2022年广东省广州市中考数学模拟试卷(二).docx

2022年广东省广州市中考数学模拟试卷〔二〕
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，总分值30分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．〔3分〕〔2022•广州二模〕﹣1.2的绝对值是〔　　〕

A．
﹣1.2
B．
1.2
C．
2.1
D．
﹣2.1
2．〔3分〕〔2022•广州二模〕函数y=的自变量x的取值范围是〔　　〕

A．
x≥1
B．
x＞0
C．
x＞1
D．
x≠1
3．〔3分〕〔2022•广州二模〕∠α=25°，那么∠α的余角度数是〔　　〕

A．
75°
B．
55°
C．
155°
D．
65°
4．〔3分〕〔2022•广州二模〕不等式﹣x+2≥0的解集在数轴上表示正确的选项是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

5．〔3分〕〔2022•广州二模〕方程的解为〔　　〕

A．
x=1
B．
x=﹣2
C．
x=4
D．
x=3
6．〔3分〕〔2022•广州二模〕如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠OBC=50°，那么∠A等于〔　　〕

A．
80°
B．
60°
C．
50°
D．
40°
7．〔3分〕〔2022•广州二模〕对多项式3x2﹣27因式分解，结果正确的选项是〔　　〕

A．
3〔x2﹣9〕
B．
3〔x+3〕2
C．
〔3x+3〕〔3x﹣9〕
D．
3〔x+3〕〔x﹣3〕
8．〔3分〕〔2022•广州二模〕Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，那么sinB的值为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

9．〔3分〕〔2022•广州二模〕以下事件中，为不确定事件的是〔　　〕

A．
如果a、b都是有理数，那么ab=ba
B．
没有水分，种子不发芽

C．
掷一枚普通正方体骰子，点数为2
D．
动物总是会死的
10．〔3分〕〔2022•广州二模〕Rt△ABC的斜边AB=5cm，直角边AC=4cm，BC=3cm，以直线AB为轴旋转一周，得到的几何体的外表积是〔　　〕

