2022年天津市高考数学试卷(文科).docx

2022年天津市高考数学试卷〔文科〕
一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5.00分〕设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，那么〔A∪B〕∩C=〔　　〕
A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}
2．〔5.00分〕设变量x，y满足约束条件，那么目标函数z=3x+5y的最大值为〔　　〕
A．6 B．19 C．21 D．45
3．〔5.00分〕设x∈R，那么“x3＞8〞是“|x|＞2〞的〔　　〕
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．〔5.00分〕阅读如图的程序框图，运行相应的程序，假设输入N的值为20，那么输出T的值为〔　　〕
A．1 B．2 C．3 D．4
5．〔5.00分〕a=log3，b=〔〕，c=log，那么a，b，c的大小关系为〔　　〕
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．〔5.00分〕将函数y=sin〔2x+〕的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数〔　　〕
A．在区间[]上单调递增 B．在区间[﹣，0]上单调递减
C．在区间[]上单调递增 D．在区间[，π]上单调递减
7．〔5.00分〕双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，那么双曲线的方程为〔　　〕
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
8．〔5.00分〕在如图的平面图形中，OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，那么的值为〔　　〕
A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0
二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.
9．〔5.00分〕i是虚数单位，复数=．
10．〔5.00分〕函数f〔x〕=exlnx，f′〔x〕为f〔x〕的导函数，那么f′〔1〕的值为．
11．〔5.00分〕如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，那么四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．
12．〔5.00分〕在平面直角坐标系中，经过三点〔0，0〕，〔1，1〕，〔2，0〕的圆的方程为．
13．〔5.00分〕a，b∈R，且a﹣3b+6=0，那么2a+的最小值为．
14．〔5.00分〕a∈R，函数f〔x〕=．假设对任意x∈[﹣3，+∞〕，f〔x〕≤|x|恒成立，那么a的取值范围是．
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．〔13.00分〕己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
〔Ⅰ〕应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
〔Ⅱ〕设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
〔i〕试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
〔ii〕设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级〞，求事件M发生的概率．
16．〔13.00分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．bsinA=acos〔B﹣〕．
〔Ⅰ〕求角B的大小；
〔Ⅱ〕设a=2，c=3，求b和sin〔2A﹣B〕的值．
17．〔13.00分〕如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°．
〔Ⅰ〕求证：AD⊥BC；
〔Ⅱ〕求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
〔Ⅲ〕求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
18．〔13.00分〕设{an}是等差数列，其前n项和为Sn〔n∈N*〕；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn〔n∈N*〕．b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
〔Ⅰ〕求Sn和Tn；
〔Ⅱ〕假设Sn+〔T1+T2+……+Tn〕=an+4bn，求正整数n的值．
19．〔14.00分〕设椭圆+=1〔a＞b＞0〕的右顶点为A，上顶点为B．椭圆的离心率为，|AB|=．
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕设直线l：y=kx〔k＜0〕与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．假设△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
20．〔14.00分〕设函数f〔x〕=〔x﹣t1〕〔x﹣t2〕〔x﹣t3〕，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．
〔Ⅰ〕假设t2=0，d=1，求曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程；
〔Ⅱ〕假设d=3，求f〔x〕的极值；
〔Ⅲ〕假设曲线y=f〔x〕与直线y=﹣〔x﹣t2〕﹣6有三个互异的公共点，求d的取值范围．
2022年天津市高考数学试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5.00分〕设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，那么〔A∪B〕∩C=〔　　〕
A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}
【分析】直接利用交集、并集运算得答案．
【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，
∴〔A∪B〕={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，
又C={x∈R|﹣1≤x＜2}，
∴〔A∪B〕∩C={﹣1，0，1}．
应选：C．
【点评】此题考查交集、并集及其运算，是根底的计算题．
2．〔5.00分〕设变量x，y满足约束条件，那么目标函数z=3x+5y的最大值为〔　　〕
A．6 B．19 C．21 D．45
【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值．
【解答】解：由变量x，y满足约束条件，
得如下列图的可行域，由解得A〔2，3〕．
当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，
z取得最大值．
将其代入得z的值为21，
应选：C．
【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法〞，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值．
3．〔5.00分〕设x∈R，那么“x3＞8〞是“|x|＞2〞的〔　　〕
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．
【解答】解：由x3＞8，得x＞2，那么|x|＞2，
反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，
那么x3＜﹣8或x3＞8．
即“x3＞8〞是“|x|＞2〞的充分不必要条件．
应选：A．
