杂交间断有限元方法多边形网格上解二阶椭圆问题_张玲丽.pdf

摘要：本文提出一种杂交间断有限元方法，用于解二阶椭圆问题。首先通过网格单元内部的自由度以及单元边界上的自由度，重构一个新的多项式基函数，然后采用间断有限元加罚方法进行加罚以保证数值格式的稳定性。该方法不仅能够降低间断伽辽金方法的计算量，而且能够适应多边形网格。同时，本文进行了理论分析，首先证明了能量范数下的误差估计，然后通过Aubin-Nitsche论证给出了L2范数下的误差估计。结果表明，两种范数下的收敛阶均是最优的。关键词：弱伽辽金；弱梯度；杂交有限元方法；椭圆问题；误差估计；多边形网格中图分类号：O242.21文献标志码：A文章编号：2096-854X（2022）060106-06A Hybridizable Discontinuous Finite Element Method forSolving Second Order Elliptic Problems on Polygonal MeshesZhang Lingli，Wang Huijuan，Xu Shipeng*（School of Mathematics and Computer Science,Jiangxi Science and Technology Normal University,Nanchang 330038,Jiangxi,P.R.China）Abstract:In this paper,a hybridizable discontinuous finite element method（Hybridizable FEM）is proposed tosolve second-order elliptic problems.Firstly,a new polynomial basis function is reconstructed through the degrees offreedom inside the grid elements and the degrees of freedom on the element boundaries,and then the discontinuousfinite element penalty method is used to ensure the stability of the numerical scheme.This method can not only reducethe computational complexity of the discontinuous Galerkin method,but also adapt to the polygonal meshes.At thesame time,this paper makes a theoretical analysis,first proves the error estimation under the energy norm,and thengives the error estimation under the L2norm through Aubin-Nitsche arguement.The results show that both the orders ofconvergence under the two norms are optimal.Key words:Weak galerkin;weak gradient;hybridizable FEM;elliptic problem;error estimate;polygonal mesh杂交间断有限元方法多边形网格上解二阶椭圆问题张玲丽，王慧娟，徐世鹏*（江西科技师范大学数学与计算机科学学院，江西 南昌330038）【数学计算】收稿日期：2022-06-16最终修回日期：2022-08-14接受日期：2022-08-15基金项目：江西省教育厅项目（GJJ201124）、江西科技师范大学博士启动基金项目（2018BSQD009）作者简介：张玲丽，女，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程数值解；王慧娟，女，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程数值解；*徐世鹏（通讯作者），男，讲师，博士，研究方向：偏微分方程数值解，E-mail:。江西科技师范大学学报Journal of Jiangxi Science&Technology Normal University第6期Issue 62022年12月Dec.20221前言众所周知，间断伽辽金（DG）有限元方法已经被用来模拟各种各样的偏微分方法，得到了广泛的应用。然而，与协调有限元方法相比，间断伽辽金方法应用于扩散问题时有两个缺点：一是未知的自由度数量明显增加，二是所得线性系统的稀疏性要小得多。为了克服未知的自由度数量多的缺点，许多研究员进行了大量地研究，例如，自适应间断有限元方法、重构间断有限元方法、杂交间断有限元方法、2022年高阶杂交有限元方法、虚拟有限元方法、弱间断有限元方法（WG-FEM）等等。