2020-2021学年高中数学-第一章-解三角形-1.1.1-正弦定理学案新人教A版必修5.doc

2020-2021学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案新人教A版必修5

2020-2021学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案新人教A版必修5

年级：
姓名：

1．1　正弦定理和余弦定理
1．1.1　正弦定理
内　容　标　准
学　科　素　养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理．
2.了解正弦定理的变形，并能解决一些简单的三角形度量问题.
提升数学运算
发展逻辑推理
应用直观想象

授课提示：对应学生用书第1页
[基础认识]
知识点一　正弦定理

　在任意三角形中，有大边对大角，小边对小角，能否得到这个边角关系的准确量化？
(1)如图，在Rt△ABC中，，，分别等于什么？三者有什么关系？
提示：要联系正弦函数的定义．
(＝c，＝c，＝c，三者相等)．
(2)在一般锐角三角形中，＝＝还成立吗？
提示：成立．
(3)如图，△ABC的角B为钝角，如何验证，，的关系？
提示：要构造直角三角形．
设AB边上的高为CD，如图．

　根据三角函数的定义有，
CD＝asin(π－B)＝asin B，
CD＝bsin A，所以asin B＝bsin A.
得到＝.
同理得到＝，
故＝＝.
　知识梳理　(正弦定理law of sines)

设△ABC的外接圆的半径为R.
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
(4)三角形的边长之比等于其对角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(5)＝＝＝.
(6)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B．
思考　正弦定理对任意三角形都适用吗？
提示：适合于任意三角形．
知识点二　解三角形
　知识梳理　一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
思考　任意给出三角形的三个元素，用正弦定理都能求出其他元素吗？
提示：不一定，如已知三角形三个角A、B、C，则不能确定其各边的大小．
[自我检测]
1．在△ABC中，C＝90°，a＝c，则sin A＝________.
答案：
2．在△ABC中，C＝120°，A＝45°，c＝2，则a＝________.
答案：
3．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________.
答案：4

授课提示：对应学生用书第2页
探究一　已知两角及一边解三角形

　[阅读教材P3例1及解答]在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9 cm，解三角形．
题型：已知两角及一边
方法步骤：
(1)根据A＋B＋C＝180°求角C.
(2)根据正弦定理＝求边b.
(3)根据正弦定理＝求边c.
[例1]　在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解这个三角形．
[解析]　由三角形内角和定理知
A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由＝，得
c＝a·＝5·
＝5·
＝5·
＝(＋)．
由正弦定理＝，
得b＝＝＝5.
[例2]　在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝，求AB的长．
[解析]　因为B为三角形的内角且cos B＝，
所以sin B＝，因为＝，
所以＝⇒AB＝5.
方法技巧　解决已知两角及一边类型的解题方法
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
延伸探究　1.将例1中的“C＝105°”改为“A＝105°”，解这个三角形．
解析：由三角形内角和定理知C＝30°.
又sin A＝sin 105°＝，
由正弦定理＝，得
b＝＝＝5(－1)．
同理，c＝＝＝.
2．若例2条件不变，求BC的长．
解析：由cos B＝，知sin B＝，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×＋×＝.
由正弦定理得：＝，
∴BC＝＝＝7.
探究二　已知两边及一边的对角解三角形

　[阅读教材P4例2]在△ABC中，已知a＝20 cm，b＝28 cm，A＝40°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm)．
题型：已知两边及一边的对角
方法步骤：
(1)根据正弦定理求sin B．
(2)判断角B解的情况(本题两解)．
(3)讨论角B，求解角C和c.
[例3]　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)
A.　　　　　 B.
C. D .
[解析]　由题意得
sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，
sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
即sin C(sin A＋cos A)
＝sin Csin＝0，
所以A＝.由正弦定理＝得
＝，即sin C＝，得C＝.
[答案]　B
(2)在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.
[解析]　因为＝，所以sin A＝＝.因为c＞a，所以C＞A，所以A＝.
所以B＝，b＝＝＝＋1.
延伸探究　3.若把本例(2)中C＝改为A＝，其他条件不变，求C，B，b.
解析：因为c·sin A＝×＝＜2，所以sin ＜2＜，即c·sin A＜a＜c，所以本题有两解．
因为＝，所以sin C＝＝.
所以C＝或.
当C＝时，B＝，b＝＝＋1.
当C＝时，B＝，b＝＝－1.
方法技巧　
1．已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
2．已知两边及一边对角的三角形解的个数
(1)代数角度
由正弦定理得sin B＝.
①若＞1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若＜1，则满足条件的三角形个数为1或2.

