高优指导2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用13导数的概念及运算考点规范练文北师大版.doc

考点规范练13　导数的概念及运算
　考点规范练A册第8页　 
基础巩固组
1.已知函数f(x)=+1,则的值为(　　)

A.- B.1 C.2 D.0
答案:A
解析:=-
=-f'(1)=-=-.
2.(2015山东济宁模拟)已知f(x)=x(2 014+ln x),f'(x0)=2 015,则x0=(　　)
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
答案:B
解析:由题意可知f'(x)=2 014+ln x+x·=2 015+ln x.由f'(x0)=2 015,得ln x0=0,解得x0=1.
3.若曲线y=x2+ax+b在点P(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(　　)
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
答案:A
解析:由已知得y'=2x+a,且切线斜率k=y'|x=0=a=1.又切线过点(0,b),故0-b+1=0,得b=1.综上知a=1,b=1.
4.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是(　　)
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0
答案:B
解析:由函数y=f(x)为奇函数,在[0,+∞)上,
得f(x)=-x2+x,切点为(1,0).
∵y'=-2x+1,∴y'|x=1=-1,
故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.
5.设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为(　　)
A.y=3x+1 B.y=-3x
C.y=-3x+1 D.y=3x-3
答案:B
解析:f'(x)=3x2+2ax+(a-3),又f'(x)为偶函数,则a=0,
所以f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,故f'(0)=-3,
故所求的切线方程为y=-3x.
6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于(　　)
A.-8 B.-6 C.-1 D.5
答案:A
解析:由题意得y=kx+1过点A(1,2),
∴2=k+1,即k=1.
∵y'=3x2+a,又因直线y=kx+1与曲线相切于点A(1,2),
∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.
将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,
∴ab=(-2)3=-8.故选A.
7.若函数f(x)=x3-f'(-1)·x2+x+5,则f'(1)=　　　　　. 
答案:6
解析:因为f(x)=x3-f'(-1)·x2+x+5,
所以f'(x)=x2-2f'(-1)·x+1.
将x=-1代入上式得f'(-1)=1+2f'(-1)+1,
故f'(-1)=-2.再令x=1,得f'(1)=6.
8.(2015江西九江模拟)已知直线ax-by-3=0与f(x)=xex在点P(1,e)处的切线互相垂直,则=　　　　　. 
答案:-
解析:对函数f(x)=xex求导可得f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex(x+1),
则在点P(1,e)处的切线的斜率为k=f'(1)=e1×(1+1)=2e,又直线与它垂直,则有=-.
9.(2015河北邯郸二模)曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于　　　　　. 
答案:log2e
解析:∵y'=,∴k=,
∴切线方程为y=(x-1),
∴三角形面积为S△=×1×log2e.
10.(2015山东临沂一模)已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图像为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
解:(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,
则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,
解得-1≤k<0或k≥1,
故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,
得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).〚导学号32470435〛
能力提升组
11.下面四个图像中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图像,则f(-1)=(　　)

A. B.-
C. D.-〚导学号32470436〛
答案:D
解析:∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,
∴f'(x)的图像开口向上,则②④排除.若f'(x)的图像为①,此时a=0,f(-1)=;若f'(x)的图像为③,此时a2-1=0,又对称轴x=-a>0.∴a=-1,∴f(-1)=-.
12.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.〚导学号32470437〛
答案:D
解析:∵y=,
∴y'=
==-1,
当且仅当ex=,即x=0时,“=”成立.
又y'<0,∴-1≤y'<0.
∵切线的倾斜角为α,则-1≤tan α<0.
又α∈[0,π),∴≤α<π,故选D.
13.(2015浙江宁波四中月考)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))'.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是　　　　　(把你认为正确的序号都填上). 
①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x;③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex.〚导学号32470438〛
答案:①②③
解析:①中,f'(x)=cos x-sin x,f″(x)=-sin x-cos x=-sin<0在区间上恒成立;②中,f'(x)=-2(x>0),f″(x)=-<0在区间上恒成立;③中,f'(x)=-3x2+2,f″(x)=-6x在区间上恒小于0.故①②③为凸函数.④中,f'(x)=ex+xex,f″(x)=2ex+xex=ex(x+2)>0在区间上恒成立,故④中函数不是凸函数.
14.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和是　　　　　.〚导学号32470439〛 
答案:-2
解析:∵y=xn(1-x),
∴y'=(xn)'(1-x)+(1-x)'·xn=n·xn-1(1-x)-xn.
令f'(x)=n·xn-1(1-x)-xn,
可得f'(2)=-n·2n-1-2n=(-n-2)·2n-1.
又∵曲线在x=2处的点的纵坐标为-2n,
∴切线方程为y+2n=(-n-2)·2n-1·(x-2).
令x=0,得y=(n+1)·2n,
故an=(n+1)·2n,即=2n.
因此,数列的前n项和为=2n+1-2.
15.已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
解:(1)∵f(2)=23+2-16=-6,∴点(2,-6)在曲线上.
∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴在点(2,-6)处的切线的斜率k=f'(2)=3×22+1=13.
∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.
(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0)=3+1,
∴直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16.
又∵直线l过点(0,0),
∴0=(3+1)(-x0)++x0-16.
整理得=-8,
∴x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,
∴k=3(-2)2+1=13,
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
(3)∵切线与直线y=-+3垂直,
∴斜率k=4.
∴设切点为(x0,y0),则f'(x0)=3+1=4,
∴x0=±1,
∴
切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,
即y=4x-18或y=4x-14.〚导学号32470440〛

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