在本文中，为了降低间断伽辽金方法的计算量，同时保留其好的特征，从而引入杂交间断伽辽金方法。类似于杂交间断有限元方法与弱有限元方法，方法的自由度存在于网格单元内部以及网格边界上，但是文中提出的方法的基本思想是，通过网格单元内部的自由度以及单元边界上的自由度，重构一个新的多项式基函数，然后间断有限元加罚方法进行加罚保证数值格式的稳定性，这点与已有的有限元方法不同。该方法不仅能够降低间断伽辽金方法的计算量，而且能够适应多边形网格。本文考虑求解一般系数和混合边界条件的椭圆型模型问题：（Au）=fin，（1.1a）Aun=gNon N，（1.1b）ugDon D，（1.1c）其中奂Rd（d2，3）是边界为的有界多边形或多面体开区域。定义：ND，且ND。假设fL2（），gNL2（N）且gDH1/2（D）。对称矩阵系数A：（aij（x）dd奂L（）dd满足一致椭圆性条件，即存在两个常数，0使得：TTA（x）T，Rd，x（1.2）现在，（1.1）式的弱形式是找到uH1（），使得在D上满足ugD，并且：Auvdx=fvdx+NgNvds，vH1D（）（1.3）其中H1D（）：vH1（）：v|D=0。为了完整地表述论文中的结果，我们引入类似于2，定义1.9中Th的匹配单纯形子网格。单纯形子网格Mh=（Th，Fh）满足以下条件：1、形状正则性；2、接触正则性。间断伽辽金方法文献3，对椭圆型问题和抛物型问题进行全面的分析，在对离散化参数作较温和的假设，可以保证不含内部惩罚项的完全稳定。对于右侧的每个单元是分段常数的特殊情况，证明了冒泡稳定的对称格式、冒泡稳定的非对称格式、使用拉格朗日乘子施加连续性的间断伽辽金方法和使用最低阶Raviart-Thomas单元的标准混合有限元方法和用于初始变量的分段常数单元之间的等价性。所有这些不同的公式都由相同的有限元解来满足。最后，将间断有限元方法与混合方法联系起来。最近，由王军平教授与叶秀教授引入的WG-FEM的方法6，7是通过使用离散弱梯度算子设计的，该算子应用于具有一定形状规则的任意多面体的有限元剖分上的不连续分段多项式。弱有限元方法的中心思想是引入弱函数、弱空间、弱算子（弱导数、弱散度、弱旋度等）到变分形式中，同时引入相应的离散弱函数、离散弱空间、离散弱算子（离散弱导数、离散弱散度、离散弱旋度等）到离散数值格式中，然后在接下来的程序中按照有限元框架使用它们。在实际应用中，弱有限元方法具有一些非常好的性质，例如，保留局部/整体质量守恒性质、不需数值格式加罚参数、能够采用多边形网格加密、逼近函数空间容易构造、凝聚技术减少自由度数量等，因此，被用来模拟各种各样的偏微分方程，例如，椭圆界面问题8、双调和问题9、Stokes问题10、Maxwell问题11等等。本文的组织结构如下：第二节介绍一些基本的知识，提出我们的数值方法，为理论分析作准备。第三节将进行理论分析，将证明能量范数与L2范数下的收敛阶是否达到最优。最后，第四节以总结本文的工作作为结束。2准备知识在这节中，将给出一些记号，定义变分形式与有限元空间，引入数值算法，为后面的误差分析作准备。Eh表示单元的所有边的集合，子集EN，ED和EI分别表示在边界N、D上和内部边的集合。对于每个单元TTh，hT表示T的直径。h表示Th上最大单元的直径，即h=maxTThhT。设T是Th中边界为T的单元。T上的弱函数为张玲丽，王慧娟，徐世鹏：杂交间断有限元方法多边形网格上解二阶椭圆问题107江西科技师范大学学报第6期v=v0，vb，其中v0L2（T）和vbL2（T）。对于每个TTh，其弱空间为：V（T）：=v=v0，vb：v0L2（T），vbL2（T），其中v0不一定是vb的迹。图1定义形状正则的多边形。左图：三角剖分网格。右图：对应的多边形网格考虑包含映射iV：H1（T）V（T）通过iVq：q|T，q|T，qH1（T）。通过这个映射，可以把Sobolev空间H1（T）嵌入到V（T）中，因此通过用iVq来作用每个qH1（T），可以认为H1（T）是V（T）的一个子空间。用TTh上局部空间V（T）定义全局网格Th上的弱空间：V：v=v0，vb：v0|TL2（T），vb|EL2（E），TTh，EEh。值得注意的是，弱空间V中每个v=v0，vb的分量vb在Eh上是单值的，即v01，vb1：=v0，vb|T1V（T1），v02，vb2：=v0，vb|T2V（T2）且E=T1T2，则vb1|E=vb2|E。设Pk（D）和Pk（D?）分别是区域DRd和D?Rd-1上的次数不超过k0的多项式的集合。定义每个TTh上的局部弱离散空间，其中k0，Vh（T）：=vh=v0，vbV（T）：v0|TPk（T），vb|TPk+1（T）定义Th上的全局弱离散空间：Vh（T）：=vh=v0，vbV：v0|TPk（T），vb|EPk+1（E），TTh，EEh和V0h：vh=v0，vbVh：vb|TD=0，TTh，EEh。