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幂函数专题
苏明亮
一、考纲解读及命题趋势探究
（一）考纲解读
1.了解幂函数的概念及性质.
2.结合函数的图像，了解它们的变化情况.
（二）命题趋势探究
有关幂函数的内容在高考中以考查基础知识为主，主要考察幂函数的图像与性质，一般以选择退或填空题形式出现，属于容易题，有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式等内容结合起来编制综合题.
复习本节不能追求难、新，而应重视基础知识，掌握教材中五种常见的幂函
2、数即可.
二、知识点精讲
（一）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.
（二）幂函数的图像
幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.
当时，在同一坐标系内的函数图像如图所示.
（三）幂函数的性质
当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；
当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.
三、题型归纳
（一）比较大小
3、1．（2019年新课标Ⅰ卷理数）已知，则
A． B．
C． D．
答案：B
解析：因为，，，即，所以．故选B．
评注：本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．
2．（2019年高考天津理数）已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
答案：A
解析：因为，，
，即，所以．故选A．
评注：本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较．
3．(201年新课标III)卷理数 已知，，，则
A． B． C．
4、 D．
答案：A
解析：因为，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A．
4．(2016年新课标Ⅰ卷理数） 若，，则
A． B．
C． D．
答案：C
解析：选项A，考虑幂函数，因为，所以为增函数，又，所以，A错．对于选
5、项B，，又是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C．
5．（2017年新课标Ⅰ卷理数）设为正数，且，则
A． B． C． D．
答案：D
解析：设，因为为正数，所以，
则，，，
所以，则，排除A、B；只需比较与，
，则，故选D．
6．（2012年新课标Ⅰ卷理数）当时，，则的取值范围是
A． B． C．
6、nbsp; D．
答案：B
解析：由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选B.
（二）幂函数的图像与性质及其应用
1.（2018上海卷）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则_____.
解析： 因为幂函数为奇函数，所以，又因为在上递减，所以.
2.函数为幂函数（为常数），且在上是减函数，则______.
分析：根据幂函数的定义及单调性求解.
解析：依题意，得，解得.
3.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
答案：.
解析：由题意可知：，故不等式
即对于任意的恒成立
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又函数为增函数，故对于任意的恒成立；
即；故；解得：；
故实数的取值范围是.
4.已知函数，若函数在上是单调的，则实数的取值范围是_____；若对任意的实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是_____.
答案：；
解析：对于第一问，显然只能单调递增，所以.
对于第二问，， 当时，的值域为，由题意可知是当时，的值域的子集，
当时，的值域为，所以;
当时，的值域为，所以.
综上所述：.
5.，存在，有，求的取值范围.
答案：.
解析：由题意可知：函数在上不单调；
若函数在上不单调则满足题意；此时即；
若函数在上单调递增；
此时，若满足题意，则，此时无实数解
8、
故的取值范围为.
6.（2019年郑州外国语高一月考）已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求满足的的取值范围.
分析：利用函数在区间上是减函数且为偶函数求，从而得到的解析式.
解析：（1）因为幂函数在区间上是减函数，所以得
，当时，；当时，；当时，.
又因为为偶函数，所以.
（2）由得.
即又在上单调递增，故，整理得
，解得，如图所示.
故的取值范围为.
评注：突破点为由单调性得的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.
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