A．
22.56πcm2
B．
16.8πcm2
C．
9.6πcm2
D．
7.2πcm2
二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，总分值18分〕
11．〔3分〕〔2022•广州二模〕七边形的内角和为　_________　度，外角和为　_________　度．
12．〔3分〕〔2022•广州二模〕化简：•=　_________　．
13．〔3分〕〔2022•广州二模〕△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，那么=　_________　．
14．〔3分〕〔2022•广州二模〕一个不透明的袋子里装有3个红球，4个黄球，5个白球，每个球除颜色外其它都相同，搅匀后随机从中摸出一个球是黄球的概率是　_________　．
15．〔3分〕〔2022•广州二模〕将点A〔0，6〕绕着原点顺时针方向旋转60°得到点B，那么点B的坐标为　_________　〔结果用根号表示〕．
16．〔3分〕〔2022•广州二模〕如图，正方形ABCD、DEFG、FHIJ在直线MN的同一侧，点B、C、E、H、I均在直线MN上，正方形ABCD、FHIJ的面积分别为13、23，那么正方形DEFG的面积为　_________　．
三、解答题〔本大题共9小题，总分值102分．〕
17．〔9分〕〔2022•广州二模〕解方程：=+1
18．〔9分〕〔2022•广州二模〕如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC上的点，且AE=CF．求证：四边形EBFD为平行四边形．
19．〔10分〕〔2022•广州二模〕为提高同学们体育运动水平，增强体质，九年毕业年级规定：每周三下午人人参与1小时体育运动．工程有篮球、排球、羽毛球和乒乓球．下面是九年〔2〕班某次参加活动的两个不完整统计图〔图1和图2〕．根据图中提供的信息，请解答以下问题：
〔1〕九年〔2〕班共有多少名学生
〔2〕计算参加乒乓球运动的人数，并在条形统计图〔图1〕中，将表示“乒乓球〞的局部补充完整；
〔3〕求出扇形统计图中“羽毛球〞扇形圆心角的度数．
20．〔10分〕〔2022•杭州〕某航运公司年初用120万元购进一艘运输船，在投入运输后，每一年运输的总收入为72万元，需要支出的各种费用为40万元．
〔1〕问该船运输第几年开始盈利〔盈利即指总收入减去购船费及所有支出费用之差为正值〕
〔2〕假设该船运输满15年要报废，报废时旧船卖出可收回5万元，求这15年的年平均盈利额〔精确到0.1万元〕．
21．〔12分〕〔2022•白云区模拟〕如图，⊙O是△ABC外接圆，直径AB=12，∠A=2∠B．
〔1〕∠A=　_________　°，∠B=　_________　°；
〔2〕求BC的长〔结果用根号表示〕；
〔3〕连接OC并延长到点P，使CP=OC，连接PA，画出图形，求证：PA是⊙O的切线．
22．〔12分〕〔2022•广州二模〕如图，在平面直角坐标系中，直线l是第二、四象限的角平分线．
〔1〕实验与探究：由图观察易知A〔0，2〕关于直线l的对称点A′的坐标为〔﹣2，0〕，请在图中分别标明B〔﹣1，5〕、C〔3，2〕关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；
〔2〕归纳与发现：结合图观察以上三组点的坐标，你会发现坐标平面内任一点P〔a，b〕关于第二、四象限的角平分线l的对称点P'的坐标为　_________　〔不必证明〕；
〔3〕运用与拓展：两点D〔﹣1，﹣3〕、E〔2，﹣4〕，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出点Q的坐标．
23．〔12分〕〔2022•广州二模〕如图，是反比例函数的图象，且k是一元二次方程x2+x﹣6=0的一个根．
〔1〕求方程x2+x﹣6=0的两个根；
〔2〕确定k的值；
〔3〕假设m为非负实数，对于函数，当x1=m+1及x2=m+2时，说明y1与y2的大小关系．
24．〔14分〕〔2022•广州二模〕如图，直线AM∥BN，AE、BE分别平分∠MAB、∠NBA．
〔1〕∠AEB的度数为　_________　；
〔2〕请证明〔1〕中你所给出的结论；
〔3〕过点E任作一线段CD，使CD交直线AM于点D，交直线BN于点C，线段AD、BC、AB三者间有何等量关系试证明你的结论．
25．〔14分〕〔2022•黄冈〕经过A、B、C三点的二次函数图象如下列图．
〔1〕求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
〔2〕假设点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时〔点N不与点B、点M重合〕，设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t取值范围；
〔3〕将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．
2022年广东省广州市中考数学模拟试卷〔二〕
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，总分值30分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．〔3分〕〔2022•广州二模〕﹣1.2的绝对值是〔　　〕

A．
﹣1.2
B．
1.2
C．
2.1
D．
﹣2.1
考点：
绝对值．1405379
分析：
计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
解答：
解：|﹣1.2|=1.2
应选B．
点评：
此题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．〔3分〕〔2022•广州二模〕函数y=的自变量x的取值范围是〔　　〕

A．
x≥1
B．
x＞0
C．
x＞1
D．
x≠1
考点：
函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．1405379
分析：
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
解答：
解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
应选A．
点评：
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．〔3分〕〔2022•广州二模〕∠α=25°，那么∠α的余角度数是〔　　〕