对于每个TTh，给定vv0，vbV（T），引入一个投影算子R1，（2.8a）-（2.8b），在KHh（T）上定义|K：v|KPk+1（E），使得：K（v0R|Kv）dx=0Pk（K）（2.1a）E（v0R|Kv）ds=0Pk1（K）（2.1b）其中k0且E：KTEh，即E是Eh上三角形单元K的边或面。由于投影算子R在本文的分析中起着重要的作用，将利用4，5中的技巧在下面的引理中给出一种证明方法，证明它的存在性和近似性。引理1：投影算子R是适定的，并且具有逼近性质：如果uHk2（K），则有：u-Ru0，KhK1/2u-Ru0，KhK（u-Ru）0，KChk+2Ku Hk+2（K），（2.2）其中C是与单元KHh（T）无关的常数。证明：（2.1a）-（2.1b）中的方程数满足d+k()deqn（2.1a）+d+kd-()1eqn（2.1b）=d+k+1()ddimPk+1（K），这意味着我们只需要证明投影的唯一性，即如果u=0，则Ru=0。设i（1i3）是K的重心坐标，在E上1=0。根据（2.1b），在E上有u=0，Ru=0，因此对于一些pPk（K）有Ru=1p。在（2.1a）中取=p，我们得到：K1p2dx=0。考虑到当xK时，10，得到p=0，因此Ru=0。显然，0，K?和下面的形式supv?Pk（K?）（，v?）K?v?0，K?+supw?Pk+1（E?）（，w?）E?w?0，E?1082022年都是Pk+1（K?）上的范数，其中K?表示参考单元，因此由于是有限维的，所以等价于下列式子：u0，K?CsupvPk（K?）（u，v）K?v0，K?0，K?+supwPk+1（E?）（u，w）E?w0，E?()，uPk+1（K?）。（2.3）设P：L2（K）Pk+1（K）是L2投影：K（u-Pu）vdx=0，vPk+1（K）有如下性质：若uHk+2（K），则u-Ru0，KhK1/2u-Ru0，KhK（u-Pu）0，KChk+2KuHk+2（K）。（2.4）利用（2.1a），（2.3）和柯西-施瓦茨不等式，得到：Ru-Pu0，K?CsupwPk+1（E?）（Ru-Pu，w）E?w0，E?CRu-Pu0，E?。利用一个简单的标度引理和逆不等式，得到：Ru-Pu0，KCh1/2KRu-Pu0，ECh1/2KR（u-Pu）0，ECh1/2Ku-Pu0，E和（Ru-Pu）0，KCh1KRu-Pu0，ECh1/2Ku-Pu0，E。最后，利用性质（2.4）、三角不等式和迹不等式可以得出证明。如果EKK，则当E奂，v|E=v|E，q|E=q|E，v|E=v|En，q|E=q|En时，标量函数v和向量函数q的跳跃和平均值为：v|E=12（v+v-），v|E=v+n+v-n-，q|E=12（q+q-），q|E=q+n+q-n-。EThKqnvdx=EE0hEq+n+v+q-n-v-ds+EE0hEqnvds=EEhEqv+qvds=EEhEqvds。于是，给出杂交间断有限元算法如下：算法1：问题（1.1）的DG-有限元方法。找到uh：=u0-ubVh使得在D上ub=QbgD，且：Bh（uh，vh）=F（vh），vh：=v0，vbV0h（2.5）其中，Bh（uh，vh）=KTh（AR uh，R vh）K-E0hAR vh，R uhE-E0hAR uh，R vhE+E0hEhER uh，R vhE和F（vh）：KTh（f，R vh）K+EThgN，vbE。以下三个不等式将在本文中频繁使用。关于三角形单元的迹不等式：vKCinh-12KvK+h-12KvK()，vH1（K），KTh，（2.6）其中Cin是与K和v无关的一些常数。三角单元上的逆迹不等式：vKCtrh-12KvK，vTk（K），KTh（2.7）其中Ctr是与K和v无关的一些常数。Youngs不等式：0，a，bR，a，b2a212b2（2.8）为了估计误差，定义了以下半范数：vh21，h：KThA1/2R vh20，K+EE0hEhER vh20，K，vhH1（）Vh，这是空间H1D（）V0h上的范数。引理2：存在一个不依赖于网格大小的常数0，C1，C20，使得对于任意EEh，当E0，有：Bh（uh，vh）C1uh 1，hvh 1，h，uh，vhH1（）Vh，（2.9）Bh（uh，vh）C2vh21，h，vhVh。（2.10）证明：引理的证明类似于标准的DG-有限元方法。张玲丽，王慧娟，徐世鹏：杂交间断有限元方法多边形网格上解二阶椭圆问题109江西科技师范大学学报第6期3误差估计在这节中，首先证明能量范数下的误差估计，然后通过Aubin-Nitsche论证给出L2范数下的误差估计。结果表明，两种范数下误差估计的收敛阶均是最优的。定理1：设u和uh分别为问题（1.3）和（2.5）的解。则存在一个与网格大小h无关的常数E0，使得对于任意EEh，当E0时，有：如果uHk+1（），则：u-uh1，hChk+1uk+2，证明：设h：H1（）Pk1（Th），k0为拉格朗日插值算子，且满足估计：若uHk+2（K），k0，则：u-u0，Kh1/2Ku-u0，KhK（u-u）0，KChk+2KuHk+2（K）。