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第2课时 两向量共线的充要条件及应用
[A 基础达标]
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析：选B.因为平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以1×m－(－2)×2＝0，解得m＝－4，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
2．已知a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，若b∥a，则tan α＝( )
A. B．2
C．－ D．－2
解析：选A.因为b∥a，所以2sin α＝cos α，所以＝，所以tan α＝.
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B.v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.
4．若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )
A．1，2 B．2，2
C．3，2 D．2，4
解析：选B.由题意知，＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．
因为∥，所以4－y－2(3－x)＝0，
即2x－y－2＝0.只有B选项，x＝2，y＝2代入满足．故选B.
5．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9，1) B．(9，－1)
C．(9，1) D．(－9，－1)
解析：选C.设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，
整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.
6．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________．
解析：因为向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下列结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中，正确结论的序号为________．
解析：①因为＝(－2，1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为＋＝≠，所以②错误；③因为＋＝(0，2)＝，所以③正确；④因为＝(－4，0)，－2＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．
答案：①③④
8．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1，2)⊗m＝(5，0)，则(1，2)⊕m等于________．
解析：由(1，2)⊗m＝(5，0)，可得解得所以(1，2)⊕m＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．
答案：(2，0)
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
所以当k＝－时，ka－b与a＋2b共线．
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
10．(1)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标；
(2)已知P1(2，－1)，P2(－1，3)，P在直线P1P2上，且||＝||.求点P的坐标．
解：(1)法一：由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，＝2＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，
所以x1＝0，y1＝20，x2＝9，y2＝2，即M(0，20)，N(9，2)，
所以＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
法二：设点O为坐标原点，
则由＝3，＝2，可得－＝3(－)，－＝2(－)，
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，
即点M(0，20)，N(9，2)，故＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
(2)①当点P在线段P1P2上时，如图a：
则有＝，设点P的坐标为(x，y)，
所以(x－2，y＋1)＝(－1－x，3－y)，
所以解得故点P的坐标为.
②当点P在线段P2P1的延长线上时，如图b：
则有＝－，设点P的坐标为(x，y)，
所以(x－2，y＋1)＝－(－1－x，3－y)，
所以解得
故点P的坐标为(8，－9)．
综上可得点P的坐标为或(8，－9)．
[B 能力提升]
11．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D.因为a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．
12．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由⇒
又B点在坐标轴上，
则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
答案：或
13.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为______．
解析：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又因为＝－＝(5λ－4，4λ)，
由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝，
所以＝＝，
所以P的坐标为.
答案：
14．(2019·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)．
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：(1)当m＝8时，＝(8，3)，
设＝x＋y，则x(2，－1)＋y(3，0)＝(2x＋3y，－x)＝(8，3)，
所以所以
所以＝－3＋.
(2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线，又＝(1，1)，＝(m－2，4)，所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.
[C 拓展探究]
15．已知平面上有A(－2，1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC，点E在CD上，且＝，求E点的坐标．
解：因为＝，所以2＝，
所以2＋＝＋，
所以＝.设C点坐标为(x，y)，
则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)，所以x＝－5，y＝－2，
所以C(－5，－2)．因为＝，
所以4＝，
所以4＋4＝5，所以4＝5.
设E点坐标为(x′，y′)，
则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．
所以
解得
所以E点的坐标为.
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