【点评】此题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是根底题．
4．〔5.00分〕阅读如图的程序框图，运行相应的程序，假设输入N的值为20，那么输出T的值为〔　　〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．
【解答】解：假设输入N=20，
那么i=2，T=0，==10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，
循环，=不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立，
循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，
输出T=2，
应选：B．
【点评】此题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决此题的关键．
5．〔5.00分〕a=log3，b=〔〕，c=log，那么a，b，c的大小关系为〔　　〕
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较．
【解答】解：∵a=log3，c=log=log35，且5，
∴，
那么b=〔〕＜，
∴c＞a＞b．
应选：D．
【点评】此题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是根底题．
6．〔5.00分〕将函数y=sin〔2x+〕的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数〔　　〕
A．在区间[]上单调递增 B．在区间[﹣，0]上单调递减
C．在区间[]上单调递增 D．在区间[，π]上单调递减
【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin〔ωx+φ〕型函数的单调性得答案．
【解答】解：将函数y=sin〔2x+〕的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2〔x﹣〕+]=sin2x．
当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；
当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；
当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；
当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．
应选：A．
【点评】此题考查y=Asin〔ωx+φ〕型函数的图象变换及其性质，是中档题．
7．〔5.00分〕双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，那么双曲线的方程为〔　　〕
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】画出图形，利用条件，列出方程组转化求解即可．
【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线
y=，即bx﹣ay=0，F〔c，0〕，
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，
F是AB的中点，EF==3，
EF==b，
所以b=3，双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的离心率为2，可得，
可得：，解得a=．
那么双曲线的方程为：﹣=1．
应选：A．
【点评】此题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
8．〔5.00分〕在如图的平面图形中，OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，那么的值为〔　　〕
A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0
【分析】解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN，
再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算•即可．
解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，
由题意求得的值．
【解答】解：解法Ⅰ，由题意，=2，=2，
∴==2，∴BC∥MN，且BC=3MN，
又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×〔﹣〕=7，
∴MN=；
∴BC=3，
∴cos∠OMN===，
∴•=||×||cos〔π﹣∠OMN〕=3×1×〔﹣〕=﹣6．
解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，
由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，
知=﹣=3﹣3=﹣3+3，
∴=〔﹣3+3〕•
=﹣3+3•
=﹣3×12+3×2×1×cos120°
=﹣6．
应选：C．
【点评】此题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.
9．〔5.00分〕i是虚数单位，复数=　4﹣i　．
【分析】根据复数的运算法那么计算即可．
【解答】解：====4﹣i，
故答案为：4﹣i
【点评】此题考查了复数的运算法那么，属于根底题．
10．〔5.00分〕函数f〔x〕=exlnx，f′〔x〕为f〔x〕的导函数，那么f′〔1〕的值为　e　．
【分析】根据导数的运算法那么求出函数f〔x〕的导函数，再计算f′〔1〕的值．
【解答】解：函数f〔x〕=exlnx，
那么f′〔x〕=exlnx+•ex；
∴f′〔1〕=e•ln1+1•e=e．
故答案为：e．
【点评】此题考查了导数的运算公式与应用问题，是根底题．
11．〔5.00分〕如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，那么四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．
【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．
【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，
四棱锥的高：A1C1=．
那么四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：=．
故答案为：．
【点评】此题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．
12．〔5.00分〕在平面直角坐标系中，经过三点〔0，0〕，〔1，1〕，〔2，0〕的圆的方程为　〔x﹣1〕2+y2=1〔或x2+y2﹣2x=0〕　．
【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程．
【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程．
【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如下列图，
结合图形知经过三点〔0，0〕，〔1，1〕，〔2，0〕的圆，
其圆心为〔1，0〕，半径为1，
那么该圆的方程为〔x﹣1〕2+y2=1．
【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
那么，
解得D=﹣2，E=F=0；
∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0．
故答案为：〔x﹣1〕2+y2=1〔或x2+y2﹣2x=0〕．
【点评】此题考查了圆的方程与应用问题，是根底题．
13．〔5.00分〕a，b∈R，且a﹣3b+6=0，那么2a+的最小值为．
【分析】化简所求表达式，利用根本不等式转化求解即可．
【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，
