2022届高三下学期第二次摸底考试数学(文科)试卷.docx

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（文科）试卷
第Ⅰ卷 （共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题一组数据的平均数一定比中位数小；命题，，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，若，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
5．若实数，满足条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．运行如图所示的程序框图，输出的结果等于（ ）

A．9 B．13 C．15 D．25
7．若以2为公比的等比数列满足，则数列的首项为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
8．已知函数的图象向左平移个单位所得的奇函数的部分图象如图所示，且是边长为1的正三角形，则在下列区间递减的是（ ）

A． B． C． D．
9．已知，分别是双曲线的左、右焦点，，分别是双曲线的左、右支上关于轴对称的两点，且，则双曲线的两条渐近线的斜率之积为（ ）
A．-4 B． C． D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A． B．
C． D．
11．椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数(为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2 400人、高二2 000人、高三人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为________．
14．中，，，，若，则________．
15．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1 125里．良马第一天走103里，之后每天比前一天多走13里．驽马第一天走97里，之后每天比前一天少走0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为________里．
16．点是棱长为的正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，，，则动点的轨迹的长度为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
18．如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．

(1)若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率；
(2)若该人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率．
19．如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，，且与均为正三角形，为的重心．

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
20．已知抛物线的焦点为，为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点．
(1)若当点的横坐标为3，且为等腰三角形，求的方程；
(2)对于(1)中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为，交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围．
21． 函数，．
(1)讨论的极值点的个数；
(2)若，．
①求实数的取值范围；
②求证：，不等式成立．
请考生在22．23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
(1)设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；
(2)若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
已知定义在上的函数，且恒成立．
(1)求实数的值；
(2)若，，，求证：．
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