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2022年天津市中考数学试卷
一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，共36分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．〔3分〕计算〔﹣3〕+5的结果等于〔　　〕
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
2．〔3分〕cos60°的值等于〔　　〕
A． B．1 C． D．
3．〔3分〕在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
4．〔3分〕据 天津日报 报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止2022年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为〔　　〕
A．0.1263×108 B．1.263×107 C．12.63×106 D．126.3×105
5．〔3分〕如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是〔　　〕
A． B． C． D．
6．〔3分〕估计的值在〔　　〕
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．〔3分〕计算的结果为〔　　〕
A．1 B．a C．a+1 D．
8．〔3分〕方程组的解是〔　　〕
A． B． C． D．
9．〔3分〕如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．以下结论一定正确的选项是〔　　〕
A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC
10．〔3分〕假设点A〔﹣1，y1〕，B〔1，y2〕，C〔3，y3〕在反比例函数y=﹣的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是〔　　〕
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
11．〔3分〕如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，那么以下线段的长度等于BP+EP最小值的是〔　　〕
A．BC B．CE C．AD D．AC
12．〔3分〕抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B〔点A在点B左侧〕，顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，那么平移后的抛物线解析式为〔　　〕
A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1
二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕
13．〔3分〕计算x7÷x4的结果等于．
14．〔3分〕计算的结果等于．
15．〔3分〕不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差异．从袋子中随机取出1个球，那么它是红球的概率是．
16．〔3分〕假设正比例函数y=kx〔k是常数，k≠0〕的图象经过第二、四象限，那么k的值可以是〔写出一个即可〕．
17．〔3分〕如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，那么PG的长为．
18．〔3分〕如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
〔1〕AB的长等于；
〔2〕在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如下列图的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的〔不要求证明〕．
三、解答题〔本大题共7小题，共66分。解容许写出文字说明、演算步骤或推理过程〕
19．〔8分〕解不等式组
请结合题意填空，完成此题的解答．
〔1〕解不等式①，得；
〔2〕解不等式②，得；
〔3〕把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
〔4〕原不等式组的解集为．
20．〔8分〕某跳水队为了解运发动的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运发动的年龄〔单位：岁〕，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答以下问题：
〔1〕本次接受调查的跳水运发动人数为，图①中m的值为；
〔2〕求统计的这组跳水运发动年龄数据的平均数、众数和中位数．
21．〔10分〕AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
〔1〕如图①，求∠T和∠CDB的大小；
〔2〕如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．
22．〔10分〕如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长〔结果取整数〕．
参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．
23．〔10分〕用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过局部每页收费0.09元．
设在同一家复印店一次复印文件的页数为x〔x为非负整数〕．
〔1〕根据题意，填写下表：
一次复印页数〔页〕
5
10
20
30
…
甲复印店收费〔元〕
0.5

2

…
乙复印店收费〔元〕
0.6

2.4

…
〔2〕设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
〔3〕当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少请说明理由．
24．〔10分〕将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B〔0，1〕，点O〔0，0〕．P是边AB上的一点〔点P不与点A，B重合〕，沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
〔1〕如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；
〔2〕如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
〔3〕当∠BPA'=30°时，求点P的坐标〔直接写出结果即可〕．
25．〔10分〕抛物线y=x2+bx﹣3〔b是常数〕经过点A〔﹣1，0〕．
〔1〕求该抛物线的解析式和顶点坐标；
〔2〕P〔m，t〕为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
2022年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，共36分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．〔3分〕〔2022•天津〕计算〔﹣3〕+5的结果等于〔　　〕
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【分析】依据有理数的加法法那么计算即可．
【解答】解：〔﹣3〕+5=5﹣3=2．
应选：A．
【点评】此题主要考查的是有理数的加法法那么，掌握有理数的加法法那么是解题的关键．
2．〔3分〕〔2022•天津〕cos60°的值等于〔　　〕
A． B．1 C． D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：cos60°=，
应选：D．
【点评】此题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
3．〔3分〕〔2022•天津〕在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
B、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
C、可以看作是轴对称图形，故本选项正确；