A．
75°
B．
55°
C．
155°
D．
65°
考点：
余角和补角．1405379
分析：
两角成余角，那么两角和为90°，据此可解此题．
解答：
解：设所求角为∠A，那么∠A=90°﹣∠α=65°，应选D．
点评：
此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°
4．〔3分〕〔2022•广州二模〕不等式﹣x+2≥0的解集在数轴上表示正确的选项是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
在数轴上表示不等式的解集．1405379
专题：
计算题．
分析：
根据不等式的性质：先移项，再系数化1即可解得不等式的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
解答：
解：移项得，
﹣x≥﹣2，
不等式两边都乘﹣1，改变不等号的方向得，
x≤2；
在数轴上表示应包括2和它左边的局部；
故此题选B．
点评：
当未知数的系数是负数时，两边同乘未知数的系数需改变不等号的方向，剩下的该怎么乘还怎么乘．注意数轴上包括的端点实心点．
5．〔3分〕〔2022•广州二模〕方程的解为〔　　〕

A．
x=1
B．
x=﹣2
C．
x=4
D．
x=3
考点：
解一元一次方程．1405379
专题：
计算题．
分析：
各分母的最小公倍数是6，不容易出过失的方法是方程两边都乘最简公分母6，化为不带分母的整式方程．
解答：
解：方程两边都乘6，
得2〔x﹣1〕﹣〔x+2〕=3×〔4﹣x〕，
解得x=4．
应选C．
点评：
此题属于求整式方程的范畴．只需按解整式方程的一般过程，去分母，去括号，移向，合并同类项，系数化为1求解即可．需注意第二项的分子需同时改变符号．
6．〔3分〕〔2022•广州二模〕如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠OBC=50°，那么∠A等于〔　　〕

A．
80°
B．
60°
C．
50°
D．
40°
考点：
圆周角定理．1405379
分析：
根据等边对等角求得∠OBC的度数，再利用三角形内角和定理求得∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角是该弧所对的圆心角的一半从而求得∠A的度数．
解答：
解：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=50°，
∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=80°，
∴∠A=∠BOC=40°．
应选D．
点评：
此题利用了圆周角定理的三角形内角和定理求解．
7．〔3分〕〔2022•广州二模〕对多项式3x2﹣27因式分解，结果正确的选项是〔　　〕

A．
3〔x2﹣9〕
B．
3〔x+3〕2
C．
〔3x+3〕〔3x﹣9〕
D．
3〔x+3〕〔x﹣3〕
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．1405379
分析：
先提取公因式3后，再利用平方差公式分解因式．
解答：
解：3x2﹣27，
=3〔x2﹣9〕，
=3〔x+3〕〔x﹣3〕．
应选D．
点评：
此题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后还可以利用平方差公式继续分解，分解因式一定要分解到不能再分解为止．
8．〔3分〕〔2022•广州二模〕Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，那么sinB的值为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
锐角三角函数的定义．1405379
分析：
直接根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答即可．
解答：
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，
∴sinB==．
应选A．
点评：
此题比较简单，考查的是锐角三角函数的定义．
9．〔3分〕〔2022•广州二模〕以下事件中，为不确定事件的是〔　　〕

A．
如果a、b都是有理数，那么ab=ba
B．
没有水分，种子不发芽

C．
掷一枚普通正方体骰子，点数为2
D．
动物总是会死的
考点：
随机事件．1405379
分析：
不确定事件，即随机事件是可能发生，也可能不发生的事件．
解答：
解：A、B、D选项都一定发生，是必然事件．
C、为不确定事件．
应选C．
点评：
此题主要考查不确定事件的概念：是可能发生，也可能不发生的事件．
10．〔3分〕〔2022•广州二模〕Rt△ABC的斜边AB=5cm，直角边AC=4cm，BC=3cm，以直线AB为轴旋转一周，得到的几何体的外表积是〔　　〕

A．
22.56πcm2
B．
16.8πcm2
C．
9.6πcm2
D．
7.2πcm2
考点：
圆锥的计算．1405379
专题：
压轴题．
分析：
易得此几何体为两个圆锥的组合体，那么外表积为两个圆锥的侧面积，需求得圆锥的底面半径，进而利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2即可求得所求的外表积．
解答：
解：以直线AB为轴旋转一周，得到由两个圆锥组成的几何体，
直角三角形的斜边上的高CD==cm，
那么以为半径的圆的周长=πcm，
几何体的外表积=π××〔4+3〕=π=16.8πcm2，
应选B．

