2024年广东省广州市中考数学模拟试卷（含解析版）.pdf

第 1 页（共 31 页）2024 年广东省广州市中考数学试卷2024 年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）如图，数轴上两点 A，B 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数为（）A6 B6C0D无法确定2（3 分）如图，将正方形 ABCD 中的阴影三角形绕点 A 顺时针旋转 90后，得到的图形为（）ABCD3（3 分）某 6 人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁）：12，13，14，15，15，15，这组数据中的众数，平均数分别为（）A12，14 B12，15 C15，14 D15，134（3 分）下列运算正确的是（）A=B2=C=a D|a|=a（a0）5（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+8x+q=0 有两个不相等的实数根，则 q 的取值范围是（）Aq16Bq16Cq4Dq46（3 分）如图，O 是ABC 的内切圆，则点 O 是ABC 的（）A三条边的垂直平分线的交点 B三条角平分线的交点C三条中线的交点 D三条高的交点7（3 分）计算（a2b）3的结果是（）第 2 页（共 31 页）Aa5b5Ba4b5Cab5Da5b68（3 分）如图，E，F 分别是ABCD 的边 AD、BC 上的点，EF=6，DEF=60，将四边形 EFCD 沿 EF 翻折，得到 EFCD，ED交 BC 于点 G，则GEF 的周长为（）A6B12C18D249（3 分）如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，ABCD，垂足为 E，连接 CO，AD，BAD=20，则下列说法中正确的是（）AAD=2OB BCE=EOCOCE=40 DBOC=2BAD10（3 分）a0，函数 y=与 y=ax2+a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）ABCD二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，A=110，则B=12（3 分）分解因式：xy29x=第 3 页（共 31 页）13（3 分）当 x=时，二次函数 y=x22x+6 有最小值 14 （3 分）如 图，Rt ABC 中，C=90 ，BC=15，tanA=，则AB=15（3 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线 l=16（3 分）如图，平面直角坐标系中 O 是原点，ABCD 的顶点 A，C 的坐标分别是（8，0），（3，4），点 D，E 把线段 OB 三等分，延长 CD、CE 分别交 OA、AB 于点 F，G，连接 FG 则下列结论：F 是 OA 的中点；OFD 与BEG 相似；四边形 DEGF 的面积是；OD=其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分）三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分）17（9 分）解方程组第 4 页（共 31 页）18（9 分）如图，点 E，F 在 AB 上，AD=BC，A=B，AE=BF求证：ADFBCE19（10 分）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班 50 名学生进行调查，按做义工的时间 t（单位：小时），将学生分成五类：A 类（0t2），B 类（2t4），C 类（4t6），D 类（6t8），E 类（t8）绘制成尚不完整的条形统计图如图根据以上信息，解答下列问题：（1）E 类学生有 人，补全条形统计图；（2）D 类学生人数占被调查总人数的%；（3）从该班做义工时间在 0t4 的学生中任选 2 人，求这 2 人做义工时间都在 2t4 中的概率第 5 页（共 31 页）20（10 分）如图，在 RtABC 中，B=90，A=30，AC=2（1）利用尺规作线段 AC 的垂直平分线 DE，垂足为 E，交 AB 于点 D，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE 的周长为 a，先化简 T=（a+1）2a（a1），再求 T 的值21（12 分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路 60 公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路 20 天（1）求乙队筑路的总公里数；（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为 5：8，求乙队平均每天筑路多少公里第 6 页（共 31 页）22（12 分）将直线 y=3x+1 向下平移 1 个单位长度，得到直线 y=3x+m，若反比例函数 y=的图象与直线 y=3x+m 相交于点 A，且点 A 的纵坐标是 3（1）求 m 和 k 的值；（2）结合图象求不等式 3x+m的解集23（12 分）已知抛物线 