黑龙江省哈尔滨六中2021届高三数学一模试卷文含解析.doc

2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（　　）
A．（1，2） B．（1，2] C．[﹣1，1） D．（﹣1，1）

2．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2）

3．已知△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，则∠BAC=（　　）啊啊
A．150° B．120° C．60°或120° D．30°或150°

4．已知P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则的值（　　）
A．是定值6 B．最大值为8
C．最小值为2 D．与P点位置有关

5．设x＞0，且1＜bx＜ax，则（　　）
A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b

6．掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6的概率是（　　）
A． B． C． D．

7．数列{an}是公差不为零的等差数列，并且a5，a8，a13是等比数列{bn}的相邻三项．若b2=5，则bn=（　　）
A．5• B．5• C．3• D．3•

8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（　　）

A．2 B． C． D．3

9．如图所示程序框图中，输出S=（　　）

A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66

10．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（　　）
A． B．8π C． D．

11．已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（　　）
A．[0，1] B． C． D．

12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4 满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（　　）
A．（20，32） B．（9，21） C．（8，24） D．（15，25）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知数列{an}中，a2=1，an+1=an+n﹣1，则a5=　　　　　　．

14．如果x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是　　　　　　．

15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=　　　　　　．

16．已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为　　　　　　．

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．已知函数f（x）=2cos（2x+）+sin2x
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）设△ABC的三内角分别是A、B、C．若f（）=﹣，且AC=1，BC=3，求sinA的值．

18．某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．
（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=，M是棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面MQB；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣DQM的体积．

20．过椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知|AB|=|BC|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

21．已知关于x的函数
（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，选修4-1：几何证明选讲
22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．

选修4-4：坐标系与参数方程．
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．
（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

选修4-5；不等式选讲．
24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．
（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；
（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（　　）
A．（1，2） B．（1，2] C．[﹣1，1） D．（﹣1，1）
【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求解一元二次不等式化简集合A，求解对数函数的定义域化简集合B，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，
B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
则A∩B={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数定义域的求法，考查了交集及其运算，是基础题．

2．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2）
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．
【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．

3．已知△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，则∠BAC=（　　）
A．150° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
【考点】三角形的面积公式．
【专题】解三角形．
【分析】根据S△ABC=||•||•sin∠BAC，代入求出sin∠BAC=，从而求出答案．
【解答】解：∵S△ABC=||•||•sin∠BAC，
∴=×2×3×sin∠BAC，
∴sin∠BAC=，
∴∠BAC为30°，或150°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积根式，是一道基础题．

4．已知P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则的值（　　）
A．是定值6 B．最大值为8
C．最小值为2 D．与P点位置有关
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】先设=， =， =t，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．
【解答】解：设===t
则=﹣=﹣，
2=4=2•=2×2×cos60°=2
=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t+=+
•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t] +t2
=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6
故选A．
【点评】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．

5．设x＞0，且1＜bx＜ax，则（　　）
A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b
【考点】指数函数单调性的应用．
【专题】探究型．
【分析】利用指数函数的性质，结合x＞0，即可得到结论．
【解答】解：∵1＜bx，∴b0＜bx，
∵x＞0，∴b＞1
∵bx＜ax，∴
∵x＞0，∴
∴a＞b
∴1＜b＜a
故选C．
【点评】本题考查指数函数的性质，解题的关键是熟练运用指数函数的性质，属于基础题．

6．掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】向上的点数之和不小于6的情况找出，再利用古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式即可得出．
【解答】解：将两骰子投掷一次，共有36种情况，每种情况等可能出现，属于古典概型
（1）设事件A={两骰子向上的点数和不小于6}；
事件A1={两骰子向上的点数和6}，有5种情况
事件A2={两骰子向上的点数和7}；有6种情况
事件A3={两骰子向上的点数和为8}，有5种情况
事件A4={两骰子向上的点数和为9}；有4种情况
事件A5={两骰子向上的点数和为10}；有3种情况
事件A6={两骰子向上的点数和为11}；有2种情况
事件A7={两骰子向上的点数和为12}；有1中种情况
则A1与A2、A3…A7为互斥事件，且A=A1+A2+A3+…+A7
P（A）=P（A1+A2+A3+…+A7）=P（A1）+P（A2）+…+P（A7）==
故选A
【点评】熟练掌握古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式是解题的关键

