高中数学必修五第一章正弦定理练习有答案.doc

高中数学必修五第一章 正弦定理 练习

A组　基础巩固
1．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：由正弦定理＝，
得sinB＝＝＝>1.
∴B不存在．即满足条件的三角形不存在．
答案：C
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB＋acosC＝b＋c，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：∵acosB＋acosC＝b＋c，由正弦定理得，
sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，
化简得：cosA(sinB＋sinC)＝0，又sinB＋sinC>0，
∴cosA＝0，即A＝，
∴△ABC为直角三角形．
答案：D
3．在△ABC中，一定成立的等式是(　　)
A．asinA＝bsinB B．acosA＝bcosB
C．asinB＝bsinA D．acosB＝bcosA
解析：由正弦定理＝＝，得asinB＝bsinA.
答案：C
4．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　)
A．60° B．75°
C．90° D．115°
解析：不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝＝，即＝.整理，得(3－)sinA＝(3＋)cosA.∴tanA＝2＋，∴A＝75°，故选B.
答案：B
5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD的长是(　　)
A．2　　B．2或4 C．1或2　　　D．5
解析：
如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°.
∵AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，
∴×3×AD×＋×6×AD×＝×3×6×，
解得AD＝2.
答案：A
6．在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是(　　)
A．[3，6] B．(2,4)
C．(3，4] D．(3,6]
解析：由正弦定理，得＝＝＝.
∴AC＝2sinB，AB＝2sinC.
∴AC＋AB＝2(sinB＋sinC)
＝2[sinB＋sin(120°－B)]
＝2
＝2
＝6＝6sin(B＋30°)．
∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.
∴<sin(B＋30°)≤1.∴3<6sin(B＋30°)≤6.
∴3<AC＋AB≤6.
答案：D
7．已知在△ABC中，a＋b＝，A＝，B＝，则a的值为________．
解析：由正弦定理，得b＝＝a.
由a＋b＝a＋a＝，解得a＝3－3.
答案：3－3
8．若三角形三个内角的比是1∶2∶3，最大的边是20，则最小的边是________．
解析：∵三个内角和为180°，∴三个内角分别为30°，60°，90°.
设最小的边为x，∵最大的边为20，∴＝，∴x＝10，
∴最小的边是10.
答案：10
9．在△ABC中，B＝45°，AC＝，cosC＝，求BC边的长．
解：∵cosC＝，
∴sinC＝＝＝.
∴sinA＝sin(B＋C)＝sin(45°＋C)
＝(cosC＋sinC)＝.
由正弦定理可得：
BC＝＝＝3.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)在△ABC中，
由题意知sinA＝＝，
又因为B＝A＋，
所以sinB＝sin＝cosA＝.
由正弦定理可得
b＝＝＝3.
(2)由B＝A＋得
cosB＝cos＝－sinA＝－，
由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．
所以sinC＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×＋×
＝.
因此△ABC的面积
S＝absinC＝×3×3×＝.

B组　能力提升
11．若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝(　　)
A．2 B．2
C. D.
解析：由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA，故sinB＝sinA，所以＝.
答案：D
12．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
解析：∵A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∵＝＝＝＝2，
∴a＝2sinA，b＝2sinB，c＝2sinC.
∴＝2.
答案：2
13.
如图，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.
(1)证明：sinα＋cos2β＝0；
(2)若AC＝DC，求β的值．
解：(1)证明：∵α＝－(π－2β)＝2β－，
∴sinα＝sin＝－cos2β，即sinα＋cos2β＝0.
(2)解：在△ADC中，由正弦定理，
得＝，
即＝，∴sinβ＝sinα.
由(1)得sinα＝－cos2β，
∴sinβ＝－cos2β＝－(1－2sin2β)，
由2sin2β－sinβ－＝0，
解得sinβ＝或sinβ＝－.
∵0<β<，∴sinβ＝，∴β＝.
14．在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.
(1)试确定△ABC的形状；
(2)求的取值范围．
解：(1)∵＝，∴＝，
∴b2－a2＝ab.
∵cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，
∴cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C.
∴cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝2sin2C.
∴2sinAsinB＝2sin2C.∴sinAsinB＝sin2C.
∴ab＝c2.∴b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2.
∴△ABC为直角三角形．
(2)∵在△ABC中，B＝，
∴A＋C＝，sinC＝cosA.
∵＝＝＝sinA＋cosA，
∴＝sin.
∵0<A<，∴<A＋<.
∴<sin≤1.∴1<sin≤，
即的取值范围为(1，]．

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