y1=x2+mx+n，直线 y2=kx+b，y1的对称轴与 y2交于点 A（1，5），点 A 与 y1的顶点 B 的距离是 4（1）求 y1的解析式；（2）若 y2随着 x 的增大而增大，且 y1与 y2都经过 x 轴上的同一点，求 y2的解析式第 7 页（共 31 页）24（14 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，COD 关于 CD 的对称图形为CED（1）求证：四边形 OCED 是菱形；（2）连接 AE，若 AB=6cm，BC=cm求 sinEAD 的值；若点 P 为线段 AE 上一动点（不与点 A 重合），连接 OP，一动点 Q 从点 O 出发，以 1cm/s 的速度沿线段 OP 匀速运动到点 P，再以 1.5cm/s 的速度沿线段 PA 匀速运动到点 A，到达点 A 后停止运动，当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要的时间最短时，求 AP 的长和点 Q 走完全程所需的时间第 8 页（共 31 页）25（14 分）如图，AB 是O 的直径，=，AB=2，连接 AC（1）求证：CAB=45；（2）若直线 l 为O 的切线，C 是切点，在直线 l 上取一点 D，使 BD=AB，BD 所在的直线与 AC 所在的直线相交于点 E，连接 AD试探究 AE 与 AD 之间的是数量关系，并证明你的结论；是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由第 9 页（共 31 页）2024 年广东省广州市中考数学试卷2024 年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）如图，数轴上两点 A，B 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数为（）A6 B6C0D无法确定【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出 B 表示的数即可【解答】解：数轴上两点 A，B 表示的数互为相反数，点 A 表示的数为6，点 B 表示的数为 6，故选 B【点评】此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键2（3 分）如图，将正方形 ABCD 中的阴影三角形绕点 A 顺时针旋转 90后，得到的图形为（）ABCD【分析】根据旋转的性质即可得到结论【解答】解：由旋转的性质得，将正方形 ABCD 中的阴影三角形绕点 A 顺时针旋转 90后，得到的图形为 A，故选 A【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键第 10 页（共 31 页）3（3 分）某 6 人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁）：12，13，14，15，15，15，这组数据中的众数，平均数分别为（）A12，14 B12，15 C15，14 D15，13【分析】观察这组数据发现 15 出现的次数最多，进而得到这组数据的众数为15，将六个数据相加求出之和，再除以 6 即可求出这组数据的平均数【解答】解：这组数据中，12 出现了 1 次，13 出现了 1 次，14 出现了 1 次，15 出现了 3 次，这组数据的众数为 15，这组数据分别为：12、13、14、15、15、15这组数据的平均数=14故选 C【点评】此题考查了众数及算术平均数，众数即为这组数据中出现次数最多的数，算术平均数即为所有数之和与数的个数的商4（3 分）下列运算正确的是（）A=B2=C=aD|a|=a（a0）【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案【解答】解：A、无法化简，故此选项错误；B、2=，故此选项错误；C、=|a|，故此选项错误；D、|a|=a（a0），正确故选：D【点评】此题主要考查了分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质，正确掌握相关性质是解题关键第 11 页（共 31 页）5（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+8x+q=0 有两个不相等的实数根，则 q 的取值范围是（）Aq16Bq16Cq4Dq4【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=644q0，解之即可得出 q 的取值范围【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+8x+q=0 有两个不相等的实数根，=824q=644q0，解得：q16故选 A【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键6（3 分）如图，O 是ABC 的内切圆，则点 O 是ABC 的（）A三条边的垂直平分线的交点 B三条角平分线的交点C三条中线的交点 D三条高的交点【分析】根据三角形的内切圆得出点 O 到三边的距离相等，即可得出结论【解答】解：O 是ABC 的内切圆，则点 O 到三边的距离相等，点 O 是ABC 