2.1.9二重积分.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
2.1.9 二重积分（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 理解曲顶柱体的体积。
2、 掌握二重积分的定义。
3、 掌握二重积分的几何意义。
4、 理解二重积分的性质。
5、 掌握二重积分的计算。
重点
二重积分的定义、几何意义、性质、计算。
难点
二重积分的定义、计算。
教
学
方
法
手
段
讲授为主，数形结合。
主
要
内
容
时
间
分
配
一、理解曲顶柱体的体积。 （20分钟）
二、掌握二重积分的定义。
三、掌握二重积分的几何意义。 （10分钟）
四、理解二重积分的性质。 （10分钟）
五、掌握二重积分的计算。 （50分钟）
作业

备注

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2.1.9 二重积分
新编经济应用数学
§2.1.9 二重积分
一、曲顶柱体的体积
定义1 设函数在有界闭区域上连续，且，过区域边界上的所有点，作平行于轴的直线。这些直线构成一个曲面，则称此曲面为由边界产生的柱面。以曲面为顶，以区域为底，以的边界产生的柱面为侧面所围成的立体成为曲顶柱体。
现在我们讨论当时，曲顶柱体的体积。
（1） 分割：把曲顶柱体的底一区域，任意分割成个小的区域，，，，且以表示第个小区域的面积。这样就把曲顶柱体分成了个小曲顶柱体。用表示以为底的第个小曲顶柱体的体积，表示原曲顶柱体的体积，则。
（2） 近似：在每一个小区域内，任取一点，把以为高，为底的曲顶柱体的体积作为的近似值，即
（3） 求和：把这些小曲顶柱体的体积的近似值，加起来，就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，即
（4） 取极限：当分割无限细密时，即当所有小区域的最大直径，和式的极限就是所求的曲顶柱体的体积，即

二、二重积分的定义
定义2 如果是定义在有界闭区域上的二元函数，将任意分割成个小区域，，，，（其面积仍记为，，，），在每个小区域中任意取一点，为区域的直径，作和式：

如果无论对怎么划分以及点在上如何选取，时，这个和式有唯一的极限存在，则称此极限值为函数在区域上二重积分，记为或，即

其中，叫做被积函数，为面积元素，为积分变量，为积分区域。
对于二重积分应注意以下两点：
（1） 如果函数在有界闭区域上连续，则在上的二重积分一定存在。
（2） 二重积分与被积函数和积分区域有关，与积分变量无关，即
三、二重积分的几何意义
由定义可知，如果，二重积分的数值就是以为底，以曲面为顶，母线平行于轴的曲顶柱体的体积。
如果，柱体位于平面下方，这时二重积分的数值是负的，其绝对值等于柱体的体积。所以，如果在的某些部分上取正值，而在另一些部分上取负

值，那么二重积分的几何意义就是以为底，以曲面为顶，母线平行于轴的柱体在各个部分上的体积的代数和。
四、二重积分的性质
若、在区域上的二重积分存在，则有如下性质：
（1） （为常数）
（2）
（3）设有界闭区域被分为、则

（4）如果在上，表示的面积，则

（5） 如果在上，则有

（6） 若、分别表示在区域上的最大值和最小值，是区域的面积，则有

（7） 如果在区域上连续，是区域的面积，则在上至少存在一点，使得，此性质又称为二重积分的中值定理。其几何意义：以曲面为顶的曲顶柱体的体积等于以被积函数在上的某一函数值为高，为底的平顶柱体的体积。
五、二重积分的计算
（一）直角坐标系下计算二重积分
相对于二重积分，把定积分称为单重积分，对于二重积分的计算是先把它化作两个单重积分，再通过计算两个单重积分而得到二重积的值，这个积分方法称为累次积分法。

具体的计算方法为：在二重积分存在的条件下，区域可用平行于坐标轴的两组直线来划分，使面积元素，因，不妨设。
二重积分的定义可以写成，记号称为直角坐标系中的面积元素。
若：，且在上的二重积分存在，则

或
若：，且在上的二重积分存在，则

若：，且在上的二重积分存在，则

若既可表示为，也可表示为，则有

上述计算都是将二重积分化为二次计分，两种不同次序的二次计分可能计算难度不同，甚至可能一种次序下的积分较易，而另一种次序下的积分计算不出来。因此，二重积分的计算中有两类基本问题：（1）选择积分次序；（2）交换积分次序。
（1） 选择积分次序

【例1】 计算，
解

【例2】 计算，为直线与抛物线所围成区域。
解 直线与抛物线的交点是
（1）先对后对积分：

（2）先对后对积分：

【例3】 计算,是由和围成的区域.
解 直线与抛物线的交点为

,先对后对积分：

(2)交换积分次序
【例4】求。
解 所给积分次序的里层积分不能计算出来，因此需要交换积分的次序。现依据给定的积分确定积分区域，换为先对积分后对积分，即

（二）极坐标系下计算二重积分
在定积分的计算中利用适当的变换可以使计算变得简便，在二重积分中变量替换用得最多的是极坐标变换。极坐标和直角坐标的关系式为：，则有

【例5】求，围成的区域。

解： 利用极坐标变换，被积函数为

区域可表示为：
于是

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2.1.9 二重积分