中考数学模拟试卷卷019(含答案解析).doc

中考数学模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）﹣|﹣2018|等于（　　）
A．2018 B．﹣2018 C．1 D．0
2．（4分）某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（　　）
A．9.4×10﹣7m B．9.4×107m C．9.4×10﹣8m D．9.4×108m
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（2a﹣1）2=4a2﹣1 B．3a6÷3a3=a2 C．（﹣ab2）4=﹣a4b6 D．﹣2a+（2a﹣1）=﹣1
4．（4分）从棱长为a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为0.5a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的左视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（4分）下列命题中，真命题是（　　）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
C．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
7．（4分）某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
成绩（分）
35
39
42
44
45
48
50
人数（人）
2
5
6
6
8
7
6
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（　　）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（　　）

A．25° B．35° C．55° D．70°
9．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
10．（4分）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，则i6=（　　）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）分解因式：x3﹣4x=　 　．
12．（4分）已知x=1是关于x的方程x2+x+2k=0的一个根，则它的另一个根是　 　．
13．（4分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是　 　．
14．（4分）不等式6x﹣4＜3x+5的最大整数解是　 　．
15．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则的值为　 　．

16．（4分）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　 　．

17．（4分）现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为　 　．

18．（4分）如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（π﹣）0+|1﹣|+（）﹣1﹣2sin45°．
20．（8分）先化简：（），然后从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值．
21．（8分）近几年我市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会效果．某校随机调查了九年级m名学生的升学意向，并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．请你根据图中的信息解答下列问题：
（1）m=　 　；
（2）扇形统计图中“职高”对应的扇形的圆心角α=　 　；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校九年级有学生900人，估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高？

22．（10分）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的两点，AD=CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若BP=6，求PF的长．

23．（10分）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：

甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2=2CD•OE；
（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．

25．（12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=+bx+c经过B点，且顶点在直线x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

26．（12分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为　 　；
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为　 　．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．
【考点】15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】由绝对值的性质解答即可．
【解答】解：﹣|﹣2018|=﹣2018，
故选：B．
【点评】主要考查绝对值的概念及性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 94=9.4×10﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．
【考点】4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及去括号，合并同类项法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=4a2﹣4a+1，不符合题意；
B、原式=a3，不符合题意；
C、原式=a4b8，不符合题意；
D、原式=﹣2a+2a﹣1=﹣1，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

4．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个正方形，正方形的左上角是一个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

5．
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°﹣20°=25°．
故选：C．

【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．

6．
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】根据矩形的判定方法对A矩形判断；根据正方形的判定方法对B矩形判断；根据等边三角形的性质对C矩形判断；根据等边三角形的判定方法对D矩形判断．
【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，所以B选项错误；
C、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以C选项错误；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

7．
【考点】W5：众数；VA：统计表；W2：加权平均数；W4：中位数．菁优网版权所有
【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．
【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40，
得45分的人数最多，众数为45，
第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=45，
平均数为：=44.425．
故错误的为D．
故选：D．
【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．

8．
【考点】M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】由AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，可求得∠D的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=70°，
∴∠D=∠BOC=35°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

9．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①当x=1时，结合图象y=a+b+c＜0，故此选项正确；
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显小于﹣1，∴y=a﹣b+c＞0，故本选项错误；
③由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴为0＜x=﹣＜1，
∴2a＞﹣b，
即2a+b＞0，
故本选项错误；
④对称轴为x=﹣＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
图象与坐标相交于y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故本选项正确；
∴正确结论的序号为①④．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数关系，同学们应掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．

10．
【考点】2C：实数的运算．菁优网版权所有
【分析】把i6化为i2•i4，然后i2=﹣1，i4=1代入计算即可．
【解答】解：i6=i2•i4=（﹣1）×1=﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了实数的运算和新运算，解本题的关键是理解和会用新运算解决问题．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
11．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
=x（x2﹣4），
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．

12．
【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】根据根与系数的关系即可求出另外一根．
【解答】解：设另外一个跟为x，
由根与系数的关系可知：x+1=﹣1，
∴x=﹣2，
故答案为：x=﹣2
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根根与系数的关系，本题属于基础题型．

13．
【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有
【分析】直接利用概率公式计算．
【解答】解：投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率==．
故答案为．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

14．
【考点】C7：一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，从而得出整数解．
【解答】解：∵6x﹣3x＜5+4，
∴3x＜9，
x＜3，
则不等式的最大整数解为x=2，
故答案为：x=2
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

