资源描述
5.3 正弦函数的性质
填一填
正弦函数的性质
函数
y＝sin x
定义域
________
值域
________
奇偶性
________
周期性
________为最小正周期
单调性
当________________________时，函数是递增的
当________________________时，函数是递减的
最大值与
最小值
当x＝________________________时，最大值为____
当x＝________________________时，最小值为____
判一判
1.函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．( )
2．函数y＝asin x(a≠0)的最大值为α，最小值为－a.( )
3．假设x＝x0时，y＝sin x取最大值，那么x＝x0是函数y＝sin x的对称轴．( )
4．正弦函数y＝sin x在R上是增函数．( )
5．正弦函数y＝sin x的一个增区间是[0，π]．( )
6．函数y＝sin是奇函数．( )
7．sin x＝1 时，x＝.( )
8．y＝－sin x的最大值为1，最小值为－1.( )
想一想
理解正弦函数的性质应关注哪些问题？
提示：(1)正弦函数不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数在第一象限内是增函数〞也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．
(2)正弦曲线是中心对称图形，对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的交点．
(3)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，即过正弦曲线最高点或最低点并且垂直于x轴的直线．
思考感悟：
练一练
1.函数f(x)＝ sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝－
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
3．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是________．
4．假设函数y＝sin x在[0，a]上为增函数，那么a的取值范围为________．
知识点一
正弦函数的奇偶性
1.函数f(x)＝sin(x∈R)，那么函数f(x)为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
2．判断以下函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin.
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)．
知识点二
正弦函数的单调性
3.比拟以下各组数的大小：
(1)sin与sin；(2)sin与sin.
4．求函数y＝2sin(2x－)的单调区间．
知识点三
正弦函数的周期性
5.函数y＝2sin的周期为________．
6．求以下函数的最小正周期．
(1)f(x)＝sin 2x；
(2)f(x)＝|sin x|.
综合知识
正弦函数的单调性在其它函数中的应用
7.求函数y＝logsin的递增区间．
根底达标
一、选择题
1．函数f(x)＝xsin(π＋x)在其定义域上是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
2．函数y＝sin x的值域为( )
A．[－1,1] B.
C. D.
3．设函数f(x)＝sin，那么f(x)的最小正周期为( )
A. B．π
C．2π D．4π
4．设函数f(x)＝sin，x∈R，那么f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
5．假设函数y＝sin(x＋φ)的图像过点，那么φ的值可以为( )
A. B.
C．－ D．－
6．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2的交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
7．使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ的值可以是( )
A. B.
C．π D.
8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，假设f(x)的最小正周期为π，当x∈时，f(x)＝sin x，那么f的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
二、填空题
9．函数y＝的定义域是________．
10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为________．
11．在[0,2π)内，方程|sin x|＝根的个数为________．
12．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，那么M＋m＝________.
三、解答题
13．求y＝2sin的单调增区间．
14．假设函数f(x)＝a－bsin x的最大值为，最小值为－，求函数g(x)＝－4asin bx的最值和最小正周期．
能力提升
15.函数f(x)＝2＋sin，x∈R，求函数f(x)取得最大值时自变量x的集合．
16．求函数f(x)＝sin2x－4sin x＋5的值域．
5．3 正弦函数的性质
一测 根底过关
填一填
R [－1,1] 奇函数 2π
(k∈Z)
(k∈Z)
2kπ＋(k∈Z) 1 2kπ－(k∈Z) －1
判一判
1．× 2.× 3.√ 4.× 5.× 6.√
7．× 8.√
练一练
1．A 2.C 3.奇函数 4.
二测 考点落实
1．解析：因为函数f(x)的定义域为R，f(x)＝sin＝－cos x，
所以f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)．
所以f(x)为偶函数．
答案：B
2．解析：(1)显然x∈R，f(x)＝cosx，
f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)由得－1<sin x<1.
解得定义域为
.
所以f(x)的定义域关于原点对称．
又因为f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
所以f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
3．解析：(1)因为0<<<，且y＝sin x在上是增加的，所以sin>sin.
(2)sin＝sin＝sin.
因为<<<π，且y＝sin x在上是减少的．
所以sin>sin，即sin>sin.
4．解析：方法一：令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递增区间为(k∈Z)；令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．
方法二：令2x－＝，可得函数的一个最大值点为x＝，而函数的最小正周期为T＝π，从而函数的单调递增区间为(k∈Z)，即(k∈Z)；函数的单调递减区间为(k∈Z)，即 (k∈Z)．
5．解析：方法一：因为2sin＝2sin，
即2sin＝2sin.
所以y＝2sin的最小正周期是6π.
方法二：函数的周期T＝＝＝6π.
答案：6π
6．解析：(1)∵sin 2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin 2x，
∴f(x)＝sin 2x的最小正周期为π.
(2)作出f(x)＝|sin x|的图像，观察知T＝π.
7．解析：由sin>0得2kπ<x－<π＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)，①
要求原函数的递增区间，只需求函数y＝sin的递减区间，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，②
由①②可知＋2kπ≤x<π＋2kπ(k∈Z)，所以原函数的递增区间为(k∈Z)．
三测 学业达标
1．解析：原函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x，
f(－x)＝－(－x)sin(－x)
＝－xsin x
＝f(x)，
因此函数f(x)＝xsin(π＋x)为偶函数．
答案：B
2．解析：结合函数图像得函数y＝sin x的值域为.应选D.
答案：D
3．解析：函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.应选B.
答案：B
4．解析：f(x)＝sin＝－sin＝－cos 2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为＝π的周期函数，应选B.
答案：B
5．解析：将点代入y＝sin(x＋φ)，可得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，只有选项C满足．
答案：C
6．解析：由y＝1＋sin x在[0,2π]上的图像，可知只有1个交点．
答案：B
7．解析：由函数f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)，应选C.
答案：C
8．解析：∵f(x)是定义在R上最小正周期为π的函数，
∴f＝f＝f＝f＝f.∵f(x)为偶函数，∴f＝f.又当x∈时，f(x)＝sin x，∴f＝sin＝，即f＝.
答案：D
9．解析：∵－2sin x≥0，∴sin x≤0，
∴2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z.
答案：{x|2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z}
10．解析：sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)
因为0<π－3<1<π－2<.
所以sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)．
即sin 3<sin 1<sin 2.
答案：sin 3<sin 1<sin 2
11．解析：y＝|sin x|
＝(k∈Z)．其图像如下图：
由图，在[0,2π)内y＝这条直线与它有4个交点．
答案：4
12．解析：f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，那么g(－x)＝－g(x)．又g(x)的定义域为R，
∴g(x)是奇函数，由奇函数图像的对称性，知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案：2
13．解析：因为y＝2sin＝－2sin，
由2kπ＋≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得＋≤x≤＋(k∈Z)．
所以y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
14．解析：当b>0时，由题意得
解得a＝，b＝1.
所以g(x)＝－2sin x．此时函数g(x)的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.
当b<0时，由题意得
解得a＝，b＝－1.
所以g(x)＝2sin x．此时函数g(x)最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.
15．解析：当sin＝1时，函数f(x)取最大值2＋.
此时，2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，所以x的取值集合为.
16．解析：设t＝sin x，那么|t|≤1，
f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)，
g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2.
开口向上，对称轴t＝2不在研究区间[－1,1]内．
g(t)在[－1,1]上是单调递减的，
所以g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，
即g(t)∈[2,10]．
所以函数f(x)的值域为[2,10]．
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