的三条角平分线的交点；故选：B【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心；熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质是关键7（3 分）计算（a2b）3的结果是（）Aa5b5Ba4b5Cab5Da5b6【分析】根据积的乘方等于乘方的积，分式的乘法，可得答案第 12 页（共 31 页）【解答】解：原式=a6b3=a5b5，故选：A【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键8（3 分）如图，E，F 分别是ABCD 的边 AD、BC 上的点，EF=6，DEF=60，将四边形 EFCD 沿 EF 翻折，得到 EFCD，ED交 BC 于点 G，则GEF 的周长为（）A6B12C18D24【分析】根据平行四边形的性质得到 ADBC，由平行线的性质得到AEG=EGF，根据折叠的性质得到GEF=DEF=60，推出EGF 是等边三角形，于是得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AEG=EGF，将四边形 EFCD 沿 EF 翻折，得到 EFCD，GEF=DEF=60，AEG=60，EGF=60，EGF 是等边三角形，EF=6，GEF 的周长=18，故选 C【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键9（3 分）如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，ABCD，垂足为 E，连接 CO，第 13 页（共 31 页）AD，BAD=20，则下列说法中正确的是（）AAD=2OB BCE=EOCOCE=40 DBOC=2BAD【分析】先根据垂径定理得到=，CE=DE，再利用圆周角定理得到BOC=40，则根据互余可计算出OCE 的度数，于是可对各选项进行判断【解答】解：ABCD，=，CE=DE，BOC=2BAD=40，OCE=9040=50故选 D【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角定理10（3 分）a0，函数 y=与 y=ax2+a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）ABCD【分析】分 a0 和 a0 两种情况分类讨论即可确定正确的选项【解答】解：当 a0 时，函数 y=的图象位于一、三象限，y=ax2+a 的开口向下，交 y 轴的正半轴，没有符合的选项，当 a0 时，函数 y=的图象位于二、四象限，y=ax2+a 的开口向上，交 y 轴的负半轴，D 选项符合；第 14 页（共 31 页）故选 D【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，A=110，则B=70【分析】根据平行线的性质即可得到结论【解答】解：ADBC，A+B=180，又A=110，B=70，故答案为：70【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即可得到结论12（3 分）分解因式：xy29x=x（y+3）（y3）【分析】应先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：xy29x=x（y29）=x（y3）（y+3）故答案为：x（y3）（y+3）【点评】本题考查对多项式的分解能力，一般先考虑提公因式，再考虑利用公式分解因式，要注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止13（3 分）当 x=1时，二次函数 y=x22x+6 有最小值5【分析】把 x22x+6 化成（x1）2+5，即可求出二次函数 y=x22x+6 的最小值是多少【解答】解：y=x22x+6=（x1）2+5，当 x=1 时，二次函数 y=x22x+6 有最小值 5故答案为：1、5第 15 页（共 31 页）【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值14（3 分）如图，RtABC 中，C=90，BC=15，tanA=，则 AB=17【分析】根据A 的正切求出 AC，再利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：RtABC 中，C=90，tanA=，BC=15，=，解得 AC=8，根据勾股定理得，AB=17故答案为：17【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，主要利用了锐角的正切等于对边比邻边15（3 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线 l=3【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长第 16 页（共 31 页）【解答】解：圆锥的底面周长=2=2cm，则：=2，解得 l=3故答案为：3【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：16（3 分）如图，平面直角坐标系中 O 是原点，ABCD 的顶点 A，C 的坐标分别是（8，0），（3，4），点 