(2)几何角度

图形
关系式
解的个数
A为锐角

①a＝bsin A；
②a≥b
一解

bsin A＜a＜b
两解

a＜bsin A
无解
A为钝角或直角

a＞b
一解

a≤b
无解
跟踪探究　1.在△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，则△ABC的解的个数为(　　)
A．一个解　　　　　 B．两个解
C．无解 D．无法确定
解析：由正弦定理得sin B＝＝＝，
又a＞b，所以B为锐角，角B有唯一的解．
进一步，可以求角C和边c，都是唯一的．
答案：A
2．已知△ABC中，a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
解析：由正弦定理，可得＝，
所以sin B＝＝＝，
又0°＜B＜180°，所以B＝60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝90°，
此时c＝＝＝4，
②当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝30°，
此时c＝a＝2.
探究三　判断三角形的形状

　[教材P10习题1.1 B组第2题]在△ABC中，如果有性质acos A＝bcos B，试问这个三角形的形状具有什么特点？
解析：设△ABC的外接圆的半径为R，
由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴由acos A＝bcos B得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B.
由于A、B∈(0，π)，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
故A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
[例4]　在△ABC中，已知acos B＝bcos A，试判断△ABC的形状．
[解析]　由正弦定理，
得sin Acos B＝sin Bcos A，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0，
因为A，B为△ABC的内角，
故A－B＝0，A＝B，
即△ABC为等腰三角形．
延伸探究　4.将例4中的条件改为“＝＝”，判断三角形的形状．
解析：由正弦定理得
＝＝，
又＝＝，
两式相除得1＝tan B＝tan C，
又0＜B＜π，0＜C＜π，
所以B＝C＝，所以A＝.
所以△ABC为等腰直角三角形．
5．将例4中的条件改为“a2tan B＝b2tan A”，判断三角形的形状．
解析：设三角形外接圆半径为R，则a2tan B＝b2tan A，
所以＝，
即＝，
因为0＜A＜π，0＜B＜π，
所以sin A≠0，sin B≠0，
可得sin Acos A＝sin Bcos B，
所以sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
所以A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
方法技巧　
1．判断三角形形状的两种途径
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
2．用正弦定理进行边角互化的两种方法

授课提示：对应学生用书第4页
[课后小结]
　对正弦定理的认识
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
(4)正弦定理与三角形的外接圆的半径结合起来，可实现三角形的边与角的互化．
(5)正弦定理可用于求解两类三角形：一是已知三角形的两角(或其三角函数值)和一边；二是已知三角形两边及一边的对角(或其三角函数值)．第一种三角形只有一解，第二类三角形可能一解、两解或无解．
[素养培优]
1．不理解三角形解的情况与条件的关系
在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两组解，则x的取值范围是(　　)
A．x＞2　　　　　　　 B．x＜2
C．2＜x＜ D．2＜x≤
易错分析　对两组解存在的条件理解不清，只认为a＜b即可或理解“反”，即a＞b，考查逻辑推理、数学运算的学科素养．
自我纠正　当asin B＜b＜a时，△ABC有两组解，
已知b＝2，B＝60°，a＝x，如果△ABC有两组解，
那么x应满足xsin 60°＜2＜x，
即2＜x＜.
答案：C
2．忽视边或角的大小关系
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝，a＝，b＝1，则A＝(　　)
A. B.
C.或 D.
易错分析　忽视条件a与b的大小关系和作用，只盲目得一种结果，错选A或B.考查数学运算及分类讨论思想．
自我纠正　在△ABC中，由正弦定理得sin A＝＝＝，
因为b＜a，所以A＞B＝，
又A∈(0，π)，所以A＝或.
答案：C
3．解答不完备，题意审不清
在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
易错分析　将此题的两个条件割裂开应用，致题意审不清，解答不完备或混淆概念．考查数学运算、逻辑推理的学科素养及基本知识的综合应用能力．
自我纠正　法一：根据正弦定理＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝.
∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：根据正弦定理＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°＜B－C＜90°，
∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形．