点评：
此题利用了圆的周长公式和扇形的面积公式求解．
二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，总分值18分〕
11．〔3分〕〔2022•广州二模〕七边形的内角和为　900　度，外角和为　360　度．
考点：
多边形内角与外角．1405379
分析：
n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．任何多边形的外角和是360度．
解答：
解：〔7﹣2〕•180=900度，外角和为360度．
点评：
多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．外角和是一个定植，不随着边数的变化而变化．
12．〔3分〕〔2022•广州二模〕化简：•=　4a2．
考点：
二次根式的乘除法．1405379
分析：
根据二次根式的乘法法那么计算，结果要化简．
解答：
解：原式===4a2．
点评：
此题主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的乘法法那么=〔a≥0，b≥0〕．
13．〔3分〕〔2022•广州二模〕△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，那么=．
考点：
三角形中位线定理．1405379
分析：
根据三角形的中位线定理求解．
解答：
解：由D、E分别是AB、AC边的中点，可得DE为△ABC的中位线，所以=．
故答案为．
点评：
此题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
14．〔3分〕〔2022•广州二模〕一个不透明的袋子里装有3个红球，4个黄球，5个白球，每个球除颜色外其它都相同，搅匀后随机从中摸出一个球是黄球的概率是．
考点：
概率公式．1405379
分析：
让黄球的个数除以球的总数即为摸到黄球的概率．
解答：
解：袋子里装有3个红球，4个黄球，5个白球共12个球，从中摸出一个球是黄球的概率是=．
点评：
此题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=．
15．〔3分〕〔2022•广州二模〕将点A〔0，6〕绕着原点顺时针方向旋转60°得到点B，那么点B的坐标为　〔3，3〕　〔结果用根号表示〕．
考点：
坐标与图形变化-旋转．1405379
分析：
根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和性质，即旋转后所得图形与原图形全等．
解答：
解：做BM⊥x轴于点M，∴OB=OA=6，
∵旋转角是60°，∴∠BOM=30°，
∴OM=BO×cos30°=3，
BM=BO×sin30°=3，
那么点B的坐标为〔3，3〕．
点评：
注意旋转前后线段的长度不变，构造直角三角形利用三角函数求解即可．
16．〔3分〕〔2022•广州二模〕如图，正方形ABCD、DEFG、FHIJ在直线MN的同一侧，点B、C、E、H、I均在直线MN上，正方形ABCD、FHIJ的面积分别为13、23，那么正方形DEFG的面积为　36　．
考点：
勾股定理；直角三角形全等的判定．1405379
专题：
压轴题．
分析：
根据利用全等三角形的判定可得到△DCE≌△EHF，从而得到正方形DEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积．
解答：
解：∵∠DEC+∠FEH=90°，∠EFH+∠FEH=90°
∴∠DEC=∠EFH
∵∠DCE=∠EHF，DE=EF
∴△DCE≌△EHF
∴CE=HF
∴正方形DEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积=13+23=36．
点评：
此题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
三、解答题〔本大题共9小题，总分值102分．〕
17．〔9分〕〔2022•广州二模〕解方程：=+1
考点：
解分式方程．1405379
专题：
计算题．
分析：
此题的最简公分母是〔x﹣2〕，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
解答：
解：方程两边同乘〔x﹣2〕，
得x=4﹣x+x﹣2，
解得x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=2﹣2=0，
∴x=2是增根，
∴原方程无解．
点评：
〔1〕解分式方程的根本思想是“转化思想〞，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
〔2〕解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
18．〔9分〕〔2022•广州二模〕如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC上的点，且AE=CF．求证：四边形EBFD为平行四边形．
考点：
矩形的性质；平行四边形的判定．1405379
专题：
证明题．
分析：
由题意易得ED∥BF，AD=BC而AE=CF，那么可得到ED=BF，即可求证．
解答：
〔本小题总分值9分〕
证明：∵ABCD为矩形，
∴AD∥BC且AD=BC．〔2分〕
又∵AE=CF，
∴AD﹣AE=BC﹣CF，〔4分〕
即ED=BF，〔6分〕
由ED∥BF且ED=BF，〔8分〕
得四边形EBFD为平行四边形．〔9分〕
〔一组对边平行且相等的四边形为平行四边形〕．
点评：
此题综合应用了平行四边形的性质和判定，要根据条件合理、灵活地选择方法．
19．〔10分〕〔2022•广州二模〕为提高同学们体育运动水平，增强体质，九年毕业年级规定：每周三下午人人参与1小时体育运动．工程有篮球、排球、羽毛球和乒乓球．下面是九年〔2〕班某次参加活动的两个不完整统计图〔图1和图2〕．根据图中提供的信息，请解答以下问题：
〔1〕九年〔2〕班共有多少名学生
〔2〕计算参加乒乓球运动的人数，并在条形统计图〔图1〕中，将表示“乒乓球〞的局部补充完整；
〔3〕求出扇形统计图中“羽毛球〞扇形圆心角的度数．
考点：
条形统计图；扇形统计图．1405379
专题：
图表型．
分析：
由图可知：〔1〕九年〔2〕班共有学生人数=加球的人数÷参加篮球所占的百分比，即可求得总人数；
〔2〕参加乒乓球运动的人数=总人数×参加乒乓球运动所占的百分比，即可算得；
〔3〕扇形统计图中“羽毛球〞扇形圆心角的度数=360°×参加羽毛球的所占的百分比．
解答：
解：〔1〕20÷40%=50〔人〕，〔或12÷24%=50〕
答：九年〔2〕班共有50名学生；