D，E 把线段 OB 三等分，延长 CD、CE 分别交 OA、AB 于点 F，G，连接 FG则下列结论：F 是 OA 的中点；OFD 与BEG 相似；四边形 DEGF 的面积是；OD=其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）【分析】证明CDBFDO，列比例式得：，再由 D、E 为 OB 的三等分点，则=，可得结论正确；如图 2，延长 BC 交 y 轴于 H 证明 OAAB，则AOBEBG，所以OFDBEG不成立；如图 3，利用面积差求得：SCFG=SOABCSOFCSOBGSAFG=12，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；根据勾股定理进行计算 OB 的长，根据三等分线段 OB 可得结论【解答】解：四边形 OABC 是平行四边形，BCOA，BC=OA，CDBFDO，第 17 页（共 31 页）D、E 为 OB 的三等分点，=，BC=2OF，OA=2OF，F 是 OA 的中点；所以结论正确；如图 2，延长 BC 交 y 轴于 H，由 C（3，4）知：OH=4，CH=3，OC=5，AB=OC=5，A（8，0），OA=8，OAAB，AOBEBG，OFDBEG 不成立，所以结论不正确；由知：F 为 OA 的中点，同理得；G 是 AB 的中点，FG 是OAB 的中位线，FG=，FGOB，OB=3DE，FG=DE，=，过 C 作 CQAB 于 Q，SOABC=OAOH=ABCQ，48=5CQ，第 18 页（共 31 页）CQ=，SOCF=OFOH=44=8，SCGB=BGCQ=8，SAFG=42=4，SCFG=SOABCSOFCSOBGSAFG=84884=12，DEFG，CDECFG，=，=，S四边形 DEGF=；所以结论正确；在 RtOHB 中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，OB=，OD=，所以结论不正确；故本题结论正确的有：；故答案为：第 19 页（共 31 页）【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、图形与坐标特点、勾股定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角形面积的计算等知识，难度适中，熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质是关键三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分）三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分）17（9 分）解方程组【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解：，3得：x=4，把 x=4 代入得：y=1，则方程组的解为【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法18（9 分）如图，点 E，F 在 AB 上，AD=BC，A=B，AE=BF求证：ADFBCE第 20 页（共 31 页）【分析】根据全等三角形的判定即可求证：ADFBCE【解答】解：AE=BF，AE+EF=BF+EF，AF=BE，在ADF 与BCE 中，ADFBCE（SAS）【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是求证 AF=BE，本题属于基础题型19（10 分）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班 50 名学生进行调查，按做义工的时间 t（单位：小时），将学生分成五类：A 类（0t2），B 类（2t4），C 类（4t6），D 类（6t8），E 类（t8）绘制成尚不完整的条形统计图如图根据以上信息，解答下列问题：（1）E 类学生有5人，补全条形统计图；（2）D 类学生人数占被调查总人数的36%；（3）从该班做义工时间在 0t4 的学生中任选 2 人，求这 2 人做义工时间都在 2t4 中的概率第 21 页（共 31 页）【分析】（1）根据总人数等于各类别人数之和可得 E 类别学生数；（2）用 D 类别学生数除以总人数即可得；（3）列举所有等可能结果，根据概率公式求解可得【解答】解：（1）E 类学生有 50（2+3+22+18）=5（人），补全图形如下：故答案为：5；（2）D 类学生人数占被调查总人数的100%=36%，故答案为：36；（3）记 0t2 内的两人为甲、乙，2t4 内的 3 人记为 A、B、C，从中任选两人有：甲乙、甲 A、甲 B、甲 C、乙 A、乙 B、乙 C、AB、AC、BC 这 10种可能结果，其中 2 人做义工时间都在 2t4 中的有 AB、AC、BC 这 3 种结果，这 2 人做义工时间都在 2t4 中的概率为【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查条形统计图20（10 分）如图，在 RtABC 中，B=90，A=30，AC=2（1）利用尺规作线段 AC 的垂直平分线 DE，垂足为 E，交 AB 于点 D，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE 