二重积分的计算12961.pptx

应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,先计算截面的面积先计算截面的面积.为此，在区间 a,b 上任意取一点 作平行于yoz面的平面 这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 为底,曲线 为曲边 的曲边梯形，所以截面面积截面面积为设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的因而有因而有这就是把二重积分化为先对y、后对x的二次积分.定理定理 1 设函数设函数f(x,y)在闭区域在闭区域D上连续，上连续，D 是由两直线是由两直线 x=a,x=b及两连续曲线及两连续曲线围成，则有公式围成，则有公式或写成或写成累次积分累次积分如果积分区域为：如果积分区域为：这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分.类似地类似地，累次积分累次积分例例1 求二重积分解解例例2 计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1 先对y后对x积分，则解法解法2 先对x后对y积分,则例例3 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解 为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 y 0 xy2=xy=x-2(4,2)(1,-1)若先对y后对x积分，则 例例4 求累次积分解解改成先对x积分，则D说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例例4 交换下列积分顺序解解 积分域由两部分组成:则 在计算二重积分时，可利用积分区域及被积函数的在计算二重积分时，可利用积分区域及被积函数的 对称性来简化计算对称性来简化计算.(1)设积分区域D关于x轴对称.若f(x,y)关于y是偶函数（f(x,-y)=f(x,y)，则若f(x,y)关于y是奇函数（f(x,-y)=-f(x,y)，则(2)设积分区域D关于y轴对称.若f(x,y)关于x是偶函数（f(-x,y)=f(x,y)，则若f(x,y)关于x是奇函数（f(-x,y)=-f(x,y)，则例例5 求下列二重积分解解这里积分区域关于x轴与y轴都对称.例例6 求旋转抛物面 与 坐标平面所围 的体积V.解解根据积分区域及被积函数的对称性，我们有若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）小结 2.在极坐标系下的计算公式在极坐标系下的计算公式当当 时时二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图例例7 将二重积分 用极坐标化成累次积分，其中D 为(1)圆形域：oyx解解思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)例例8 求二重积分D解解代入上式得例例9解解解得从而有例例10 求其中解解 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.注注:利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积分公式事实上,当D 为 R2 时,利用例10的结果,得故式成立.定积分换元法3.二重积分的一般变量替换公式二重积分的一般变量替换公式 满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理定理 变换:是一一对应的,证证 根据定理条件可知变换 T 可逆.用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在 xoy 面上得到一个四边形,其对应顶点为则同理得平行四 边形,故其面积近似为当d ,d 充分小时,曲边四边形 近似于例如例如,直角坐标转化为极坐标时,例例11 设求解解作变量替换则区域D变成：例例12 计算二重积分解解采用下列变换故有广义极坐标变换广义极坐标变换:二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）小结