河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试(文数).doc

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试
数学（文科）

考生注意：
1．本试卷分必考部分和选考部分，共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高中全部内容。
必考部分
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，或，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题一组数据的平均数一定比中位数小；命题，则下列命题中为真命题的是 （ ）
A． B． C. D．
4. 设函数，若，则实数（ ）
A． B． C. 或 D．或
5．若实数满足条件，则的最大值为（ ）
A． B．
C. D．
6．运行如图所示的程序框图，输出的结果等于（ ）

A． B．
C. D．
7．若以为公比的等比数列满足，则数列的首项为（ ）
A． B． C. D．
8．已知函数的图象向左平移个单位所得的奇函数的部分图
象如图所示，且是边长为的正三角形，则
在下列区间递减的是 （ ）
A． B． C. D．
9．已知分别是双曲线的左、右焦点，分别是双曲线的左、右支上关于轴对称的两点，且，则双曲线的两条渐近线的斜率之积为（ ）
A． B． C. D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．椭圆的左焦点为，上顶点为，右
顶点为，若的外接圆圆心在直线的
左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
A． B． C. D．
12．设函数为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为 ．
14．中，），若，则 ．
15．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是里.良马第一天走里，之后每天比前一天多走里.驽马笫一天走里，之后每天比前一天少走里.良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为 里.
16．点是棱长为的正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，则动点的轨迹的长度为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求面积.

18. （本小题满分12分）
如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染.

（1）若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留天（到达当日算天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为天的概率；
（2）若该人随机选择3月7日至3月12日中的天到达该市，求这天中空气质量恰有天是重度污染的概率.

19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，平面平面，底面为
梯形，，且与
均为正三角形，为的重心.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.

20. （本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.
（1）若当点的横坐标为，且为等腰三角形，求的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.

21. （本小题满分12分）
函数，.
（1）讨论的极值点的个数；
（2）若.
①求实数的取值范围；
②求证：，不等式成立.
选考部分
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；
（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知定义在上的函数，且恒成立.
（1）求实数的值；
（2）若，求证：.
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: DCBAD 6-10: CDBCB 11-12：AB
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：(1),.
(2),,
,.
18. 解：(1)设表示事件“此人于3月日到达该市”.依题意知，，且.
设为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为天” ，则，所以，即此人停留期间空气重度污染的天数为天的概率为.
(2) 记3月7日至3月12日中重度污染的天为，另外天记为，则天中选天到达的基本事件如下：，
共种，其中天恰有天是空气质量重度污染包含这个基本事件，故所求事件的概率为.
19. 解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心，，在中，，故.又平面平面平面.

(2)连接并延长交于，连接，因为平面平面与均为正三角形，为的中点，平面，且.由（1）知平面.又由梯形，且，知.又为正三角形，得，得，
所以三棱锥的体积为.又.在中，
，故点到平面的距离为.
20. 解：(1) 由题知，则的中点坐标为，则，解得，故的方程为.
(2) 依题可设直线的方程为，则，由消去，得，，设的坐标为，则，由题知，所以，即，显然，所以，即证，由题知为等腰直角三角形，所以，即，也即，所以，即，又因为，所以，令，易知在上是减函数，所以.
21. 解：(1).
① 当，即时，对恒成立，在 上单调递增，没有极值点. ②当，即时，方程有两个不等正数解，，不妨设，则当时，递增，当时，递减，当时，递增，所以分别为的极大值点和极小值点. 有两个极值点.综上所述，当时，没有极值点，当时，有两个极值点.
(2) （i）,由，即对于恒成立，设，当时，递减，当时，递增，.
（ii）由（i）知，当时，有，即， ① 当且仅当时取等号.
以下证明，设，所以当时，递减，当时，递增，， ②
当且仅当时取等号. 由于①②等号不同时成立，故有.
22. 解：(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.
(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，即
（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为.
23. 解：（1）,要使恒成立，则，解得.又，.
（2），即，当且仅当，即时取等号，故.

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