D、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误．
应选C．
【点评】此题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合．
4．〔3分〕〔2022•天津〕据 天津日报 报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止2022年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为〔　　〕
A．0.1263×108 B．1.263×107 C．12.63×106 D．126.3×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于12630000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．
【解答】解：12630000=1.263×107．
应选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．〔3分〕〔2022•天津〕如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．
应选D．
【点评】此题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
6．〔3分〕〔2022•天津〕估计的值在〔　　〕
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】利用二次根式的性质，得出＜＜，进而得出答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴6＜＜7，
∴的值在整数6和7之间．
应选C．
【点评】此题主要考查了估计无理数的大小，得出＜＜是解题关键．
7．〔3分〕〔2022•天津〕计算的结果为〔　　〕
A．1 B．a C．a+1 D．
【分析】根据分式的运算法那么即可求出答案．
【解答】解：原式==1，
应选〔A〕
【点评】此题考查分式的运算法那么，解题的关键是熟练运用分式的运算法那么，此题属于根底题型．
8．〔3分〕〔2022•天津〕方程组的解是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】利用代入法求解即可．
【解答】解：，
①代入②得，3x+2x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得，y=2×3=6，
所以，方程组的解是．
应选D．
【点评】此题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
9．〔3分〕〔2022•天津〕如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．以下结论一定正确的选项是〔　　〕
A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC
【分析】由旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，推出△ABD是等边三角形，得到∠DAB=∠CBE，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，
应选C．
【点评】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．〔3分〕〔2022•天津〕假设点A〔﹣1，y1〕，B〔1，y2〕，C〔3，y3〕在反比例函数y=﹣的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是〔　　〕
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵k=﹣3＜0，
∴在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜0，
∵y1＞0，
∴y2＜y3＜y1，
应选：B．
【点评】此题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
11．〔3分〕〔2022•天津〕如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，那么以下线段的长度等于BP+EP最小值的是〔　　〕
A．BC B．CE C．AD D．AC
【分析】如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
应选B．
【点评】此题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．〔3分〕〔2022•天津〕抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B〔点A在点B左侧〕，顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，那么平移后的抛物线解析式为〔　　〕
A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1
【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．
【解答】解：当y=0，那么0=x2﹣4x+3，
〔x﹣1〕〔x﹣3〕=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴A〔1，0〕，B〔3，0〕，
y=x2﹣4x+3
=〔x﹣2〕2﹣1，
∴M点坐标为：〔2，﹣1〕，
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
∴平移后的解析式为：y=〔x+1〕2=x2+2x+1．
应选：A．
【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．
二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕
13．〔3分〕〔2022•天津〕计算x7÷x4的结果等于　x3．
【分析】根据同底数幂的除法即可求出答案．
【解答】解：原式=x3，
故答案为：x3
【点评】此题考查同底数幂的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法那么，此题属于根底题型．
14．〔3分〕〔2022•天津〕计算的结果等于　9　．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：
=16﹣7
=9．
故答案为：9．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．
15．〔3分〕〔2022•天津〕不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差异．从袋子中随机取出1个球，那么它是红球的概率是．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵共6个球，有5个红球，
∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为．
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=．
16．〔3分〕〔2022•天津〕假设正比例函数y=kx〔k是常数，k≠0〕的图象经过第二、四象限，那么k的值可以是　﹣2　〔写出一个即可〕．
【分析】据正比例函数的性质；当k＜0时，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，可确定k的取值范围，再根据k的范围选出答案即可．
【解答】解：∵假设正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
∴k的值可以是﹣2，
故答案为：﹣2〔答案不唯一〕．
【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是熟练掌握：在直线y=kx中，当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、四象限．
17．〔3分〕〔2022•天津〕如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，那么PG的长为．