〔2〕参加乒乓球运动有50×20%=10人；如图，

〔3〕参加羽毛球运动的百分比为：8÷50=16%，
所以“羽毛球〞扇形圆心角的度数为360°×16%=57.6°．
点评：
此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
20．〔10分〕〔2022•杭州〕某航运公司年初用120万元购进一艘运输船，在投入运输后，每一年运输的总收入为72万元，需要支出的各种费用为40万元．
〔1〕问该船运输第几年开始盈利〔盈利即指总收入减去购船费及所有支出费用之差为正值〕
〔2〕假设该船运输满15年要报废，报废时旧船卖出可收回5万元，求这15年的年平均盈利额〔精确到0.1万元〕．
考点：
一元一次不等式的应用．1405379
专题：
应用题．
分析：
〔1〕利用总收入﹣总支出﹣本钱＞0，列不等式即可求解；
〔2〕所求关系式为：〔总收入﹣总支出﹣本钱+5〕÷15，据此列式即可求解．
解答：
解：〔1〕设运输第x年开始盈利，那么有72x﹣40x﹣120＞0
即32x＞120
∴x＞3.75
∵x为正整数
∴x最小值应取4
∴该船第4年开始盈利；
〔2〕根据题意得
[〔72﹣40〕×15+5﹣120]÷15
=24.333
≈24.3
即运输15年的年平均盈利额约为24.3万元．
点评：
解决此题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，以及所求量的等量关系．
21．〔12分〕〔2022•广州二模〕如图，⊙O是△ABC外接圆，直径AB=12，∠A=2∠B．
〔1〕∠A=　60　°，∠B=　30　°；
〔2〕求BC的长〔结果用根号表示〕；
〔3〕连接OC并延长到点P，使CP=OC，连接PA，画出图形，求证：PA是⊙O的切线．
考点：
切线的判定；解直角三角形．1405379
专题：
综合题．
分析：
〔1〕不难看出∠C应该是直角，∠A=2∠B，那么这两个角的度数就容易求得了；
〔2〕直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有三角的度数，BC的值就能求出了；
〔3〕此题实际上是证明PA⊥AB，由图我们不难得出△AOC是等边三角形，那么就容易证得△ABC≌△OPA，这样就能求出PA⊥AB了．
解答：
解：〔1〕∵∠C=90°，∠A=2∠B，
∴∠A=60°，∠B=30°；