的周长为 a，先化简 T=（a+1）2a（a1），再求 T 的值第 22 页（共 31 页）【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段 AC 的垂直平分线 DE；（2）根据 RtADE 中，A=30，AE=，即可求得 a 的值，最后化简 T=（a+1）2a（a1），再求 T 的值【解答】解：（1）如图所示，DE 即为所求；（2）由题可得，AE=AC=，A=30，RtADE 中，DE=AD，设 DE=x，则 AD=2x，RtADE 中，x2+（）2=（2x）2，解得 x=1，ADE 的周长 a=1+2+=3+，T=（a+1）2a（a1）=3a+1，当 a=3+时，T=3（3+）+1=10+3【点评】本题主要考查了基本作图以及含 30 度角的直角三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半21（12 分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路 60 公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路 20 天（1）求乙队筑路的总公里数；（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为 5：8，求乙队平均每天筑路多少第 23 页（共 31 页）公里【分析】（1）根据甲队筑路 60 公里以及乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，即可求出乙队筑路的总公里数；（2）设乙队平均每天筑路 8x 公里，则甲队平均每天筑路 5x 公里，根据甲队比乙队多筑路 20 天，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：（1）60=80（公里）答：乙队筑路的总公里数为 80 公里（2）设乙队平均每天筑路 8x 公里，则甲队平均每天筑路 5x 公里，根据题意得：=20，解得：x=0.1，经检验，x=0.1 是原方程的解，8x=0.8答：乙队平均每天筑路 0.8 公里【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）找准等量关系，列出分式方程22（12 分）将直线 y=3x+1 向下平移 1 个单位长度，得到直线 y=3x+m，若反比例函数 y=的图象与直线 y=3x+m 相交于点 A，且点 A 的纵坐标是 3（1）求 m 和 k 的值；（2）结合图象求不等式 3x+m的解集【分析】（1）根据平移的原则得出 m 的值，并计算点 A 的坐标，因为 A 在反比例函数的图象上，代入可以求 k 的值；（2）画出两函数图象，根据交点坐标写出解集【解答】解：（1）由平移得：y=3x+11=3x，m=0，当 y=3 时，3x=3，x=1，A（1，3），第 24 页（共 31 页）k=13=3；（2）画出直线 y=3x 和反比例函数 y=的图象：如图所示，由图象得：不等式 3x+m的解集为：1x0 或 x1【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题和一次函数的图象的平移问题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，并熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”的法则23（12 分）已知抛物线 y1=x2+mx+n，直线 y2=kx+b，y1的对称轴与 y2交于点 A（1，5），点 A 与 y1的顶点 B 的距离是 4（1）求 y1的解析式；（2）若 y2随着 x 的增大而增大，且 y1与 y2都经过 x 轴上的同一点，求 y2的解析式【分析】（1）根据题意求得顶点 B 的坐标，然后根据顶点公式即可求得 m、n，从而求得 y1的解析式；（2）分两种情况讨论：当 y1的解析式为 y1=x22x 时，抛物线与 x 轴的交点是抛物线的顶点（1，0），不合题意；当 y1=x22x+8 时，解x22x+8=0 求得抛物线与 x 轴的交点坐标，然后根据 A的坐标和 y2随着 x 的增大而增大，求得 y1与 y2都经过 x 轴上的同一点（4，0），然后根据待定系数法求得即可第 25 页（共 31 页）【解答】解：（1）抛物线 y1=x2+mx+n，直线 y2=kx+b，y1的对称轴与 y2交于点 A（1，5），点 A 与 y1的顶点 B 的距离是 4B（1，1）或（1，9），=1，=1 或 9，解得 m=2，n=0 或 8，y1的解析式为 y1=x22x 或 y1=x22x+8；（2）当 y1的解析式为 y1=x22x 时，抛物线与 x 轴交点是（0.0）和（2.0），y1的对称轴与 y2交于点 A（1，5），y1与 y2都经过 x 轴上的同一点（2，0），把（1，5），（2，0）代入得，解得，y2=5x+10当 y1=x22x+8 时，解x22x+8=0 得 x=4 或 2，y2随着 x 的增大而增大，且过点 A（1，5），y1与 y2都经过 x 轴上的同一点（4，0），把（1，5），（4，0）代入得，解得；y2=x+【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键24（14 