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1.2.1 命题与量词
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列语句中，命题的个数是( )
①空集是任何集合的子集；②求证9是无理数；③若x∈R，则x2－x＋1＝0；④面积相等的三角形是全等三角形．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①③④是命题，②不是命题．故选C.
2．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除以0，都等于0.
其中全称量词命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C.
3．下列命题是存在量词命题的是( )
A．一次函数都是单调函数
B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0
C．存在实数大于或者等于3
D．菱形的对角线互相垂直
答案 C
解析 A，B，D中的命题都是全称量词命题，C中的命题是存在量词命题．故选C.
4．下列是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x，y∈R，x2＋y2>0
C．∀x∈Q，x2∈Q D．∃x∈Z，x2>1
答案 C
解析 首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．故选C.
5．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|x>3}，则下列命题中真命题的个数是( )
①∃m∈A，m∉B；②∃m∈B，m∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.
A．4 B．3
C．2 D．1
答案 C
解析 因为A＝{y|y＝x2＋2}＝{y|y≥2}，B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真命题，②③为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.
二、填空题
6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________________________．
答案 ∀x≤0，x3≤0
解析 命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.
7．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③空集是任何一个非空集合的真子集；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号)
答案 ①②③ ④⑤
解析 ①②③都是全称量词命题，且都为真命题，④⑤⑥都是存在量词命题，但其中只有④⑤是真命题．
8．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)
解析 由题意可得a<x2＋2x，又因为当x∈R时，x2＋2x＝x2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1≥－1，所以当p为真命题时，实数a的取值范围是(－∞，－1)．
三、解答题
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分；
(3)三角形的两边之和大于第三边；
(4)有些质数是奇数．
解 (1)存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题．
(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．
(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．
(4)存在量词命题．因为3是质数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些质数是奇数”是真命题．
10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
解 (1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；真命题．
(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．
如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．
(3)∃x，y∈Z,3x－2y＝10；真命题．
(4)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．
B级：“四能”提升训练
1．已知命题p：“∃x∈[－1,1]，2x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”，若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围．
解 若命题p为真命题，即∃x∈[－1,1]，使a≤2x2成立，即a小于2x2的最大值，所以a≤2.
若命题q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋2－a＝0有实根．
所以Δ＝4－4×1×(2－a)≥0.解得a≥1.所以实数a的取值范围为[1,2]．
2．若x∈R，函数y＝ax2＋2ax＋3＋a，且y≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 若a＝0，则y＝3>0，符合题意；
若a≠0，则y＝ax2＋2ax＋3＋a是一元二次函数，
ax2＋2ax＋3＋a≥0恒成立，
只需即
解得a>0.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥0}．
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