资源描述
2.2.3 直线与平面平行的性质
选题明细表
知识点、方法
题号
线面平行性质定理的理解
1,3,9
线面平行性质定理的应用
2,4,5,7,11,12
判定、性质综合应用
6,8,10,13
基础巩固
1.已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于a的直线( C )
(A)只有一条,不在平面α内
(B)有无数条,不一定在平面α内
(C)只有一条,且在平面α内
(D)有无数条,一定在平面α内
解析:根据线面平行的性质定理可知C正确.
2.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为( A )
(A)都平行
(B)都相交且一定交于同一点
(C)都相交但不一定交于同一点
(D)都平行或交于同一点
解析:因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质知l∥a, l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥…,故选A.
3.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的( B )
(A)至少有一条 (B)至多有一条
(C)有且只有一条 (D)没有
解析:过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β,所以平面α与平面β只有一条交线,且与直线a平行,这条交线可能不是这n条直线中的一条,也可能是.故选B.
4.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是( B )
(A)异面
(B)平行
(C)相交
(D)以上均有可能
解析:因为A1B1∥平面ABC,所以A1B1∥DE.
又A1B1∥AB,所以DE∥AB.
5.(2018·兰州高一期末)如图,各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1, M,N分别为线段A1B,B1C上的动点,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有( D )
(A)1条
(B)2条
(C)3条
(D)无数条
解析:如图,任取线段A1B上一点M,过M作MH∥AA1,交AB于H,过H作HG∥AC交BC于G,过G作CC1的平行线,与CB1一定有交点N,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有无数个.故选D.
6.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG.则EH与BD的位置关系是 .
解析:因为EH∥FG,FG⊂平面BCD,EH⊄平面BCD,所以EH∥平面BCD.
因为EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.
答案:平行
7.(2018·扬州高二检测)如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交平面α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG= .
解析:因为a∥α,α∩平面ABD=EG,
所以a∥EG,即BD∥EG,
所以=,
则EG===.
答案:
8.如图,四边形ABCD是矩形,P∉平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于点F.
求证:四边形BCFE是梯形.
证明:在矩形ABCD中,BC∥AD,
又因为BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
又平面BC⊂平面BCFE,
且平面BCFE∩平面PAD=EF,
所以EF∥BC,
又BCAD,EF≠AD,
所以EF≠BC,
故四边形BCFE为梯形.
能力提升
9.已知直线a∥平面α,直线b⊂平面α,则( D )
(A)a∥b (B)a与b异面
(C)a与b相交 (D)a与b无公共点
解析:由题意可知直线a与平面α无公共点,所以a与b平行或异面,所以两者无公共点.
10.对于直线m,n和平面α,下列命题中正确的是( C )
(A)如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α
(B)如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交
(C)如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
(D)如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
解析:对于A,如图(1)所示,此时n与α相交,故A不正确;对于B,如图(2)所示,此时m,n是异面直线,而n与α平行,故B不正确;对于D,如图(3)所示,m与n相交,故D不正确.故选C.
11.已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG是 四边形.
解析:因为AB∥α,平面ABD∩α=FH,平面ABC∩α=EG,
所以AB∥FH,AB∥EG,
所以FH∥EG,同理EF∥GH,
所以四边形EFHG是平行四边形.
答案:平行
12.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;
(2)求PQ的长;
(3)求证:EF∥平面BB1D1D.
(1)证明:如图所示.
连接AC,CD1,
因为P,Q分别是AD1,AC的中点,
所以PQ∥CD1.
又PQ⊄平面DCC1D1,
CD1⊂平面DCC1D1,
所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)解:由(1)易知PQ=D1C=a.
(3)证明:取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,
则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,
又FE1∩EE1=E1,B1D1∩BB1=B1,
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF⊂平面EE1F,
所以EF∥平面BB1D1D.
探究创新
13.如图,已知空间四边形ABCD,作一截面EFGH,且E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上.
(1)若平面EFGH与AB,CD都平行,求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)若平面EFGH与AB,CD都平行,且CD⊥AB,求证:四边形EFGH是
矩形;
(3)若四边形EFGH与AB,CD都平行,且CD⊥AB,CD=a,AB=b,问点E在什么位置时,四边形EFGH的面积最大?
(1)证明:因为AB∥平面EFGH,AB⊂平面ABD,
平面ABD∩平面EFGH=EH,
所以AB∥EH.
同理可证AB∥GF,所以GF∥EH.
又因为CD∥平面EFGH,同理可证EF∥GH.
故四边形EFGH是平行四边形.
(2)证明:由(1)知,AB∥EH,CD∥EF,
又因为CD⊥AB,所以EF⊥EH,
故▱EFGH为矩形.
(3)解:设BE=x,由上知
=,=,
所以EH=·AB=·b,
EF=·a.
所以S矩形EFGH=EF·EH=x(BD-x)=(-x2+BD·x)
=[-(x-)2+],
所以x=即E为BD的中点时,四边形EFGH的面积最大.
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