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2021-2022版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案 新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案 新人教A版必修5

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第一章　解 三 角 形
1.1　正弦定理和余弦定理
1.1.1　正 弦 定 理

必备知识·自主学习
1.正弦定理
(1)定理的内容.
条件
三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c
文字语言
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言
==
(2)本质:正弦定理反映的是三角形边角之间的数量关系.该比值是此三角形外接圆的直径.
(3)作用:①求三角形的边和角;②实现三角形边角之间的互化;③求三角形外接圆的半径.

　正弦定理==只适用于锐角三角形吗?
提示:正弦定理==适用于任意三角形.
2.三角形中的元素与解三角形
(1)三角形中的元素:指的是三角形的三个角及其对边.
(2)解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程.

　已知三角形的哪几个元素,可以用正弦定理解相应三角形?
提示:①已知三角形的任意两角和一边,求其他两边和另一角.②已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求另一边及另两角.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)在△ABC中,已知C=60°,a=1,b=3,可用正弦定理解此三角形. (　　)
(2)对于任意△ABC总有bsin A=asin B. (　　)
(3)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;反之,若A>B,则sin A>sin B. (　　)
(4)在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2,则B=60°. (　　)
提示:(1)×.已知三角形的两边和这两条边的夹角,无法用正弦定理解此三角形.
(2)√.由正弦定理知=,即bsin A=asin B.
(3)√.在△ABC中,sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.
(4)×.由正弦定理知=,即=,所以sin B=,则B=60°或
120°,又因为b>a,所以B>A,故B=60°或120°.
2.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,则b= (　　)
A.4 B.4 C.4 D.
【解析】选C.在△ABC中,A=180°-(B+C)=45°,由正弦定理=得b===4.
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,b=1,则sin B= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.由正弦定理得sin B===.
关键能力·合作学习
类型一　已知两角及一边解三角形(数学运算)

1.(2020·石家庄高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,则边c= (　　)
A.　 B.　 C.2　 D.
2.在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB等于　　　　. 
3.在△ABC中,已知a=2,A=30°,B=45°,解三角形.
【解析】1.选D.因为b=2,B=45°,C=120°,由正弦定理=,可得=,解得c=.
2.因为tan A=,0°<A<180°,所以sin A=.由正弦定理知=,所以AB===.
答案:
3.因为==,
所以b====4.
因为C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,
所以c====2+2.

已知两角及一边解三角形的一般步骤

【补偿训练】
已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.
【解析】设在△ABC中,A=45°,B=60°,则C=180°-(A+B)=75°.因为C>B>A,所以最小边为a.
又因为c=1,由正弦定理得,a===-1,所以最小边长为-1.
类型二　已知两边及一边的对角解三角形(数学运算)
【典例】在△ABC中,已知B=30°,b=,c=2,解三角形.
四步
内容
理解
题意
条件:B=30°,b=,c=2,
结论:求角A、角C和边a
思路
探求
根据题目条件及正弦定理可得sin C=,求出角C,进而可以计算A,a.
书写
表达
由正弦定理得sin C===,
因为c>b,0°<C<180°,所以C=45°或135°.②
(1)当C=45°时,A=105°,
a===+1,
(2)当C=135°时,A=15°,
a===-1.
注意书写的规范性:
①③④处正确应用正弦定理的变形是解题的关键;
②处根据三角函数值求角时,要注意结合角的范围.
题后
反思
利用正弦定理求角时,一方面要注意由正弦值求角有可能出现两解的情况,另一方面要注意三角形内角和定理的应用

已知两边及一边的对角解三角形的步骤

　(2020·深圳高一检测)在△ABC中,A=60°,AC=,BC=,则C= (　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选D.设A,B,C的对边分别为a,b,c.由正弦定理得=,
所以=,所以sin B=,又因为a>b,所以A>B,且0°<B<180°,所以B=
30°,所以C=180°-A-B=90°.
【拓展延伸】
在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数.解的个数见下表:

A为锐角
A为钝角或直角
图形

关系
式
①a=bsin A
且a<b
②a≥b
bsin A<a<b
a<
bsin A
a>b
a≤b
解的
个数
一解
两解
无解
一解
无解
【拓展训练】根据下列条件,判断△ABC有没有解?若有解,判断解的个数.
(1)a=5,b=4,A=120°.
(2)a=5,b=4,A=90°.
(3)a=10,b=20,A=45°.
(4)a=20,b=20,A=45°.
(5)a=4,b=,A=60°.
【解析】(1)(2)中因为a>b,所以只有一解.
(3)中bsin A=20sin 45°=10,所以a=bsin A,所以只有一解.
(4)中bsin A=20sin 45°=10,
所以bsin A<a<b,所以有两解.
(5)中bsin A= sin 60°=5,所以a<bsin A,所以无解.
【补偿训练】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为　　　　. 
【解析】由sin B+cos B=,得sin =1,
由B∈(0,π),得B=,由正弦定理,=,
得sin A==,又a<b,所以A=.
答案:
类型三　用正弦定理进行边角互化(逻辑推理、数学运算)