〔2〕∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=30°，
∴AC=AB=65．
∴BC==6；

〔3〕如图，∵OP=2OC=AB，
∵∠BAC=60°，OA=OC，
∴△OAC为等边三角形．
∴∠AOC=60°．
在△ABC和△OPA中，
∵AB=OP，∠BAC=∠POA=60°，AC=OA，
∴△ABC≌△OPA．
∴∠OAP=∠ACB=90°．
∴PA是⊙O的切线．

点评：
此题主要考查了解直角三角形的应用和切线的判定等知识点．要证某线是圆的切线，此线过圆上某点，连接圆心与这点〔即为半径〕，再证垂直即可．
22．〔12分〕〔2022•广州二模〕如图，在平面直角坐标系中，直线l是第二、四象限的角平分线．
〔1〕实验与探究：由图观察易知A〔0，2〕关于直线l的对称点A′的坐标为〔﹣2，0〕，请在图中分别标明B〔﹣1，5〕、C〔3，2〕关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；
〔2〕归纳与发现：结合图观察以上三组点的坐标，你会发现坐标平面内任一点P〔a，b〕关于第二、四象限的角平分线l的对称点P'的坐标为　〔﹣b，﹣a〕　〔不必证明〕；
〔3〕运用与拓展：两点D〔﹣1，﹣3〕、E〔2，﹣4〕，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出点Q的坐标．
考点：
轴对称-最短路线问题；坐标与图形变化-对称．1405379
专题：
综合题．
分析：
〔1〕分别作B〔﹣1，5〕、C〔3，2〕关于直线l的对称点B'，C'，B'〔﹣5，1〕、C'〔﹣2，﹣3〕；
〔2〕观察以上三组点的坐标，你会发现坐标平面内任一点P〔a，b〕关于第二、四象限的角平分线l的对称点P'的坐标为〔﹣b，﹣a〕；
〔3〕点D关于直线l的对称点D'的坐标为〔3，1〕，可求出点E、点D'的直线解析式为y=5x﹣14．点Q是直线y=5x﹣14与直线l：y=﹣x的交点，解方程组：即可得到点Q的坐标．
解答：
〔本小题总分值12分〕
解：〔1〕如图：〔2分〕
B'〔﹣5，1〕、C'〔﹣2，﹣3〕；〔4分〕

〔2〕P〔﹣b，﹣a〕；〔6分〕

〔3〕点D关于直线l的对称，
点D'的坐标为〔3，1〕，[注：求出点E的对称点的坐标参照给分]
设过点E、点D'的直线解析式为：y=kx+b，〔8分〕
分别把点E、D'的坐标代入其中，
得关于k、b的二元一次方程组，
解得k=5，b=﹣14，〔9分〕
∴y=5x﹣14，
点Q是直线y=5x﹣14与直线l：y=﹣x的交点，〔10分〕
解方程组：得，〔11分〕
∴点Q的坐标为〔，﹣〕．〔12分〕

点评：
此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．
23．〔12分〕〔2022•广州二模〕如图，是反比例函数的图象，且k是一元二次方程x2+x﹣6=0的一个根．
〔1〕求方程x2+x﹣6=0的两个根；
〔2〕确定k的值；
〔3〕假设m为非负实数，对于函数，当x1=m+1及x2=m+2时，说明y1与y2的大小关系．
考点：
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质．1405379
专题：
函数思想；方程思想．
分析：
〔1〕把方程x2+x﹣6=0利用求根公式，求出方程的根；
〔2〕根据函数图象的位置，确定k的值；
〔3〕利用反比例函数的性质，比较出y1和y2的大小关系．
解答：
解：〔1〕x2+x﹣6=0
a=1，b=1，c=﹣6
△=b2﹣4ac=1+24=25＞0
∴x=
∴x1=2，x2=﹣3．

