高考数学复习专题讲座 二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.doc

2008年银川二中数学第二轮复习资料 陈伟强
题目 高考数学复习专题讲座二次函数、指数函数、对数函数、幂函数
课程标准：（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ
1．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义,掌握有理指数幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点；会画底数为2、3、10、 、 的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型.
2. 对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2、3、10、 、 的对数函数的图象.(3)体会对数函数是一类重要的函数模型.
(4)了解指数函数 （a > 0,且 a≠1） 与对数函数 （a > 0,且a ≠1）互为反函数.
3. 幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y=x ,y=x 2,y=x 3, 的图象，了解它们的变化情况.
5．函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够借助计算器运用二分法求方程的近似解.
（十三）不等式
1．不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式（组）的实际背景.
2．一元二次不等式（1）会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.
（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式会设计求解的程序框图.
典型题例示范讲解
例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围
解： (1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0，∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点
(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2　
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0，∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)
∵的对称轴方程是∈(－2,－)时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()
点评：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力解答本题的关键点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合
例2已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.
（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值为正数，求a的取值范围.
解：（1）的解集为
∴…………①
由方程……………… ②
因为方程②有两个相等的根，所以，
即
由于代入①得的解析式
（2）由
及
由 解得
故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是
点评：本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.
例3. 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　　）
A． 　 B． 　　 　C． D．
解析：已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,则，记=．
（1）当a>1时，若在区间上是增函数，为增函数，令，t∈[, ]，要求对称轴，矛盾；
（2）当0<a<1时，若在区间上是增函数，为减函数，令，t∈[,]，要求对称轴，解得,所以实数的取值范围是,选D.
点评：本题主要考查考生分类讨论和数形结合的数学思想方法.

例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点
(1)证明 点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标
(1)证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,
由题意知 x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2
因为A、B在过点O的直线上，
所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),
由于log2x1==3log8x2,
所以OC的斜率 k1=,
OD的斜率 k2=，
由此可知 k1=k2,即O、C、D在同一条直线上
(2)解 由BC平行于x轴知 log2x1=log8x2
即 log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,
由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1 又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(，log8)
点评：(1)证明三点共线的方法 kOC=kOD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标
学生巩固练习
1．若函数在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是( B )
A． B． C． D．
2．将函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数
的解析式为( C )
A． B．
C． D．
3．二次函数中，且，对任意，都有，设，则（ B ）
A． B． C． D．的大小关系不确定
4 若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A(－∞,2 B－2,2 C(－2,2 D(－∞,－2)
解析 当a－2=0即a=2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a=2,
当a－2≠0时，则a满足,解得－2＜a＜2,所以a的范围是－2＜a≤2
答案 C
5 设二次函数f(x)=x2－x+a (a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为( )
A正数 B负数 　　C非负数 D正数、负数和零都有可能
解析∵f(x)=x2－x+a的对称轴为x=,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),　
∴m－1＜0,∴f(m－1)>0 答案A
6 当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图像只可能是( )

解析 当a>1时，函数y=logax的图像只能在A和B中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数 答案 B
7． 设，则( )
（A）-2<x<-1 （B）-3<x<-2 （C）-1<x<0 （D）0<x<1
解析 答案 A
8．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则( )
A． B．
C． D．
解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即=，∴ ，选D.

9.函数＝（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则=( )
(A) 　(B) (C) (D)
解析：由互为反函数关系知，过点，代入得：；故选择B .
10．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ C ）
A． B． C． D．
11．若函数，则函数在其定义域上是（ B ）
A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数

12.设，，，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析： 则，选A.
13.已知，则( )
(A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1
解析：由知函数为减函数，
由得，故选择A.
14.设，，，则（ A ）
A． B． C． D．
15. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（ A ）
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
16.设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ A ）
A． B．2 C． D．4
17. 若,则( C)
(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c
18.设a＞1,且,则的大小关系为( B )
(A) n＞m＞p (B) m＞p＞n (C) m＞n＞p (D) p＞m＞n
19．设均为正数，且，，．则( )
A. B. C. D.
解析: 因为均为正数，所以
；
，故选A
20. 在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ B ）
A．0 B．1 C．2 D．3
21. 函数的最小值为 ．（答案：0）
22．指数函数在R上是减函数.则实数的取值范围是 .
23．若，，则 ．3
24．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 4 ．
25．设函数，则 ．
26. 在上有最大值2，则的值为 ．
解：．
（1）当时，得．
（2）当时，，解得，故该方程在上无解．
（3）当时，，得．
综上：或．

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