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2022-2022学年高中数学人教A版必修2学案:空间中直线与平面之间的位置关系-平面与平面之间的位置关系.doc

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2022-2022学年高中数学人教A版必修2学案:空间中直线与平面之间的位置关系-平面与平面之间的位置关系.doc_第1页
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资源描述
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 知识导图 学法指导 1.在判断线面关系、面面关系时,一般都要遵循从“低维”到“高维”的转化,即从线线关系到线面关系,再到面面关系. 2.无论是判断还是证明,一定要注意对自然语言、图形语言和符号语言进行相互转换,使三者相辅相成. 高考导航 本节内容在高考中很少单独考查,通过掌握空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系,进而掌握后面将要学习的直线、平面平行(或垂直)的判定及其性质等,要引起重视. 知识点一 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 1个公共点 0个公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示 知识点二 平面与平面之间的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有一条公共直线 位置关系 两平面平行 两平面相交 图形表示 符号表示 α∥β α∩β=a 1.判断面面位置关系时,要利用好长方体(或正方体)这一模型. 2.画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.(  ) (2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行.(  ) (3)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行.(  ) (4)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行.(  ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× 2.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是(  ) A.α内的所有直线均与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内直线均与a相交 D.直线a与平面α有公共点 解析:若直线a不平行于平面α,则直线a在平面α内或直线a与平面α相交,故选D. 答案:D 3.平面α∥平面β,直线a∥平面α,则(  ) A.a∥β        B.a在平面β上 C.a与β相交 D.a∥β或a⊂β 解析:如图1满足a∥α,α∥β,此时a∥β; 如图2满足a∥α,α∥β,此时a⊂β,故选D. 答案:D 4.若直线a,b是异面直线,a⊂β,则b与平面β的位置关系是(  ) A.平行 B.相交 C.b⊂β D.平行或相交 解析:∵a,b异面,且a⊂β,∴b⊄β,∴b与β平行或相交. 答案:D 类型一 考查直线与平面的位置关系 例1 给出以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面): ①若a∥α,b∥α,则a∥b;②若a∥b,b∥α,则a∥α;③若a∥α,b⊂α,则a∥b;④若α的同侧有两点A,B到平面α的距离相等,则AB∥α. 其中正确命题的个数是(  )                           A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,A′B′∥平面ABCD,B′C′∥平面ABCD,但A′B′与B′C′相交,故①错误;AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD,但AB⊂平面ABCD,故②错误;A′B′∥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,但A′B′与BC异面,故③错误.④显然正确. 【答案】 B 作出一个长方体→找出满足条件的直线和平面→对比结论判断正误 方法归纳 直线与平面位置关系的判断方法和注意事项 (1)判断方法. 首先把文字语言转化为图形语言,然后弄清图形间的相对位置是确定的还是可变的,最后根据定义确定直线与平面的位置关系. 可以借助几何体模型,把要判断关系的直线和平面放在某些具体的空间图形中,以便正确作出判断,切忌凭空臆断. (2)注意事项. ①空间中直线与平面只有三种位置关系:直线与平面平行、直线与平面相交和直线在平面内.在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽和遗漏. ②正确理解“直线在平面外”的含义. 跟踪训练1 下列结论正确的是________. (1)若直线a∥平面α,直线b⊂α,则a∥b; (2)若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a与b相交; (3)若直线a⊄平面α,则a∥α或a与α相交; (4)若直线a∩平面α=A,则a⊄α; (5)若直线a⊂平面α,直线b⊄平面α,则a,b无公共点. 解析:(1)错,a,b还可能异面;(2)错,a,b还可能异面或平行;(3)正确,a⊄α包含两种情况,相交或平行;(4)正确,a∩α=A,则a与α相交,有a⊄α;(5)错,a,b还可能相交. 答案:(3)(4) 有关直线与平面的位置关系的问题,我们可借助熟悉的几何体(如正方体、长方体)模型解决. 类型二 平面与平面的位置关系 例2 α、β是两个不重合的平面,下列说法中正确的是(  )                                 A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β B.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β C.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β D.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β 【解析】 A,B都不能保证α,β无公共点,如图(1)所示;C中当a∥α,a∥β时,α与β可能相交,如图(2)所示;只有D保证α,β一定无公共点. 【答案】 D 从平面与平面平行的定义出发进行判断,即两平面没有公共点. 方法归纳 两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似,可以从有无公共点区分:如果两个平面有一个公共点,那么由公理3可知,这两个平面相交于过这个点的一条直线;如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的位置关系:①平行——没有公共点;②相交——有且只有一条公共直线.若平面α与β平行,记作α∥β;若平面α与β相交,且交线为l,记作α∩β=l. 跟踪训练2 如果在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是(  )                                 A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不正确 解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊂平面ABCD,C1D1⊂平面A1B1C1D1,C1D1⊂平面CDD1C1,AB∥C1D1,但平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD与平面CDD1C1相交. 答案:C 借助正方体,找到题中的条件符合的平面,观察两个平面的位置关系. 2.1.3-4 [基础巩固](25分钟,60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是(  ) A.平行    B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 解析:如下图所示: 由图可知,两个平面平行或相交. 答案:C 2.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系为(  ) A.平行 B.