【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，那么PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
那么PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH=OA=〔3﹣1〕=1．
∵直角△AOE中，∠OAE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，
同理△PHE中，HE=PH=1．
∴HG=HE+EG=1+1=2．
∴在Rt△PHG中，PG===．
故答案是：．
【点评】此题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
18．〔3分〕〔2022•天津〕如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
〔1〕AB的长等于；
〔2〕在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如下列图的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的〔不要求证明〕　如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N．连接DN，EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求．　．
【分析】〔1〕利用勾股定理即可解决问题；
〔2〕如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．
【解答】解：〔1〕AB==．
故答案为．
〔2〕如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．
理由：平行四边形ABME的面积：平行四边形CDNB的面积：平行四边形DEMG的面积=1：2：3，
△PAB的面积=平行四边形ABME的面积，△PBC的面积=平行四边形CDNB的面积，△PAC的面积=△PNG的面积=△DGN的面积=平行四边形DEMG的面积，
∴S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3．
【点评】此题考查作图﹣应用与设计、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，求出△PAB，△PBC，△PAC的面积，属于中考常考题型．
三、解答题〔本大题共7小题，共66分。解容许写出文字说明、演算步骤或推理过程〕
19．〔8分〕〔2022•天津〕解不等式组
请结合题意填空，完成此题的解答．
〔1〕解不等式①，得　x≥1　；
〔2〕解不等式②，得　x≤3　；
〔3〕把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
〔4〕原不等式组的解集为　1≤x≤3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，由公共局部即可确定不等式组的解集．
【解答】解：〔1〕解不等式①，得：x≥1；
〔2〕解不等式②，得：x≤3；
〔3〕把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
〔4〕原不等式组的解集为1≤x≤3，
故答案为：x≥1，x≤3，1≤x≤3．
【点评】此题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是根底，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键．
20．〔8分〕〔2022•天津〕某跳水队为了解运发动的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运发动的年龄〔单位：岁〕，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答以下问题：
〔1〕本次接受调查的跳水运发动人数为　40人　，图①中m的值为　30　；
〔2〕求统计的这组跳水运发动年龄数据的平均数、众数和中位数．
【分析】〔1〕频数÷所占百分比=样本容量，m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30；
〔2〕根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：〔1〕4÷10%=40〔人〕，
m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30；
故答案为40人，30．
〔2〕平均数=〔13×4+14×10+15×11+16×12+17×3〕÷40=15，
16出现12次，次数最多，众数为16；
按大小顺序排列，中间两个数都为15，中位数为15．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．
21．〔10分〕〔2022•天津〕AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
〔1〕如图①，求∠T和∠CDB的大小；
〔2〕如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．
【分析】〔1〕根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB=90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；
〔2〕如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE=∠BEC=65°，利用同圆的半径相等知：OA=OD，同理∠ODA=∠OAD=65°，由此可得结论．
【解答】解：〔1〕如图①，∵连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB=90°，
∵∠ABT=50°，
∴∠T=90°﹣∠ABT=40°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣∠ABC=40°，
∴∠CDB=∠CAB=40°；
〔2〕如图②，连接AD，
在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°，
∴∠BCE=∠BEC=65°，
∴∠BAD=∠BCD=65°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=65°，
∵∠ADC=∠ABC=50°，
∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=65°﹣50°=15°．
【点评】此题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．
22．〔10分〕〔2022•天津〕如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长〔结果取整数〕．
参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．
【分析】如图作PC⊥AB于C．分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题．
【解答】解：如图作PC⊥AB于C．
由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，
在Rt△APC中，sinA=，cosA=，
∴PC=PA•sinA=120•sin64°，
AC=PA•cosA=120•cos64°，
在Rt△PCB中，∵∠B=45°，
∴PC=BC，
∴PB==≈153．
∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64°
≈120×0.90+120×0.44
≈161．
答：BP的长为153海里和BA的长为161海里．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，表达了数学应用于实际生活的思想．
23．〔10分〕〔2022•天津〕用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过局部每页收费0.09元．
设在同一家复印店一次复印文件的页数为x〔x为非负整数〕．
〔1〕根据题意，填写下表：
一次复印页数〔页〕
5
10
20
30
…
甲复印店收费〔元〕
0.5
　1　
2
　3　
…
乙复印店收费〔元〕
0.6