　角度1　运算求解问题 
【典例】(2020·驻马店高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知4bcos Bsin C=c,则B= (　　)
A.或 B.
C. D.或
【思路导引】利用正弦定理化边为角,建立关于角B的三角方程.
【解析】选D.由4bcos Bsin C=c,得4sin Bcos Bsin C=sin C,所以
sin 2B=,又因为B为△ABC的内角,所以2B=或,所以B=或.

将本例条件“4bcos Bsin C=c”改为“2asin B=b”,求角A.
【解析】因为2asin B=b,
由正弦定理可得,2sin Asin B=sin B,又sin B≠0,
所以sin A=,
所以A=或π.
角度2　化简证明问题 
【典例】在任意△ABC中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-
sin B)=0.
【思路导引】方法一:边化角,即由正弦定理,令a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=
2Rsin C(其中R是△ABC外接圆的半径).代入等式左边进行化简;
方法二:角化边,即由正弦定理,令sin A=,sin B=,sin C=.代入等式左边进行化简.
【证明】方法一:由正弦定理,令a=2Rsin A,
b=2Rsin B,c=2Rsin C.代入得:
左边=2R(sin Asin B-sin Asin C+sin Bsin C-sin Bsin A+sin Csin A-
sin Csin B)=0=右边,
所以等式成立.
方法二:由正弦定理,令sin A=,sin B=,sin C=.代入得:
左边=a+b+c=(ab-ac+bc-ba+ca-cb)=0=右边,所以等式成立.
角度3　判断三角形的形状 
【典例】(2020·濮阳高二检测)在△ABC中,==,则△ABC一定是 (　　)
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形　　 D.等边三角形
【思路导引】由==,利用正弦定理可得tan A=tan B=tan C,即可得出.
【解析】选D.由正弦定理可得:==,又==,所以tan A=
tan B=tan C,又A,B,C∈(0,π),所以A=B=C=,所以△ABC是等边三角形.

1.用正弦定理进行边角互化的两种方法

2.判断三角形形状的两种途径
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a,则= (　　)
A.2 B.2 C. D.
【解析】选D.由正弦定理得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即sin B·(sin2A+
cos2A)=sin A.
所以sin B=sin A.所以==.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=absin C.求证tan C=
sin Asin B.
【证明】因为=absin C,所以c2=absin Ccos C,
由正弦定理得,sin 2C=sin Asin Bsin Ccos C,
因为C∈,所以sin C>0,所以sin C=sin Asin Bcos C,由题意知cos C≠0,所以tan C=sin Asin B.
3.在△ABC中,若acos A=bcos B,试判断△ABC的形状.
【解析】由正弦定理得,a=2Rsin A,b=2Rsin B,
由acos A=bcos B得,sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B.因为2A,2B∈(0,2π),
所以2A=2B或2A+2B=π.
即A=B或A+B=,
所以△ABC为等腰或直角三角形.
【补偿训练】
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为 (　　)
A.　　　B.　　　C.1　　　D.
【解析】选D.因为=,所以=.
因为3a=2b,所以=.所以=.
所以=2-1=2×-1=-1=.
2.在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,试判断△ABC的形状.
【解析】由sin2A=sin Bsin C和正弦定理,得a2=bc.因为2a=b+c,所以a=,所以=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c.从而a==b=c,故△ABC是等边三角形.
课堂检测·素养达标
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列等式正确的是 (　　)

A.a∶b=A∶B　　　 B.asin A=bsin B
C.a∶b=sin B∶sin A　 D.a∶b=sin A∶sin B
【解析】选D.由=可得,只有D成立.
2.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对的边长是 (　　)
A.4 B.12 C.4 D.12
【解析】选D.若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得:=,
于是x===12.
3.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则角A=　　　　. 
【解析】由正弦定理得sin C===,
又因为0°<C<180°,AB>AC,所以C=60°或120°,
所以A=90°或30°.
答案:90°或30°
4.在△ABC中,若2asin C=c,则角A=　　　　. 
【解析】设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理得2×2Rsin Asin C=×2Rsin C,因此sin A=,
又因为0°<A<180°,故A=45°或135°.
答案:45°或135°
5.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,已知a=2,b=6,A=30°,解三角形.
【解析】由正弦定理得
sin B===,因为b>a,所以B=60°或120°.
当B=60°时,C=90°,c==4;
当B=120°时,C=30°,c=a=2.
所以B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2.