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，COD 关于 CD 的对称图形为CED（1）求证：四边形 OCED 是菱形；（2）连接 AE，若 AB=6cm，BC=cm第 26 页（共 31 页）求 sinEAD 的值；若点 P 为线段 AE 上一动点（不与点 A 重合），连接 OP，一动点 Q 从点 O 出发，以 1cm/s 的速度沿线段 OP 匀速运动到点 P，再以 1.5cm/s 的速度沿线段 PA 匀速运动到点 A，到达点 A 后停止运动，当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要的时间最短时，求 AP 的长和点 Q 走完全程所需的时间【分析】（1）只要证明四边相等即可证明；（2）设 AE 交 CD 于 K由 DEAC，DE=OC=OA，推出=，由 AB=CD=6，可得 DK=2，CK=4，在 RtADK 中，AK=3，根据 sinDAE=计算即可解决问题；作PFAD于F 易知PF=APsinDAE=AP，因为点Q的运动时间t=+=OP+AP=OP+PF，所以当 O、P、F 共线时，OP+PF 的值最小，此时 OF 是ACD 的中位线，由此即可解决问题【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形OD=OB=OC=OA，EDC 和ODC 关于 CD 对称，DE=DO，CE=CO，DE=EC=CO=OD，四边形 CODE 是菱形（2）设 AE 交 CD 于 K四边形 CODE 是菱形，DEAC，DE=OC=OA，=第 27 页（共 31 页）AB=CD=6，DK=2，CK=4，在 RtADK 中，AK=3，sinDAE=，作 PFAD 于 F易知 PF=APsinDAE=AP，点 Q 的运动时间 t=+=OP+AP=OP+PF，当 O、P、F 共线时，OP+PF 的值最小，此时 OF 是ACD 的中位线，OF=CD=3AF=AD=，PF=DK=1，AP=，当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要的时间最短时，AP 的长为，点 Q 走完全程所需的时间为 3s【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，所以中考压轴题25（14 分）如图，AB 是O 的直径，=，AB=2，连接 AC（1）求证：CAB=45；（2）若直线 l 为O 的切线，C 是切点，在直线 l 上取一点 D，使 BD=AB，BD 所在的直线与 AC 所在的直线相交于点 E，连接 AD试探究 AE 与 AD 之间的是数量关系，并证明你的结论；第 28 页（共 31 页）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【分析】（1）由 AB 是O 的直径知ACB=90，由=即 AC=BC 可得答案；（2）分ABD 为锐角和钝角两种情况，作 BFl 于点 F，证四边形 OBFC 是矩形可得 AB=2OC=2BF，结合 BD=AB 知BDF=30，再求出BDA 和DEA 度数可得；同理 BF=BD，即可知BDC=30，分别求出BEC、ADB 即可得；（3）分 D 在 C 左侧和点 D 在点 C 右侧两种情况，作 EIAB，证CADBAE 得=，即 AE=CD，结合 EI=BE、EI=AE，可得 BE=2EI=2AE=AE=CD=2CD，从而得出结论【解答】解：（1）如图 1，连接 BC，AB 是O 的直径，ACB=90，AC=BC，CAB=CBA=45；（2）当ABD 为锐角时，如图 2 所示，作 BFl 于点 F，第 29 页（共 31 页）由（1）知ACB 是等腰直角三角形，OA=OB=OC，BOC 为等腰直角三角形，l 是O 的切线，OCl，又 BFl，四边形 OBFC 是矩形，AB=2OC=2BF，BD=AB，BD=2BF，BDF=30，DBA=30，BDA=BAD=75，CBE=CBADBA=4530=15，DEA=CEB=90CBE=75，ADE=AED，AD=AE；当ABD 为钝角时，如图 3 所示，同理可得 BF=BD，即可知BDC=30，第 30 页（共 31 页）OCAB、OC直线 l，AB直线 l，ABD=150，ABE=30，BEC=90（ABE+ABC）=90（30+45）=15，AB=DB，ADB=ABE=15，BEC=ADE，AE=AD；（3）如图 2，当 D 在 C 左侧时，由（2）知 CDAB，ACD=BAE，DAC=EBA=30，CADBAE，=，AE=CD，作 EIAB 于点 I，CAB=45、ABD=30，BE=2EI=2AE=AE=CD=2CD，=2；如图 3，当点 D 在点 C 右侧时，过点 E 作 EIAB 于 I，由（2）知ADC=BEA=15，ABCD，EAB=ACD，ACDBAE，=，CD，BA=BD，BAD=BDA=15，IBE=30，第 31 页（共 31 页）BE=2EI=2AE=AE=CD=2CD，=2【点评】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆心角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键