资源描述
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )
A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED
解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．
答案：D
2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是( )
A．若m⊥n，则α⊥β B．若m∥n，则α⊥β
C．若m⊥n，则α∥β D．若m∥n，则α∥β
解析：若m⊥n，则α与β可以平行或相交，故A，C错误；若m∥n，则α⊥β，D错，选B.
答案：B
3．如图，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，连接PB，PC，则图形中互相垂直的平面有( )
A．一对 B．两对
C．三对 D．四对
解析：由PA⊥平面ABC得平面PAB⊥平面ABC，
平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥BC，
又∠ABC＝90°，
所以BC⊥平面PAB，
从而平面PBC⊥平面PAB.故选C.
答案：C
4.
如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.
答案：A
5．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
解析：∵PA⊥平面ABCD，BC，AD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC，PA⊥AD.
又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.
∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.显然平面PAD与平面PBC不垂直．故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD与平面PAC的位置关系是________________________．
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.
答案：平面PBD⊥平面PAC
7．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的大小为________．
解析：如图，设S在底面内的射影为O，
取AB的中点M，
连接OM，SM，
则∠SMO为所求二面角的平面角，
在Rt△SOM中，
OM＝AD＝1，
SM＝＝，
所以cos∠SMO＝＝，
所以∠SMO＝45°.
答案：45°
8．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β.
其中正确的命题是________(填序号)．
解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．
答案：③
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A.PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC.
10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝，AB＝1，BC＝2，AC＝，求二面角P－CD－B的大小．
解析：∵AB＝1，BC＝2，AC＝，∴BC2＝AB2＋AC2，
∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD.
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥CD，
∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．
在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝，AC＝，
∴∠PCA＝45°.
故二面角P－CD－B的大小为45°.
[能力提升](20分钟，40分)
11．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )
A．60°
B．30°
C．45°
D．15°
解析：易得BC⊥平面PAC，所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角，在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故选C.
答案：C
12.
如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
解析：取BC中点M，则AM⊥BC，
由题意得AM⊥平面BDC，
∴△AMD为直角三角形，
AM＝MD＝a.
∴AD＝a×＝a.
答案：a
13．如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B，A′C，P为A′C的中点．
(1)求证：EP∥平面A′FB；
(2)求证：平面A′EC⊥平面A′BC.
证明：(1)因为E，P分别为AC，A′C的中点，
所以EP∥A′A，又A′A⊂平面AA′B，
而EP⊄平面AA′B，
所以EP∥平面AA′B，即EP∥平面A′FB.
(2)因为E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，所以EF∥BC.因为BC⊥AC，所以EF⊥AE，
故EF⊥A′E，所以BC⊥A′E.
而A′E与AC相交，所以BC⊥平面A′EC.
又BC⊂平面A′BC，所以平面A′EC⊥平面A′BC.
14．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值．
解析：如图所示，连接OB，OO′，
则四边形OO′FB为直角梯形．过点F作FM⊥OB于点M，
则有FM∥OO′.
又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC.
可得FM＝＝3.
过点M作MN⊥BC于点N，连接FN.
可得FN⊥BC，
从而∠FNM为二面角F－BC－A的平面角．
又AB＝BC，AC是圆O的直径，
所以MN＝BMsin45°＝，
从而FN＝，可得cos∠FNM＝＝.
所以二面角F－BC－A的余弦值为.
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