2022-2022学年高中数学人教A版必修2作业：-直线与平面平行的性质-平面与平面平行的性质.doc

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．[2019·孝感校级单元测试]如果直线a平行于平面α，则(　　)
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a垂直的直线
D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线
解析：过直线a可作无数个平面与α相交，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确．平面内存在与a异面垂直的直线，且有无数条，故C，D不正确．
答案：B
2.

如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是(　　)
A．平行　 　　　　　　　B．相交
C．异面 D．平行和异面
解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.
答案：A
3．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.
其中正确的个数为 (　　)
A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对．
答案：A

4．[2019·广州校级课时练]如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　)
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
解析：四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，因为MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得，MN∥PA.
答案：B

5．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为(　　)
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．不确定
解析：因为平面与长方体的两组相对的平面分别相交，根据面面平行的性质定理可知，两组交线分别平行，即EF∥HG，EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形，故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8,12，过AB的中点E作平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．
解析：截面四边形为平行四边形，则l＝2×(4＋6)＝20.
答案：20
7．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

解析：连接FH，由题意知，HN∥平面B1BDD1，FH∥平面B1BDD1，且HN∩FH＝H，所以平面NHF∥平面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时，有MN∥平面B1BDD1.故填M∈线段HF.
答案：M∈线段HF.

8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.
解析：由线面平行的性质知MN∥PQ∥AC，所以＝，又AC＝a，所以PQ＝a.
答案：a
三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.
证明：因为EH∥FG，EH⊄平面BCD，
FG⊂平面BCD，
所以EH∥平面BCD，
又因为EH⊂平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，
所以EH∥BD.
10．正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面BCE.

证明：证法一(线线平行⇒线面平行)　如图1所示，
作PM∥AB，交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴＝＝，＝，
∴＝，又AB綊DC，∴PM∥QN且PM＝QN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN，
又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面CBE.

证法二(面面平行⇒线面平行)　如图2，在平面ABEF内过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM，又PM⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴PM∥平面BCE，＝.又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴＝，∴＝，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，MQ⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
[能力提升](20分钟，40分)
11．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是(　　)
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE：EA＝BF：FC，且DH：HA＝DG：GC
D．AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC
解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC.
答案：D

12．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′：AA′＝2：3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为________．
解析：由题意知，△A′B′C′∽△ABC，从而＝2＝2＝.
答案：4：25
13.

如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
解析：(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥BC.

(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE綊AM.
所以四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE.
又因为AE平面PAD，MN⃘平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
14.

如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
解析：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH.
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0<x<4)，∵四边形EFGH为平行四边形，
∴＝，则＝＝＝1－.
∴FG＝6－x.
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0<x<4，∴8<l<12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．