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课时素养评价 十五
二次函数与一元二次方程、不等式的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列四个不等式中解集为R的是 ( )
A.-x2+x+1≥0 B.x2-2x+>0
C.-2x2+3x-4<0 D.x2+6x+10>0
【解析】选C、D.对于C项,Δ=32-4×8=-23<0.所以-2x2+3x-4<0的解集为R;对于D项,Δ=62-4×10=-4<0.所以x2+6x+10>0的解集为R.
2.关于x的不等式<0的解集为M,若0∈M,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<0 B.m>0
C.m≠0 D.不确定
【解析】选B.因为0∈M,所以<0.所以m>0.
3.不等式<0的解集为 ( )
A.{x|-1<x<2或2<x<3}
B.{x|1<x<3}
C.{x|2<x<3}
D.{x|-1<x<3}
【解析】选A.原不等式等价于
解得-1<x<3,且x≠2.
【加练·固】关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则不等式>0的解集为 ( )
A.{x|-1<x<2} B.{x|x<2且x≠1}
C.{x|1<x<2} D.{x|x<2且x≠-1}
【解析】选C.因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),所以a<0,且=1.则不等式>0即<0,解得1<x<2.
4.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是
( )
A.{x|-2≤x≤2} B.{x|x<2}
C.{x|x<-2} D.{x|-2<x≤2}
【解析】选D.当a=2时,原不等式即为-4<0,恒成立,即a=2满足条件;
当a≠2时,要使不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,
必须
解得-2<a<2.
综上所述,a的取值范围是-2<a≤2.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c<0的解集是________,不等式<0的解集是____________.
【解析】由题图直接可得不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|1<x<2};
1和2是ax2+bx+c=0的两个根,
所以-=3且=2,
所以b=-3a,c=2a且a>0.
不等式<0等价于(ax+b)(cx+a)<0,
即(x-3)(2x+1)<0,所以-<x<3.
答案:{x|1<x<2}
6.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是________.
【解析】由已知,3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,
化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,
解得x%≥0.2,或x%≤-3.2(舍去).
所以x≥20,即x的最小值为20.
答案:20
三、解答题(共26分)
7.(12分)某单位在对一个长800 m、宽600 m的空地进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围.
【解析】设花坛的宽度为x m,则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥×800×600,整理得x2-700x+60 000≥0,解不等式得x≥600(舍去)或x≤100,由题意知 x>0,所以0<x≤100.当x∈(0,100]时,绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.
8.(14分)不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0的解集为R,求m的取值范围.
【解析】当m2-2m-3=0时,即m=3或m=-1.
若m=3,原不等式化为-1<0,恒成立.
原不等式解集为R.
若m=-1,原不等式化为4x-1<0,得x<,原不等式的解集为,不合题意,舍去.
当m2-2m-3≠0时,依题意有
⇒
⇒-<m<3.
综上所述,当-<m≤3时,
不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0的解集为R.
(15分钟·30分)
1.(4分)不等式<2的解集为 ( )
A.{x|x≠-2} B.R
C.∅ D.{x|x<-2或x>2}
【解析】选A.因为x2+x+1=+>0,
所以原不等式可化为x2-2x-2<2(x2+x+1),化简得x2+4x+4>0,
即(x+2)2>0,
所以原不等式的解集为{x|x≠-2}.
2.(4分)设集合P={m|-1<m<0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则下列关系式中成立的是 ( )
A.P⊂Q B.Q⊈P
C.P=Q D.P∩Q=Q
【解析】选A.当m=0时,-4<0对任意实数x∈R恒成立;当m≠0时,由mx2+4mx-4<0对任意实数x∈R恒成立可得.
解得-1<m<0,
综上所述,Q={m|-1<m≤0},所以P⊂Q.
3.(4分)某地每年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是__________.
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
则y=2 400×t%=60(8t-t2).
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
答案:[3,5]
4.(4分)若不等式+m<0的解集为{x|x<3或x>4},则m的值为______.
【解析】由+m<0,得<0,即当1+m<0时有(x+m-1)(x+m)>0,其大根为1-m,小根为-m.所以解得m=-3.
答案:-3
5.(14分)当0≤x≤2时,不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2恒成立,试求t的取值范围.
【解析】令y=x2-3x+2,0≤x≤2.
则y=x2-3x+2=-,所以y在[0,2]上取得最小值为-,最大值为2.
若(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2在[0,2]上恒成立,
则即
所以或
所以t的取值范围为-1≤t≤1-.
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