7．数列{an}是公差不为零的等差数列，并且a5，a8，a13是等比数列{bn}的相邻三项．若b2=5，则bn=（　　）
A．5• B．5• C．3• D．3•
【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式．
【专题】计算题．
【分析】由数列{an}是公差不为零的等差数列，利用等差数列的性质得到a8=a5+3d，a13=a5+8d，再由a5，a8，a13是等比数列{bn}的相邻三项，利用等比数列的性质列出关系式，得到a5与d的关系，用d表示出a5，由等比数列的性质得到q=，将表示出的a8代入后，再将表示出的a5代入，约分后求出q的值，由q的值及b2的值，求出首项b1的值，由b1及q的值，利用等比数列的通项公式即可表示出bn的通项．
【解答】解：∵{an}是公差不为零的等差数列，并且a5，a8，a13是等比数列{bn}的相邻三项，
∴（a5+3d）2=a5（a5+8d），
∴，
∴q===，
∵b2=5，q=，
∴b1==3，
∴．
故选D
【点评】此题考查了等差、等比数列的性质，以及等差、等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．

8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（　　）

A．2 B． C． D．3
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．
【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：
V==3⇒x=3．
故选D．

【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．

9．如图所示程序框图中，输出S=（　　）

A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66
【考点】循环结构．
【专题】计算题；简易逻辑．
【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．
【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；
第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；
第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；
…
直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，
S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键．

10．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（　　）
A． B．8π C． D．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1．
小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，
∴DQ=4，
设球心为O，半径为R，
则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4﹣R）2，∴R=
则这个球的表面积为：S=4π（）2=
故选C．
【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．

11．已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（　　）
A．[0，1] B． C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆．
【分析】根据条件若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），等价PO≤2即可，求出不等式的解集即可得到x0的范围
【解答】解：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．
如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ=45°，且PQ与圆相切时，PO=2，
而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜45°恒成立0．
因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=45°，否则，这样的点Q是不存在的；
∵点P（x0，y0）在直线x+2y﹣4=0上，∴x0+2y0﹣4=0，即y0=
∵|OP|2=x02+y02=x02+（）2=x02﹣2x0+4≤4，
∴x02﹣2x0≤0，
解得，0≤x0≤，
∴x0的取值范围是[0，]
故选：B

【点评】本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4 满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（　　）
A．（20，32） B．（9，21） C．（8，24） D．（15，25）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10，由此可得则的取值范围．
【解答】解：函数的图象如图所示，
∵f（x1）=f（x2），
∴﹣log2x1=log2x2，
∴log2x1x2=0，
∴x1x2=1，
∵f（x3）=f（x4），
∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10
∴=x3x4﹣（x3+x4）+1=x3x4﹣11，
∵2＜x3＜x4＜10
∴的取值范围是（9，21）．
故选：B．

【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知数列{an}中，a2=1，an+1=an+n﹣1，则a5=　7　．
【考点】数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】an+1=an+n﹣1，变形为an﹣an﹣1=n﹣2（n≥2）．利用“累加求和”即可得出．
【解答】解：∵an+1=an+n﹣1，∴an﹣an﹣1=n﹣2（n≥2）．
∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2
=（n﹣2）+（n﹣3）+…+1+1
=+1
=+1．
∴a5=+1=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了递推式、数列的其通项公式、“累加求和”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．如果x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是　　．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．
由，解得，
即C（，）．
此时z的最大值为z=2×+=
故答案为：

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=　1　．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．
【解答】解：由题意可知过焦点的倾斜角为30°直线方程为y=（x﹣），
联立可得：⇒x2﹣7px+=0，
∴x1+x2=7p，x1x2=，
∴|x1﹣x2|===4p，
∴|AB|=|x1﹣x2|=×4p=8，
解得：p=1，
故答案为：1
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．

16．已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为　（，+∞）　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得ex﹣m=﹣有解，再由指数函数的单调性，即可得到m的范围．
【解答】解：函数f（x）=ex﹣mx+1的导数为f′（x）=ex﹣m，
若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，
即有ex﹣m=﹣有解，
即m=ex+，
由ex＞0，则m＞．
则实数m的范围为（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于基础题．

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．已知函数f（x）=2cos（2x+）+sin2x
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）设△ABC的三内角分别是A、B、C．若f（）=﹣，且AC=1，BC=3，求sinA的值．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．
【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．
【分析】（1）由两角和的余弦公式化简解析式可得f（x）=﹣cos2x，从而可求最小正周期和最大值；
（2）由已知先求得cosC的值，即可求sinC的值，由余弦定理可得：AB的值，从而由正弦定理得sinA的值．
【解答】解：（1）∵f（x）=2cos（2x+）+sin2x=﹣cos2x﹣sin2x+sin2x=﹣cos2x
∴函数f（x）的最小正周期T==π，函数f（x）的最大值是1；
（2）∵f（x）=﹣cos2x，
∴f（）=﹣cosC=﹣，可得：cosC=．
∴sinC==
∴由余弦定理可得：AB2=BC2+AC2﹣2×AC×BC×cosC=9+1﹣2×=7，既得AB=
∴由正弦定理：可得：sinA===．
【点评】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦定理、余弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题．