（3.1）KTh（f，R vh）K=KTh（Au），R vh()K=KTh（Au，R vh）K，KThAun，R vhK=KThA（u-hu），R vh()KKTh（Ahu，R vh）KEE0hAu，R vhE-NgR vhds=KThA（u-hu），R vh()KKTh（Ahu，R vh）KEE0hA（u-hu），R vhE-EE0hAhu，R vhE-NgR vhds。根据R hu=hu，hu=0和（2.5），我们得到误差方程：Bh（uh-hu，vh）=KThA（u-hu），R vh()K-EE0hA（u-h），R vhE。（3.2）通过uh=uh-hu令，并使用强制性（1.3），得到：uh-hu21，hBh（uh-hu，uh-hu）=KThA（u-hu），（R uh-hu()）K-EE0hA（u-hu），R uh-huEKThu-hu0，K+R uh-hu0，K+EE0hhE0A（u-hu）0，EEhER uh-hu0，Ehk+1uk+2，uh-hu1，h+EE0hhEA（u-hu）20，E1/2uh-hu1，hhk+1uk+2，uh-hu1，h。然后，由三角不等式，得证：u-uh 1，hu-uh 1，h+uh-hu1，hChk+1uk+2，。在下文中，将把经典有限元方法中使用的Aubin-Nitsche提升技术应用到我们的方法中。因此，这里假设区域是凸的，并且给出对偶问题如下：-（Aw）=u-R uhin（3.3a）Awn=0on N，（3.3b）w0on D，（3.3c）的解属于H2（），并且连续依赖于右项u-R uh：w2，u-R uh 0，。（3.4）通过对偶论证12，13，得到类似于弱有限元方法14，15的结果，现给出L2误差估计如下：定理2：设u和uh分别为问题（1.3）和（2.5）的解。则存在一个与网格大小h无关的常数00，使得对于任意EEh，当E0时，有：如果uHk+2（），则：u-R uhChk+2uk+2，。证明：在公式（3.3a）两边同时乘以u-R uh，然后利用分部积分，得：1102022年（下转第123页）u-R uh2 （Aw），u-R uh()=KThAw，（u-R uh()）KKThAwn，u-R uhK=KThAw，（u-R uh()）KEE0hAw，u-R uhE。（3.5）根据方案的一致性，可以得到：0=Bh（u-uh，w）=KThA（u-R uh），R()wKEE0hAR w，u-R uhE-EE0hA（u-R uh），w-R wE+EE0hEhEu-R uh，w-R wE，（3.6）从（3.5）中减去（3.6），得到：u-R uh2=KThA（u-R uh），（w-R w()）KEE0hA（w-R w），u-R uhE-EE0hA（u-R uh），w-R wE+EE0hEhEu-R uh，w-R wE：=+（3.7）现在我们来分别估算，项。KThA1/2（u-R uh）0，K（w-R w）0，Ku-R uh 1，hCh w2，Chk+2uk+2，u-R uh，EE0hA（w-R w），u-R uhEu-R uh 1，hEE0hEhEA（w-R w）20，E()-1/2Chk+1uk+2，KThhEhK-1w-R w20，K+hE（w-R w）20，K1/2Chk+1uk+2，h2w2，Chk+3uk+2，u-R uh，EE0hA（u-R uh）0，Ew-R w0，EKThh-1K（u-R uh）20，E+hK2（u-R uh）20，E()1/2KThh-1Kw-R w20，K+hK（w-R w）20，K()1/2KThh-1K（u-R uh）20，K+hK2（u-uh）20，K+hK2（u-R uh）20，K1/2KThh-1Kw-R w20，K+hK（w-R w）20，K()1/2KThh-1K（u-R uh）20，K+hK2（u-uh）20，K+（u-uh）20，K（u-R uh）20，K1/2KThh-1Kw-R w20，K+hK（w-R w）20，K()1/2Chk+1/2uk+2，h3/2w2，Chk+2uk+2，u-R uh，EE0hEhEu-R uh0，Ew-R w0，Eu-R uh 1，hEE0hh-1Kw-R w20，E()1/2Chk+1uk+2，h w2，Chk+2uk+2，u-R uh。组合，的估计项，我们能够得到需要的结果。4结论本文提出了一种类似于弱有限元方法的杂交间断有限元方法解二阶椭圆问题，该方法不仅能够张玲丽，王慧娟，徐世鹏：杂交间断有限元方法多边形网格上解二阶椭圆问题1112022年（上接第111页）降低间断有限元方法自由度数量，而且能够适用于多边形网格，从而解复杂边界区域问题时有一定的优势。理论分析表明，能量范数与L2范数下的收敛阶均是最优的。数值格式依赖于网格加罚参数，具有一定的局限性。为了能够更好地解决实际问题，如何避免网格加罚参数是将来需要进一步研究的内容。参考文献：1Cockburn B,Dong B O,Guzmn J,et al.A superconvergentLDG-hybridizable galerkin method for second-order ellipticproblems 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