〔2〕∵图象在第二、第四象限
根据反比例函数图象的性质，知k＜0
∴k=﹣3；

〔3〕∵m≥0
∴0＜m+1＜m+2
即0＜x1＜x2
又∵k=﹣3＜0，∴在x＞0时
函数y随自变量x的增大而增大
∴y1＜y2．
点评：
能够熟练运用因式分解法解方程；能够熟练运用待定系数法求得函数解析式；能够根据反比例函数的变化规律，比较函数值的大小．
24．〔14分〕〔2022•广州二模〕如图，直线AM∥BN，AE、BE分别平分∠MAB、∠NBA．
〔1〕∠AEB的度数为　90°　；
〔2〕请证明〔1〕中你所给出的结论；
〔3〕过点E任作一线段CD，使CD交直线AM于点D，交直线BN于点C，线段AD、BC、AB三者间有何等量关系试证明你的结论．
考点：
全等三角形的判定与性质；平行线的性质．1405379
专题：
证明题；探究型；分类讨论．
分析：
〔1〕应先判断出和∠E组成的三角形的其余两个角的度数之和，再根据三角形内角和定理即可求出∠AEB的度数；
〔2〕根据平行得到同旁内角的关系，以及角平分线的定义推出和∠E组成的三角形的其余两个角的度数之和；
〔3〕应从点D和点C的不同位置入手，分情况进行讨论．
解答：
〔1〕解：90°；

〔2〕证明：如图，
∵AE、BE分别平分∠NBA、∠MAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∠1+∠1+∠3+∠3=180°，
∴2〔∠1+∠3〕=180°，
∠1+∠3=90°，
从而∠AEB=180°﹣〔∠1+∠3〕=90°；

〔3〕解：①当点D在射线AM的反向延长线上、点C在射线BN上时〔如图〕，
线段AD、BC、AB三者间的关系为：
BC=AB+AD．
证法一：延长AE交BN于点F．
∵AM∥BN，
∴∠4=∠AFB，
又∠3=∠4，
∴∠AFB=∠3，
∴BF=BA〔等角对等边〕，
即△BAF为等腰三角形．
由〔1〕∠AEB=90°知BE⊥AF，
即BE为等腰△BAF底边AF上的高，
由“三线合一〞定理，得AE=EF．
由AM∥BN得∠ADE=∠FCE，
又∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=FC，
BC=BF+FC及BF=AB、FC=AD
得BC=AB+AD
〔特殊情况：点D与A点重合时，C点即是上图的F点，
AD=0，BC=BF，由上述证明过程知，仍有BC=AB+AD〕；
②当点D在射线AM上，点C在射线BN上时〔如图〕，
线段AD、BC、AB三者间的关系为：AB=AD+BC．
证明如下：
由①的证明可知，假设延长AE交BN于点F，那么AE=EF，
即E为AF的中点，易证△AED≌△FEC，
∴AD=CF，
由①知，△ABF为等腰三角形，AB=BF=BC+CF，
即AB=AD+BC；

③当点D在射线AM上，点C在射线BN的反向延长线上时〔如图〕，
线段AD、BC、AB三者间的关系为：
AD=AB+BC．
证明如下：延长BE交AM于点F，
∵AM∥BN，
∴∠2=∠AFB，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠AFB，
∴AF=AB．
∵∠AEB=90°，即AE为等腰△ABF底边BF上的高，
∴BE=FE〔“三线合一〞定理〕，易证△EBC≌△EFD，
∴BC=FD．
从而AD=AF+FD=AB+BC．
〔特殊情况：当点C与点B重合时，由上述证明过程知，上式也成立〕