可得：3b=a+6，
那么2a+==≥2=，
当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．
函数的最小值为：．
故答案为：．
【点评】此题考查函数的最值的求法，根本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．
14．〔5.00分〕a∈R，函数f〔x〕=．假设对任意x∈[﹣3，+∞〕，f〔x〕≤|x|恒成立，那么a的取值范围是[]．
【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．
【解答】解：当x≤0时，函数f〔x〕=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，
要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞〕，f〔x〕≤|x|恒成立，
那么只需要f〔﹣3〕≤|﹣3|=3，
即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，
当x＞0时，要使f〔x〕≤|x|恒成立，即f〔x〕=﹣x2+2x﹣2a，那么直线y=x的下方或在y=x上，
由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，
得a≥，
综上≤a≤2，
故答案为：[，2]．
【点评】此题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合．
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．〔13.00分〕己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
〔Ⅰ〕应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
〔Ⅱ〕设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
〔i〕试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
〔ii〕设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级〞，求事件M发生的概率．
【分析】〔Ⅰ〕利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．
〔Ⅱ〕〔i〕从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果．
〔ii〕设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级〞，利用列举法能求出事件M发生的概率．
【解答】解：〔Ⅰ〕由得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，
∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．
〔Ⅱ〕〔i〕从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，
{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，
{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个．
〔i〕设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，
来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，
M为事件“抽取的2名同学来自同一年级〞，
那么事件M包含的根本领件有：
{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个根本领件，
∴事件M发生的概率P〔M〕=．
【点评】此题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含根本领件数、古典概型及其概率计算公式等根底知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
16．〔13.00分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．bsinA=acos〔B﹣〕．
〔Ⅰ〕求角B的大小；
〔Ⅱ〕设a=2，c=3，求b和sin〔2A﹣B〕的值．
【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos〔B﹣〕．由此能求出B．
〔Ⅱ〕由余弦定理得b=，由bsinA=acos〔B﹣〕，得sinA=，cosA=，由此能求出sin〔2A﹣B〕．
【解答】解：〔Ⅰ〕在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，
又bsinA=acos〔B﹣〕．
∴asinB=acos〔B﹣〕，即sinB=cos〔B﹣〕=cosBcos+sinBsin=cosB+，
∴tanB=，
又B∈〔0，π〕，∴B=．
〔Ⅱ〕在△ABC中，a=2，c=3，B=，
由余弦定理得b==，由bsinA=acos〔B﹣〕，得sinA=，
∵a＜c，∴cosA=，
∴sin2A=2sinAcosA=，
cos2A=2cos2A﹣1=，
∴sin〔2A﹣B〕=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．
【点评】此题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
17．〔13.00分〕如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°．
〔Ⅰ〕求证：AD⊥BC；
〔Ⅱ〕求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
〔Ⅲ〕求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
【分析】〔Ⅰ〕由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，那么AD⊥BC；
〔Ⅱ〕取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN〔或其补角〕为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；
〔Ⅲ〕连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，那么∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
【解答】〔Ⅰ〕证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，
得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；
〔Ⅱ〕解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，
∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，
∴∠DMN〔或其补角〕为异面直线BC与MD所成角，
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=，
∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=．
∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为；
〔Ⅲ〕解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，
故CM⊥AB，CM=，
又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，
故CM⊥平面ABD，那么∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．
在Rt△CAD中，CD=，
