根据平行线的判定可以证得AE∥DF．由全等三角形的对应边相等证得AE=DF，则易证得结论．
解答：
证明：（1）如图，∵AB∥CD，
∴∠B=∠C．
∵在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；

（2）如图，连接AF、DE．
由（1）知，△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEF=∠DFE，
∴AE∥DF，
∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．

点评：
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．在证明（2）题时，利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理．

20．（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．
求证：四边形BECF是平行四边形．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．2619177
专题：
证明题．
分析：
通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．
解答：
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AEB与△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（ASA），
∴BE=CF．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF．
∴四边形BECF是平行四边形．
点评：
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

21．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定．2619177
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
解答：
证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．

（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

点评：
此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

22．（2011•天水）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．2619177
专题：
压轴题．
分析：
首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD=CB，∠DAF=∠BCE，可证出AD∥CB，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．
解答：
解：结论：四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵DF∥BE，
∴∠AFD=∠CEB，
又∵AF=CE DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点评：
此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB．

23．（2010•东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．2619177
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
解答：
证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=CB，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；

（2）由（1）知道AC=EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．

点评：
此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．

24．（2006•镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．2619177
专题：
证明题．
分析：
要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证．
解答：
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO．
∵AO=CO，
∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO．
∴AB=CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
点评：
平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

25．（2006•湛江）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．

考点：
平行四边形的判定；三角形中位线定理．2619177
专题：
压轴题；探究型．
分析：
四边形EFGH是平行四边形，连接AC，根据中位线定理，可证得EF∥AC，且EF=AC．GH∥AC，且GH=AC，∴EFGH．∴四边形EFGH是平行四边形．
解答：
解：四边形EFGH是平行四边形
证明：连接AC，如图．
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=AC．
同理：GH∥AC，且GH=AC，
∴EFGH．
∴四边形EFGH是平行四边形．

点评：
此题主要考查平行四边形的判定，综合运用了中位线定理，作辅助线是关键．

26．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．

考点：
反证法．2619177
专题：
证明题．
分析：
当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
解答：
证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；
那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；
这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．
点评：
本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

27．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．

考点：
反证法．2619177
分析：
首先假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，利用多项式乘以多项式得出（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，进而得出矛盾，则原命题正确．
解答：
证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，（n、p为整数），
则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，
∵无论n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，
所以假设不成立，
∴这两个整数中至少一个是偶数．
点评：
此题主要考查了反证法的证明以及多项式乘以多项式以及数的奇偶性，熟练掌握反证法证明步骤是解题关键．

28．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．
（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．

考点：
反证法．2619177
分析：
（1）真命题，不管底角还是顶角为60°，都可推出等腰三角形的每个角都为60°
（2）假命题，举一个反例即可．
解答：
解：（1）真命题，
（2）假命题．
假设原命题为真命题，那么在△ABC中，∠A=20°，∠B=30°，∠C=130°，则△ABC就应该是锐角三角形；
而实际上△ABC就应该是钝角三角形，
所以假设错误，
所以原命题为假命题．
点评：
本题考查了命题的判断，可反证法来证明．

29．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．
求证：OE=OF．

考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．2619177
专题：
证明题；压轴题．
分