15．
【考点】S4：平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【分析】根据平行线分线段成比例定理推出=，代入求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵AD=1，BD=2，
∴AB=3，
∴=，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线被两条直线所截的对应线段成比例中的对应．题目较好，但是一道比较容易出错的题目．

16．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．
【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴矩形ABCD的面积为3﹣1=2．
故答案为：2．

【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

17．
【考点】MP：圆锥的计算．菁优网版权所有
【分析】已知扇形底面半径是10cm，就可以知道展开图扇形的弧长是20πcm，根据弧长公式l=nπr÷180得到．
【解答】解：20π=，解得：n=90°，
∵扇形彩纸片的圆心角是108°
∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°=18°．
剪去的扇形纸片的圆心角为18°．
故答案为：18°．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

18．
【考点】D2：规律型：点的坐标；KK：等边三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据O（0，0），A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．
【解答】解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，则第六个正三角形的边长是，
故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是=，
P6的纵坐标为，
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．

三、解答题（本大题共8小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式=1+﹣1+2﹣2×
=+2﹣
=2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=[﹣]÷
=•
=•
=x﹣1
∵x=﹣2，0，1，2能使分母为0，无意义，
∴x只能取﹣1，
当x=﹣1时，原式=﹣1﹣1=﹣2．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

21．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．菁优网版权所有
【分析】（1）用其他的人数除以所占的百分比，即为九年级学生的人数m；
（2）职职高所占的百分比为1﹣60%﹣10%，再乘以360°即可；
（3）根据普高和职高所占的百分比，求得学生数，补全图即可；
（4）用职高所占的百分比乘以900即可．
【解答】解：（1）4÷10%=40（人），

（2）（1﹣60%﹣10%）×360°=30%×360°=108°；

（3）普高：60%×40=24（人），
职高：30%×40=12（人），
如图．

（4）900×30%=270（名），
该校共有270名毕业生的升学意向是职高．
故答案为：40，108°．

【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本来估计总体，是基础知识要熟练掌握．

22．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS即可证明△ABD≌△CAE；
（2）由△ABD≌△CAE得出对应角相等∠ABD=∠CAE，根据三角形的外角性质得出∠BPF=60°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出PF的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠BPF=∠BAP+∠ABD，
∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°，
∵BF⊥AE，
∴∠PFB=90°，
∴∠PBF=30°，
∴PF=BP=3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

23．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）等量关系为：甲件数+乙件数=160；甲总利润+乙总利润=1100．
（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260．
【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得：．
解得：．
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．
根据题意得．
解不等式组，得65＜a＜68．
∵a为非负整数，∴a取66，67．
∴160﹣a相应取94，93．
方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．
方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．
答：有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组：甲件数+乙件数=160；甲总利润+乙总利润=1100．甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260．

24．
【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线；
（2）证明OE是△ABC的中位线，则AC=2OE，然后证明△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．
【解答】（1）证明：连接OD，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为圆O的切线；
（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即BC2=AC•CD．
∴BC2=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD=，
∴sin∠BAC==，
又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，
∴AC=．
又∵AC=2OE，
∴OE=AC=．

【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

25．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=+bx+c的顶点在直线x=上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=+m
∵点B（0，4）在此抛物线上，
∴4=×+m
∴m=﹣
∴所求函数关系式为：y=﹣=﹣x+4

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB==5
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；
当x=5时，y=×52﹣×5+4=4
当x=2时，y=×22﹣×2+4=0
∴点C和点D在所求抛物线上；

（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′，
则；
解得：；
∴y=x﹣
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t；
则yM=﹣t+4，yN=t﹣，
∴l=yN﹣yM=t﹣﹣（﹣t+4）=﹣+t﹣=﹣+
∵﹣＜0，
∴当t=时，l最大=，yM=﹣t+4=．
此时点M的坐标为（，）．
【点评】此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识．

26．
【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；
（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．
【解答】解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，
每个等腰直角三角形的面积为：a•a=a2，
则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，
∴这个新正方形的边长为a；

（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2；

（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．

由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，

在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=a×=a，
∴S△RSF=a•a=a2．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD•sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，
∴S△ADS=SD•AN=•x•x=x2．
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，
∴=3×x2，得x2=，
解得x=或x=（不合题意，舍去）
∴x=，即AD的长为．
故答案为：a；．
【点评】本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．

第25页（共25页）