二重积分定义.pptx

柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出关于曲顶柱体关于曲顶柱体问题问题:曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积?步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量二、二重积分的概念二、二重积分的概念积积分分区区域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值(2)(2)如何去描述这个柱体？如何去描述这个柱体？(1)(1)若被积函数不定号呢？若被积函数不定号呢？在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为二重积分的性质二重积分的性质性质性质1(1(线性线性)性质性质2(2(区域可加性区域可加性)注注:可推广到可推广到D D可分为有限多个区域情形可分为有限多个区域情形.性质性质3 3性质性质4 4 性质性质5 5 性质性质6(6(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)估值定理估值定理例例例例1.1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位从而于直线的上方,故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.判断积分的正负号.解解:分积分域为则原式=猜想结果为负 但不好估计.舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质积分性质5即:1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答作业：作业：