2022届高三下学期第二次摸底考试数学(理科)试卷.docx

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理科）试卷
第Ⅰ卷 （共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题，；命题，，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．若实数，满足条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则二项式的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
8．已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．执行如图所示的程序框图，输出的值等于（ ）

A． B．
C． D．
11．椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知，，，若，，则________．
14．在中，，，分别为角，，的对边，，若，则________．
15．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的焦点的取值范围为________．
16．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知数列满足,．
(1)求数列的通项公式；
(2)设以2为公比的等比数列满足，求数列的前项和．
18．如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市．

(1)若该人到达后停留2（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；
(2)若该人到达后停留3天(到达当日算1天)，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望．
19．如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，，且与均为正三角形，为的重心．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的正切值．
20．已知抛物线的焦点为，为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点．
(1)若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；
(2)对于(1)中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为，交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围．
21．设函数，．
(1)若直线和函数的图象相切，求的值；
(2)当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
(1)设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；
(2)若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
已知定义在上的函数，且恒成立．
(1)求实数的值；
(2)若，，，求证：．
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