　1.2　
2.4
　3.3　
…
〔2〕设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
〔3〕当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少请说明理由．
【分析】〔1〕根据收费标准，列代数式求得即可；
〔2〕根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y1=0.1x〔x≥0〕；当一次复印页数不超过20时，根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y2=0.12x，当一次复印页数超过20时，根据题意求得y2=0.09x+0.6；
〔3〕设y=y1﹣y2，得到y与x的函数关系，根据y与x的函数关系式即可作出判断．
【解答】解：〔1〕当x=10时，甲复印店收费为：0，1×10=1；乙复印店收费为：0.12×10=1.2；
当x=30时，甲复印店收费为：0，1×30=3；乙复印店收费为：0.12×20+0.09×10=3.3；
故答案为1，3；1.2，3.3；
〔2〕y1=0.1x〔x≥0〕；
y2=；
〔3〕顾客在乙复印店复印花费少；
当x＞70时，y1=0.1x，y2=0.09x+0.6，
∴y1﹣y2=0.1x﹣〔0.09x+0.6〕=0.01x﹣0.6，
设y=0.01x﹣0.6，
由0.01＞0，那么y随x的增大而增大，
当x=70时，y=0.1
∴x＞70时，y＞0.1，
∴y1＞y2，
∴当x＞70时，顾客在乙复印店复印花费少．
【点评】此题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，列出函数关系式是解题的关键．
24．〔10分〕〔2022•天津〕将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B〔0，1〕，点O〔0，0〕．P是边AB上的一点〔点P不与点A，B重合〕，沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
〔1〕如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；
〔2〕如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
〔3〕当∠BPA'=30°时，求点P的坐标〔直接写出结果即可〕．
【分析】〔1〕由点A和B的坐标得出OA=，OB=1，由折叠的性质得：OA'=OA=，由勾股定理求出A'B=，即可得出点A'的坐标为〔，1〕；
〔2〕由勾股定理求出AB==2，证出OB=OP=BP，得出△BOP是等边三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，证出OB∥PA'，得出四边形OPA'B是平行四边形，即可得出A'B=OP=1；
〔3〕分两种情况：①点A'在y轴上，由SSS证明△OPA'≌△OPA，得出∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，得出点P在∠AOB的平分线上，由待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+1，即可得出点P的坐标；
②由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四边形OAPA'是菱形，得出PA=OA=，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性质求出PM=PA=，把y=代入y=﹣x+1求出点P的纵坐标即可．
【解答】解：〔1〕∵点，点B〔0，1〕，
∴OA=，OB=1，
由折叠的性质得：OA'=OA=，
∵A'B⊥OB，
∴∠A'BO=90°，
在Rt△A'OB中，A'B==，
∴点A'的坐标为〔，1〕；
〔2〕在Rt△ABO中，OA=，OB=1，
∴AB==2，
∵P是AB的中点，
∴AP=BP=1，OP=AB=1，
∴OB=OP=BP
∴△BOP是等边三角形，
∴∠BOP=∠BPO=60°，
∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°，
由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，
∴∠BOP+∠OPA'=180°，
∴OB∥PA'，
又∵OB=PA'=1，
∴四边形OPA'B是平行四边形，
∴A'B=OP=1；
〔3〕设P〔x，y〕，分两种情况：
①如图③所示：点A'在y轴上，
在△OPA'和△OPA中，，
∴△OPA'≌△OPA〔SSS〕，
∴∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，
∴点P在∠AOB的平分线上，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点，点B〔0，1〕代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，
∵P〔x，y〕，
∴x=﹣x+1，
解得：x=，
∴P〔，〕；
②如图④所示：
由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，
∵∠BPA'=30°，
∴∠A'=∠A=∠BPA'，
∴OA'∥AP，PA'∥OA，
∴四边形OAPA'是菱形，
∴PA=OA=，作PM⊥OA于M，如图④所示：
∵∠A=30°，
∴PM=PA=，
把y=代入y=﹣x+1得：=﹣x+1，
解得：x=，
∴P〔，〕；
综上所述：当∠BPA'=30°时，点P的坐标为〔，〕或〔，〕．
【点评】此题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、待定系数法求直线的解析式、菱形的判定与性质等知识；此题综合性强，难度较大．
25．〔10分〕〔2022•天津〕抛物线y=x2+bx﹣3〔b是常数〕经过点A〔﹣1，0〕．
〔1〕求该抛物线的解析式和顶点坐标；
〔2〕P〔m，t〕为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
【分析】〔1〕把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，那么可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；
〔2〕①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，那么可求得m的值．
【解答】解：
〔1〕∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A〔﹣1，0〕，
∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为〔1，﹣4〕；
〔2〕①由P〔m，t〕在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3，
∵点P′与P关于原点对称，
∴P′〔﹣m，﹣t〕，
∵点P′落在抛物线上，
∴﹣t=〔﹣m〕2﹣2〔﹣m〕﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3，
∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m=或m=﹣；
②由题意可知P′〔﹣m，﹣t〕在第二象限，
∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，
∵抛物线的顶点坐标为〔1，﹣4〕，
∴﹣4≤t＜0，
∵P在抛物线上，
∴t=m2﹣2m﹣3，
∴m2﹣2m=t+3，
∵A〔﹣1，0〕，P′〔﹣m，﹣t〕，
∴P′A2=〔﹣m+1〕2+〔﹣t〕2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=〔t+〕2+；
∴当t=﹣时，P′A2有最小值，
∴﹣=m2﹣2m﹣3，解得m=或m=，
∵m＞0，
∴m=不合题意，舍去，
∴m的值为．
【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．在〔1〕中注意待定系数法的应用，在〔2〕①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在〔2〕②中用t表示出P′A2是解题的关键．此题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．