相交 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 解析:由面面平行的定义可知,若一条直线在两个平行平面中的一个平面内,则这条直线与另一个平面无公共点,所以与另一个平面平行.由此可知,本题中这条直线可能在平面内.否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必然与另一个平面相交). 答案:D 3.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则(  ) A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 解析:若在平面α内存在与直线l平行的直线,因l⊄α,故l∥α,这与题意矛盾. 答案:B 4.[2019·安阳课时检测]过平面外两点作该平面的平行平面,可以作(  ) A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.1个或2个 解析:平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况: ①直线与平面相交,可以作0个平行平面. ②直线与平面平行,可以作1个平行平面. 答案:C 5.[2019·郑州课时检测]给出下列说法: ①若直线a在平面α外,则a∥α;②若直线a∥b,b⊂平面α,则a∥α;③若直线a∥平面α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线. 其中说法正确的个数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:对于①,直线a在平面α外包括两种情况,即a∥α或a与α相交,∴a和α不一定平行,∴①说法错误. 对于②,∵直线a∥b,b⊂平面α,只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于α,∴②说法错误. 对于③,比如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥平面ABCD,A1D1∥AD,∴平面ABCD内任一条平行于AD的直线都与A1D1平行,∴③说法正确. 答案:B 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.有下列命题: ①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合; ②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β. 其中错误命题的序号为________. 解析:对于①,两个平面相交,则有一条交线,也有无数多个公共点,故①错误;对于②,借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故②错误. 答案:①② 7.与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个. 解析:A,B,C,D四个顶点在平面α的异侧,如果一边3个,另一边1个,适合题意的平面有4个;如果每边2个,适合题意的平面有3个,共7个. 答案:7 8.下列命题正确的有________. ①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内; ②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α; ③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线; ④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交; ⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面; ⑥若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b. 解析:对②,直线l也可能与平面相交;对③,直线l与平面内不过交点的直线是异面直线,而与过交点的直线相交;对④,另一条直线可能在平面内,也可能与平面平行;对⑥,两平行平面内的直线可能平行,也可能异面.故①⑤正确. 答案:①⑤ 三、解答题(每小题10分,共20分) 9. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则下列直线与平面的位置关系是什么? (1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系; (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系; (3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系; (4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系. 解析:(1)AM所在的直线与平面ABCD相交; (2)CN所在的直线与平面ABCD相交; (3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行; (4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交. 10. 如图,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论. 解析:平面ABC与β的交线与l相交. 证明:∵AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α, ∴AB与l一定相交,设AB∩l=P, 则P∈AB,P∈l. 又∵AB⊂平面ABC,l⊂β, ∴P∈平面ABC,P∈β. ∴点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点, ∴直线PC就是平面ABC与β的交线. 即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P, ∴平面ABC与β的交线与l相交. [能力提升](20分钟,40分) 11.[2019·洛阳单元练习]下列说法中正确的个数是(  ) ①平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面有2条或3条交线; ②如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面; ③直线a不平行于平面α,则a不平行于α内任何一条直线. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①错误.平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可能有2条或3条交线,还可能只有1条交线. ②错误.如果a,b是两条直线,a∥b,那么a有可能在经过b的平面内. ③错误.直线a不平行于平面α,则a有可能在平面α内,此时a可以与平面α内无数条直线平行. 答案:A 12.三个平面最多能把空间分为________部分,最少能把空间分成________部分. 解析:三个平面可将空间分成4,6,7,8部分,所以三个平面最少可将空间分成4部分,最多分成8部分. 答案:8 4 13.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,P是A′D的中点,Q是B′D′的中点,判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系,并利用定义证明. 解析:直线PQ与平面AA′B′B平行. 连接AD′,AB′,在△AB′D′中,∵PQ是△AB′D′的中位线,平面AB′D′∩平面AA′B′B=AB′,∴PQ在平面AA′B′B外,且与直线AB′平行,∴PQ与平面AA′B′B没有公共点,∴PQ与平面AA′B′B平行. 14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中点,画出过D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线,并说明理由. 解析:如图,取AB的中点F,连接EF,A1B,CF. ∵E是AA1的中点, ∴EF∥A1B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC, ∴四边形A1BCD1是平行四边形. ∴A1B∥CD1, ∴EF∥CD1. ∴E,F,C,D1四点共面. ∵E∈平面ABB1A1,E∈平面D1CE, F∈平面ABB1A1,F∈平面D1CE, ∴平面ABB1A1∩平面D1CE=EF. ∴过D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
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