二重积分的概念.pptx

(1)划分划分:将曲顶柱体划分成将曲顶柱体划分成n 个小曲顶柱体个小曲顶柱体:则有则有若记若记 在在 xoy 平面上的投影区域为平面上的投影区域为则有则有(2)近似近似:当当 充分小时充分小时(此时此时 也充分小也充分小)z=f(x,y)在在 i 上近似于不变上近似于不变(即近似于常数即近似于常数)(3)精确化精确化:当当 时时 任取任取问题二：问题二：变密度平面薄片的质量计算变密度平面薄片的质量计算设平面薄片设平面薄片 D 置于置于 xoy 平面上平面上,形成一有界形成一有界闭区域闭区域,在点在点(x,y)D 处的密度函数为处的密度函数为=(x,y),计算计算 D 的质量的质量(1)划分划分:将将 D 划分成划分成 n 个子区域个子区域:若记若记 的质量为的质量为 则有则有(2)近似近似:当当 充分小时充分小时 =(x,y)在在 i 上近似于不变上近似于不变(即近似于常数即近似于常数)任取任取(3)精确化精确化:当当 时时 定义定义:设设 z=f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域 D 上有定义上有定义,将将 D 任意划分成任意划分成 n 个除边界外没有公共部分的个除边界外没有公共部分的子区域子区域 i (其面积也记其面积也记 i ),任取任取 ,作和式作和式(积分和积分和)记记 d(i )为子区域为子区域 i 的直径的直径,若极限若极限(其值其值 A 与划分无关与划分无关,与与(i,i)i 的选取无关的选取无关)则称则称 f(x,y)在在 D 上上可积可积;极限值极限值 A 称为称为 f(x,y)在在 D 上的二重积分上的二重积分,记为记为 ,即即 f(x,y)称为称为被积函数被积函数;f(x,y)d 称为称为被积表达式被积表达式;x,y 称为称为积分变量积分变量 ;D 称为称为积分区域积分区域 ;d 称为称为 面积元素面积元素说明说明:(1)若若 f(x,y)在在 D 上可积上可积,则积分和的极限则积分和的极限 与划分无关与划分无关 现如果用一组平行于坐标轴的直线划分现如果用一组平行于坐标轴的直线划分 D,则则即即 d =dxdy(2)(3)二重积分值与积分变量名称无关二重积分值与积分变量名称无关(4)二重积分的几何意义二重积分的几何意义:(a)若若 f(x,y)0 ,(x,y)D,则则 表示以表示以 D 为底为底,曲面曲面 z=f(x,y)为顶的曲顶为顶的曲顶 柱体的体积柱体的体积(b)若若 f(x,y)0 ,(x,y)D,则则 f(x,y)0 ,(x,y)D即即 表示由表示由 D 与与 z=f(x,y)所成所成曲顶柱体体积的负值曲顶柱体体积的负值(c)对于一般的函数对于一般的函数 f(x,y),表示这表示这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和(xoy平面上方的取正值平面上方的取正值,xoy 平面下方的取负值平面下方的取负值)2 二重积分的存在性与基本性质二重积分的存在性与基本性质定理定理(二重积分的存在性二重积分的存在性)若若 z=f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续上连续,则则 f(x,y)在在 D 上可积上可积二重积分的基本性质二重积分的基本性质(1)线性运算性质线性运算性质设设 f ,g 在在 D 上可积上可积,则对任意实数则对任意实数 k1,k2,k1 f+k2 g 在在 D 上也可积上也可积,且且 设设 f 在在 D1,D2 上可积上可积(D1,D2 除边界外无除边界外无公共部分公共部分),则则 f 在在 D=D1 D2 上可积上可积,且且(2)区域可加性区域可加性(3)保序性保序性 设设 f 在在 D 上可积上可积,且且 f(x,y)g(x,y),(x,y)D,则则(4)估值定理估值定理 设设 f 在在 D 上可积上可积,且且 m f(x,y)M ,(x,y)D,则则(5)中值定理中值定理 设设 f 在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续上连续,则存在则存在(,)D 使使证明证明 由由 f 在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续上连续,根据最值定理根据最值定理存在存在(1,1)D ,(2,2)D 使使存在存在(,)D 使使例例估计积分估计积分 的值的值,其中其中解解先求先求 在在 D 上的最值上的最值 稳定点稳定点:(0,0),且且 f(0,0)=9在在 上上,又又 ,所以所以