点评：
此题考查了三角形全等的判定及性质；此题需注意多种情况的分析，利用全等来得到各线段之间的等量关系．
25．〔14分〕〔2022•黄冈〕经过A、B、C三点的二次函数图象如下列图．
〔1〕求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
〔2〕假设点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时〔点N不与点B、点M重合〕，设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t取值范围；
〔3〕将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．
考点：
二次函数综合题．1405379
专题：
压轴题．
分析：
〔1〕根据图象可以知道A，B，C三点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．进而求出顶点M的坐标．
〔2〕根据待定系数法可以求出直线MB的解析式，设NQ的长为t，即N点的纵坐标是t，把x=t代入解析式就可以求出横坐标，四边形NQAC的面积s=S△AOC+S梯形OQNC，可以用t分别表示出△AOC和梯形OQNC的面积，因而就得到s与t之间的函数关系式．
〔3〕可以补成的矩形有两种情况，即图1，的情况，易得未知顶点坐标是点D〔﹣1，2〕；
以点A、点C为矩形的两个顶点，第三个顶点时，落在矩形这一边AC的对边上，如以下列图2，易证Rt△HOC∽Rt△COA，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出OH的长，根据直线平行的关系利用待定系数法就可以求出直线AF与直线AC的解析式，两函数的交点，就是满足条件的点．
解答：
解：〔1〕设这个二次函数的解析式为
y=a〔x+1〕〔x﹣2〕，〔1分〕
把点C〔0，2〕坐标代入其中，求得a=﹣1，
y=﹣〔x+1〕〔x﹣2〕=﹣x2+x+2=﹣〔x﹣〕2+
∴这个二次函数的解析式为：
y=﹣x2+x+2〔3分〕
顶点M的坐标为M〔，〕；〔4分〕
[也可设为一般式y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入解出]

〔2〕设线段BM所在直线的解析式为：y=kx+b，〔5分〕
分别把B〔2，0〕、M〔，〕坐标代入其中，
解得k=﹣，b=3，
∴y=﹣x+3．
假设N的坐标为〔x，t〕，那么得t=﹣x+3，
解得x=2﹣t，〔6分〕
由图形可知：s=S△AOC+S梯形OQNC〔7分〕
=×1×2+〔2+t〕〔2﹣t〕
化简整理得s=﹣t2+t+3，〔8分〕
其中0＜t＜；〔9分〕

〔3〕以点O、点A〔或点O、点C〕为矩形的两个顶点，
第三个顶点落在矩形这一边OA〔或边OC〕的对边上，
如以下列图1，此时易得未知顶点坐标是点D〔﹣1，2〕；〔10分〕
以点A、点C为矩形的两个顶点，第三个顶点〔即点O〕
落在矩形这一边AC的对边上，如以下列图2，此时
未知顶点分别为点E、点F．〔11分〕
它们的坐标求解如下：
∵ACEF为矩形，
∴∠ACE为直角，延长CE交x轴于点H，
那么易得Rt△HOC∽Rt△COA，
∴，求得OH=4，
∴点H的坐标H〔4，0〕．可求得线段CH所在直线的
解析式为：y=﹣x+2；〔12分〕
线段AC所在直线的
解析式为：y=2x+2，线段EF所在直线过原点且与
线段AC所在直线平行，从而可得线段EF所在直线的
解析式为：y=2x；〔13分〕
线段AF所在直线与直线CH平行，
设直线AF的解析式为：y=﹣x+m，
把A〔﹣1，0〕坐标代入，求得m=﹣，
∴直线AF为：y=﹣x﹣．
∵点E是直线CH与直线EF的交点；
点F是直线AF与直线EF的交点，
∴得下面两个方程组：
和，
解得E〔，〕，F〔﹣，﹣〕．〔14分〕
∴矩形的未知顶点为〔﹣1，2〕或〔，〕、〔﹣，﹣〕．

点评：
此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及直线平行时解析式之间的关系．