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<p><span id="_baidu_bookmark_start_0" style="display: none; line-height: 0px;"></span>幂函数专题
苏明亮
一、考纲解读及命题趋势探究
（一）考纲解读
1.了解幂函数的概念及性质.
2.结合函数的图像，了解它们的变化情况.
（二）命题趋势探究
有关幂函数的内容在高考中以考查基础知识为主，主要考察幂函数的图像与性质，一般以选择退或填空题形式出现，属于容易题，有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式等内容结合起来编制综合题.
复习本节不能追求难、新，而应重视基础知识，掌握教材中五种常见的幂函数即可.
二、知识点精讲
（一）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.
（二）幂函数的图像
幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.
当时，在同一坐标系内的函数图像如图所示.
（三）幂函数的性质
当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；
当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.
三、题型归纳
（一）比较大小
1．（2019年新课标Ⅰ卷理数）已知，则
A． B．
C． D．
答案：B
解析：因为，，，即，所以．故选B．
评注：本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．
2．（2019年高考天津理数）已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
答案：A
解析：因为，，
，即，所以．故选A．
评注：本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较．
3．(201年新课标III)卷理数 已知，，，则
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A．
4．(2016年新课标Ⅰ卷理数） 若，，则
A． B．
C． D．
答案：C
解析：选项A，考虑幂函数，因为，所以为增函数，又，所以，A错．对于选项B，，又是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C．
5．（2017年新课标Ⅰ卷理数）设为正数，且，则
A． B． C． D．
答案：D
解析：设，因为为正数，所以，
则，，，
所以，则，排除A、B；只需比较与，
，则，故选D．
6．（2012年新课标Ⅰ卷理数）当时，，则的取值范围是
A． B． C． D．
答案：B
解析：由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选B.
（二）幂函数的图像与性质及其应用
1.（2018上海卷）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则_____.
解析： 因为幂函数为奇函数，所以，又因为在上递减，所以.
2.函数为幂函数（为常数），且在上是减函数，则______.
分析：根据幂函数的定义及单调性求解.
解析：依题意，得，解得.
3.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
答案：.
解析：由题意可知：，故不等式
即对于任意的恒成立；
又函数为增函数，故对于任意的恒成立；
即；故；解得：；
故实数的取值范围是.
4.已知函数，若函数在上是单调的，则实数的取值范围是_____；若对任意的实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是_____.
答案：；
解析：对于第一问，显然只能单调递增，所以.
对于第二问，， 当时，的值域为，由题意可知是当时，的值域的子集，
当时，的值域为，所以;
当时，的值域为，所以.
综上所述：.
5.，存在，有，求的取值范围.
答案：.
解析：由题意可知：函数在上不单调；
若函数在上不单调则满足题意；此时即；
若函数在上单调递增；
此时，若满足题意，则，此时无实数解；
故的取值范围为.
6.（2019年郑州外国语高一月考）已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求满足的的取值范围.
分析：利用函数在区间上是减函数且为偶函数求，从而得到的解析式.
解析：（1）因为幂函数在区间上是减函数，所以得
，当时，；当时，；当时，.
又因为为偶函数，所以.
（2）由得.
即又在上单调递增，故，整理得
，解得，如图所示.
故的取值范围为.
评注：突破点为由单调性得的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.
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