2020-2021学年高中数学-第一章-解三角形-1.1.1-正弦定理学案新人教A版必修5.doc

2020-2021学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案新人教A版必修52020-2021学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案新人教A版必修5年级：姓名：11正弦定理和余弦定理11.1正弦定理内容标准学科素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理2.了解正弦定理的变形，并能解决一些简单的三角形度量问题.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象授课提示：对应学生用书第1页基础认识知识点一正弦定理在任意三角形中，有大边对大角，小边对小角，能否得到这个边角关系的准确量化？(1)如图，在RtABC中，分别等于什么？三者有什么关系？提示：要联系正弦函数的定义(c，c，c，三者相等)(2)在一般锐角三角形中，还成立吗？提示：成立(3)如图，ABC的角B为钝角，如何验证，的关系？提示：要构造直角三角形设AB边上的高为CD，如图根据三角函数的定义有，CDasin(B)asin B，CDbsin A，所以asin Bbsin A.得到.同理得到，故.知识梳理(正弦定理law of sines)设ABC的外接圆的半径为R.(1)2R.(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆的半径)(3)sin A，sin B，sin C(R为ABC外接圆的半径)(4)三角形的边长之比等于其对角的正弦比，即abcsin Asin Bsin C.(5).(6)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin CcsinB思考正弦定理对任意三角形都适用吗？提示：适合于任意三角形知识点二解三角形知识梳理一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形思考任意给出三角形的三个元素，用正弦定理都能求出其他元素吗？提示：不一定，如已知三角形三个角A、B、C，则不能确定其各边的大小自我检测1在ABC中，C90，ac，则sin A_.答案：2在ABC中，C120，A45，c2，则a_.答案：3在ABC中，若B30，b2，则_.答案：4授课提示：对应学生用书第2页探究一已知两角及一边解三角形阅读教材P3例1及解答在ABC中，已知A32.0，B81.8，a42.9 cm，解三角形题型：已知两角及一边方法步骤：(1)根据ABC180求角C.(2)根据正弦定理求边b.(3)根据正弦定理求边c.例1在ABC中，a5，B45，C105，解这个三角形解析由三角形内角和定理知A180(BC)180(45105)30.由，得ca555()由正弦定理，得b5.例2在ABC中，AC6，cos B，C，求AB的长解析因为B为三角形的内角且cos B，所以sin B，因为，所以AB5.方法技巧解决已知两角及一边类型的解题方法(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边延伸探究1.将例1中的“C105”改为“A105”，解这个三角形解析：由三角形内角和定理知C30.又sin Asin 105，由正弦定理，得b5(1)同理，c.2若例2条件不变，求BC的长解析：由cos B，知sin B，sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由正弦定理得：，BC7.探究二已知两边及一边的对角解三角形阅读教材P4例2在ABC中，已知a20 cm，b28 cm，A40，解三角形(角度精确到1，边长精确到1 cm)题型：已知两边及一边的对角方法步骤：(1)根据正弦定理求sinB(2)判断角B解的情况(本题两解)(3)讨论角B，求解角C和c.例3(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A.B.C. D .解析由题意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，即sin C(sin Acos A)sin Csin0，所以A.由正弦定理得，即sin C，得C.答案B(2)在ABC中，已知a2，c，C，求A，B，b.解析因为，所以sin A.因为ca，所以CA，所以A.所以B，b1.延伸探究3.若把本例(2)中C改为A，其他条件不变，求C，B，b.解析：因为csin A2，所以sin 2，即csin Aac，所以本题有两解因为，所以sin C.所以C或.当C时，B，b1.当C时，B，b1.方法技巧1已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论2已知两边及一边对角的三角形解的个数(1)代数角度由正弦定理得sin B.若1，则满足条件的三角形个数为0，即无解若1，则满足条件的三角形个数为1，即一解若1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度图形关系式解的个数A为锐角absin A；ab一解bsin Aab两解absin A无解A为钝角或直角ab一解ab无解跟踪探究1.在ABC中，a30，b25，A150，则ABC的解的个数为()A一个解B两个解C无解 D无法确定解析：由正弦定理得sin B，又ab，所以B为锐角，角B有唯一的解进一步，可以求角C和边c，都是唯一的答案：A2已知ABC中，a2，b6，A30，解三角形解析：由正弦定理，可得，所以sin B，又0B180，所以B60或120.当B60时，C180(AB)90，此时c4，当B120时，C180(AB)30，此时ca2.探究三判断三角形的形状教材P10习题1.1 B组第2题在ABC中，如果有性质acos Abcos B，试问这个三角形的形状具有什么特点？解析：设ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，由acos Abcos B得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B.由于A、B(0，)，所以2A2B或2A2B，故AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形例4在ABC中，已知acos Bbcos A，试判断ABC的形状解析由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos A，即sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0，因为A，B为ABC的内角，故AB0，AB，即ABC为等腰三角形延伸探究4.将例4中的条件改为“”，判断三角形的形状解析：由正弦定理得，又，两式相除得1tan Btan C，又0B，0C，所以BC，所以A.所以ABC为等腰直角三角形5将例4中的条件改为“a2tan Bb2tan A”，判断三角形的形状解析：设三角形外接圆半径为R，则a2tan Bb2tan A，所以，即，因为0A，0B，所以sin A0，sin B0，可得sin Acos Asin Bcos B，所以sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，所以AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形方法技巧1判断三角形形状的两种途径(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解2用正弦定理进行边角互化的两种方法授课提示：对应学生用书第4页课后小结对正弦定理的认识(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系(4)正弦定理与三角形的外接圆的半径结合起来，可实现三角形的边与角的互化(5)正弦定理可用于求解两类三角形：一是已知三角形的两角(或其三角函数值)和一边；二是已知三角形两边及一边的对角(或其三角函数值)第一种三角形只有一解，第二类三角形可能一解、两解或无解素养培优1不理解三角形解的情况与条件的关系在ABC中，已知ax，b2，B60，如果ABC有两组解，则x的取值范围是()Ax2Bx2C2x D2x易错分析对两组解存在的条件理解不清，只认为ab即可或理解“反”，即ab，考查逻辑推理、数学运算的学科素养自我纠正当asin Bba时，ABC有两组解，已知b2，B60，ax，如果ABC有两组解，那么x应满足xsin 602x，即2x.答案：C2忽视边或角的大小关系在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B，a，b1，则A()A. B.C.或 D.易错分析忽视条件a与b的大小关系和作用，只盲目得一种结果，错选A或B.考查数学运算及分类讨论思想自我纠正在ABC中，由正弦定理得sin A，因为ba，所以AB，又A(0，)，所以A或.答案：C3解答不完备，题意审不清在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状易错分析将此题的两个条件割裂开应用，致题意审不清，解答不完备或混淆概念考查数学运算、逻辑推理的学科素养及基本知识的综合应用能力自我纠正法一：根据正弦定理，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形法二：根据正弦定理，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BC90，BC0，BC，ABC是等腰直角三角形