2022届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷-答案.docx

广东省广州市2017届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷
答 案
一、选择题
1~5．ABABA 6~10．CDCBC 11~12．BD
二、填空题
13．
14．23
15．
16．27
三、解答题
17．解：（Ⅰ）因为数列是等比数列，所以．
因为，所以，解得．
因为，
所以，即．
因为，所以．
因为等比数列的公比为，
所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）因为等比数列的首项为，公比，
所以．
因为，所以．
所以
．
设．
则．
所以．
因为，
所以．
所以数列的前项和．
18．解：（Ⅰ）证明：连接，
因为是菱形，所以．
因为平面，平面，
所以．
因为，所以平面．
因为平面，平面，所以．
所以，，，四点共面．
因为平面，所以．

（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
可以求得，，，，．
所以，．
设平面的法向量为，
则即
不妨取，则平面的一个法向量为．
因为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

19．解：（Ⅰ）依题意，的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，
因为，，
，．
所以的分布列为

1.68
1.92
2.1
2.4

0.30
0.30
0.20
0.20
依题意，的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，
因为，，
，．
所以的分布列为

1.68
1.8
2.24
2.4

0.42
0.18
0.28
0.12
（Ⅱ）令表示方案所带来的利润，则

15
20
25

0.30
0.50
0.20

15
20
25

0.42
0.46
0.12
所以，
．
因为，
所以实施方案1，第二个月的利润更大．
20．解：（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为．
因为双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，
所以，且，解得．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在．
因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为．
代入椭圆方程得．
因为，
所以．
设，，
根据根与系数的关系得，．
则．
因为，即．
整理得．
令，则．
所以．
等号成立的条件是，此时，满足，符合题意．
故的最大值为．
21．解：（Ⅰ）函数的定义域为．
因为，所以．
所以函数在点处的切线方程为，即．
已知函数在点处的切线方程为，比较求得．
所以实数的值为．
（Ⅱ）由，即．
所以问题转化为在上有解．
令，
则．
令，
所以当时，有．
所以函数在区间上单调递减．
所以．
所以，即在区间上单调递减．
所以．
所以实数的取值范围为．
22．解：（Ⅰ）曲线的普通方程为．
将直线代入中消去得，．
解得或．
所以点，，
所以．
（Ⅱ）在曲线上求一点，使的面积最大，则点到直线的距离最大．
设过点且与直线平行的直线方程．
将代入整理得，．
令，解得．
将代入方程，解得．
易知当点的坐标为时，的面积最大．
且点到直线的距离为．
的最大面积为．
23．解：（Ⅰ）证明：因为，
所以．
所以要证明，
即证明．
因为
所以．
因为，所以．
所以．
（Ⅱ）设，
则“对任意实数，不等式 恒成立”等价于“”．
当时，
此时，
要使恒成立，必须，解得．
当时，不可能恒成立．
当时，
此时，
要使 恒成立，必须，解得．
综上可知，实数的取范为．
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