18．某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．
（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．
【专题】概率与统计．
【分析】（I）从5个小区中任选两个小区，列出所有可能的结果，然后找出选出的两个小区恰有一个为非低碳小区的基本事件，根据古典概型的概率公式解之即可；
（II）根据图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”，由图2可求出三个月后的低碳族的比例，从而可判定三个月后小区A是否达到了“低碳小区”标准．
【解答】解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为A，B，C，两个“低碳小区”为m，n，…
用（x，y）表示选定的两个小区，x，y∈{A，B，C，m，n}，
则从5个小区中任选两个小区，所有可能的结果有10个，它们是（A，B），（A，C），（A，m），（A，n），（B，C），（B，m），（B，n），（C，m），（C，n），（m，n）．…
用D表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D中的结果有6个，它们
是：（A，m），（A，n），（B，m），（B，n），（C，m），（C，n）．…
故所求概率为．…
（II）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”．…
由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.07+0.23+0.46=0.76＞0.75，…
所以三个月后小区A达到了“低碳小区”标准．…
【点评】本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，以及频率分布直方图，同时考查了识图能力，属于基础题．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=，M是棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面MQB；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣DQM的体积．

【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN，证明MN∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面MQB．
（Ⅱ）利用VP﹣DQM=VM﹣PDQ，求出M到平面PAD的距离为，然后求解体积．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN，∵BC∥AD且，即BC∥AQ，
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又因为点M是棱PC的中点，
∴MN∥PA，因为 MN⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，则PA∥平面MQB；…6 分
（Ⅱ）VP﹣DQM=VM﹣PDQ，证明出CD⊥平面PAD所以M到平面PAD的距离为…9 分
所以…

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力．

20．过椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知|AB|=|BC|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用|AB|=|BC|．设直线AB：y=2（x+a），A（﹣a，0），C（0，2a），求出带入椭圆方程，求解离心率．
（2）设椭圆方程为，联立y=kx+m，利用y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，△=0，通过PM⊥QM数量积为0，得到方程．求解可得椭圆方程．
【解答】解：（1）由|AB|=|BC|．知，设直线AB：y=2（x+a），A（﹣a，0），C（0，2a）
所以带入得，3a2=4b2，所以…
（2）由（1）设椭圆方程为，联立y=kx+m和椭圆得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12c2=0，由y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P知△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12c2）=0得m2=c2（3+4k2），（1）…，Q（4，4k+m），…
由PM⊥QM得
即m2=（3+4k2），（2）…
由（1），（2）得c2=1所以椭圆方程为 …
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．

21．已知关于x的函数
（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）a=﹣1时，求函数f（x）的导数，利用导数判定f（x）的单调性与极值并求出；
（Ⅱ）求F（x）的导数，利用导数判定F（x）的单调性与极值，从而确定使F（x）没有零点时a的取值．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数，
所以，x∈R；
当a=﹣1时，f（x），f′（x）的情况如下表：
x
（﹣∞，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以，当a=﹣1时，函数f（x）的极小值为f（2）=﹣e﹣2；
（Ⅱ）因为，
①当a＜0时，F（x），F′（x）的情况如下表：
x
（﹣∞，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
因为F（1）=1＞0，
若使函数F（x）没有零点，需且仅需，解得a＞﹣e2，
所以此时﹣e2＜a＜0；
②当a＞0时，F（x），F′（x）的情况如下表：
x
（﹣∞，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
↗
极大值
↘
因为F（2）＞F（1）＞0，且，
所以此时函数F（x）总存在零点．
综上所述，所求实数a的取值范围是{a|﹣e2＜a＜0}．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值情况，以及根据函数的单调性和极值讨论函数的零点问题，是易错题．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，选修4-1：几何证明选讲
22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．

【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】选作题；立体几何．
【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；
（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，
∵ACED是圆内接四边形，
∴∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，
又∵AB=2AC，∴BE=2DE，
∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，
∴BE=2AD；…
（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，
则BE=2t，BC=2t+6，
根据割线定理得BD•BA=BE•BC，
即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，
解得或﹣6（舍去），则．…

【点评】本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

选修4-4：坐标系与参数方程．
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．
（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；
（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．
【解答】解：（1）∵，
方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；
直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．
（2）联立方程组
，
消去y并整理，得
t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）
△=8a（4+a）＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．
由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，
即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．
由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有
（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．
∵a＞0，
∴a=1．
【点评】本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．

选修4-5；不等式选讲．
24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．
（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；
（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；
（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=，…
当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；
当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；
当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；
综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…
（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0
⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立
⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立
⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，
∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，
解①，a不存在；解②得：a≥4．
综上知，a≥4．…
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．

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