在Rt△CMD中，sin∠CDM=．
∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．
【点评】此题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等根本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题．
18．〔13.00分〕设{an}是等差数列，其前n项和为Sn〔n∈N*〕；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn〔n∈N*〕．b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
〔Ⅰ〕求Sn和Tn；
〔Ⅱ〕假设Sn+〔T1+T2+……+Tn〕=an+4bn，求正整数n的值．
【分析】〔Ⅰ〕设等比数列{bn}的公比为q，由列式求得q，那么数列{bn}的通项公式与前n项和可求；等差数列{an}的公差为d，再由列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得Sn；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕求出T1+T2+……+Tn，代入Sn+〔T1+T2+……+Tn〕=an+4bn，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值．
【解答】解：〔Ⅰ〕设等比数列{bn}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2﹣q﹣2=0．
∵q＞0，可得q=2．
故，；
设等差数列{an}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，
由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，
∴a1=d=1．
故an=n，；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，可得T1+T2+……+Tn==2n+1﹣n﹣2．
由Sn+〔T1+T2+……+Tn〕=an+4bn，
可得，
整理得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=﹣1〔舍〕或n=4．
∴n的值为4．
【点评】此题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等根底知识，考查数列求和的根本方法及运算能力，是中档题．
19．〔14.00分〕设椭圆+=1〔a＞b＞0〕的右顶点为A，上顶点为B．椭圆的离心率为，|AB|=．
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕设直线l：y=kx〔k＜0〕与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．假设△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
【分析】〔1〕设椭圆的焦距为2c，由可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可．
〔Ⅱ〕设点P〔x1，y1〕，M〔x2，y2〕，〔x2＞x1＞0〕．那么Q〔﹣x1，﹣y1〕．
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x2﹣x1=2[x1﹣〔﹣x1〕]，x2=5x1，
联立方程求出由＞0.，可得k．
【解答】解：〔1〕设椭圆的焦距为2c，
由可得，又a2=b2+c2，
解得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为：，
〔Ⅱ〕设点P〔x1，y1〕，M〔x2，y2〕，〔x2＞x1＞0〕．那么Q〔﹣x1，﹣y1〕．
∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣〔﹣x1〕]，
∴x2=5x1，
易知直线AB的方程为：2x+3y=6．
由，可得＞0．
由，可得，
⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣．
由＞0．可得k，故k=﹣，
【点评】此题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
20．〔14.00分〕设函数f〔x〕=〔x﹣t1〕〔x﹣t2〕〔x﹣t3〕，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．
〔Ⅰ〕假设t2=0，d=1，求曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程；
〔Ⅱ〕假设d=3，求f〔x〕的极值；
〔Ⅲ〕假设曲线y=f〔x〕与直线y=﹣〔x﹣t2〕﹣6有三个互异的公共点，求d的取值范围．
【分析】〔Ⅰ〕求出t2=0，d=1时f〔x〕的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；
〔Ⅱ〕计算d=3时f〔x〕的导数，利用导数判断f〔x〕的单调性，求出f〔x〕的极值；
〔Ⅲ〕曲线y=f〔x〕与直线y=﹣〔x﹣t2〕﹣6有三个互异的公共点，
等价于关于x的方程f〔x〕+〔x﹣t2〕﹣6=0有三个互异的实数根，
利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围．
【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=〔x﹣t1〕〔x﹣t2〕〔x﹣t3〕，
t2=0，d=1时，f〔x〕=x〔x+1〕〔x﹣1〕=x3﹣x，
∴f′〔x〕=3x2﹣1，
f〔0〕=0，f′〔0〕=﹣1，
∴y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程为y﹣0=﹣1×〔x﹣0〕，
即x+y=0；
〔Ⅱ〕d=3时，f〔x〕=〔x﹣t2+3〕〔x﹣t2〕〔x﹣t2﹣3〕
=﹣9〔x﹣t2〕
=x3﹣3t2x2+〔3﹣9〕x﹣+9t2；
∴f′〔x〕=3x2﹣6t2x+3﹣9，
令f′〔x〕=0，解得x=t2﹣或x=t2+；
当x变化时，f′〔x〕，f〔x〕的变化情况如下表；
x
〔﹣∞，
t2﹣〕
t2﹣
〔t2﹣，
t2+〕
t2+
〔t2+，
+∞〕
f′〔x〕
+
0
﹣
0
+
f〔x〕
单调增
极大值
单调减
极小值
单调增
∴f〔x〕的极大值为f〔t2﹣〕=﹣9×〔﹣〕=6，
极小值为f〔t2+〕=﹣9×=﹣6；
〔Ⅲ〕曲线y=f〔x〕与直线y=﹣〔x﹣t2〕﹣6有三个互异的公共点，
等价于关于x的方程〔x﹣t2+d〕〔x﹣t2〕〔x﹣t2﹣d〕+〔x﹣t2〕﹣6=0有三个互异的实数根，
令u=x﹣t2，可得u3+〔1﹣d2〕u+6=0；
设函数g〔x〕=x3+〔1﹣d2〕x+6，那么
曲线y=f〔x〕与直线y=﹣〔x﹣t2〕﹣6有3个互异的公共点，
等价于函数y=g〔x〕有三个不同的零点；
又g′〔x〕=3x2+〔1﹣d2〕，
当d2≤1时，g′〔x〕≥0恒成立，此时g〔x〕在R上单调递增，不合题意；
当d2＞1时，令g′〔x〕=0，解得x1=﹣，x2=；
∴g〔x〕在〔﹣∞，x1〕上单调递增，在〔x1，x2〕上单调递减，
在〔x2，+∞〕上也单调递增；
∴g〔x〕的极大值为g〔x1〕=g〔﹣〕=+6＞0；
极小值为g〔x2〕=g〔〕=﹣+6；
假设g〔x2〕≥0，由g〔x〕的单调性可知，
函数g〔x〕至多有两个零点，不合题意；
假设g〔x2〕＜0，即＞27，解得|d|＞，
此时|d|＞x2，g〔|d|〕=|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1；
g〔﹣2|d|〕=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0，
从而由g〔x〕的单调性可知，
函数y=g〔x〕在区间〔﹣2|d|，x1〕，〔x1，x2〕，〔x2，|d|〕内各有一个零点，符合题意；
∴d的取值范围是〔﹣∞，﹣〕∪〔，+∞〕．
【点评】此题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题．