二重积分的计算法直角与.pptx

如果积分区域为：如果积分区域为：X型型其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.注注）二重积分化累次积分的步骤）二重积分化累次积分的步骤画域，画域，选序，选序，定限定限）累次积分中积分的上限不小于下限）累次积分中积分的上限不小于下限）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，域的草图，画好围成画好围成D的几条边界线，的几条边界线，若是若是X型，型，就先就先 y 后后 x;若是若是Y型，型，就先就先 x 后后 y.注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。积分限是常数。一、化二重积分为二个一次积分，会确定积分限解解积分区域如图积分区域如图二、会交换积分顺序，把X型区域与Y型区域互换解解原式原式解解DY型型I =若先若先 y 后后 x 由于由于D的下边界曲线在的下边界曲线在 x 的不同范的不同范围内有不同的表达式，围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。须分片积分，计算较麻烦。2121三、会计算两个一次积分，从后往前积分，后一次积分作为前一次积分的被积函数。例例6 计算计算解解D是是X型区域型区域要分部积分要分部积分不易计算不易计算D若将若将D看做看做Y型区域，型区域，则须分片则须分片易见尽管须分片积分，但易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。分相对而言也较方便。解解解解例例10 计算计算解解根据积分区域的特点根据积分区域的特点14-12应先对应先对 x 后对后对 y 积分积分但由于但由于 对对 x 的积分求不出，无法计算，的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。须改变积分次序。先先 x 后后 y 有有奇函数奇函数 化二重积分为累次积分时选择积分次序的重化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来积不出来以上各例说明以上各例说明 为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序一种积分次序主要由积分区域的特点来确定主要由积分区域的特点来确定，在积，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点兼顾被积函数的特点，看被看被积函数对哪一个变量较容易积分积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分总之要兼顾积分区域和被积函数的区域和被积函数的特点。特点。二、小结二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式X型型Y型型（根据（根据被积函数和积分区域被积函数和积分区域的特点要正确选择的特点要正确选择积分次序积分次序）思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案作业:p95 1(2)(4);2(2)(4);6;15(3)二重积分的计算法（二重积分的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积1、区域特征如图，极点在区域之外、区域特征如图，极点在区域之外解解在直角坐标系下，无法求解解解解解练习：例例7 计算计算解解思考题思考题二、小结二、小结二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案作 业习题9-211(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4).