高优指导2021版高考数学一轮复习第八章立体几何36空间图形的基本关系与公理考点规范练文北师大版.doc

考点规范练36空间图形的基本关系与公理考点规范练B册第26页基础巩固组1.如图,=l,A,B,C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案:D解析:AB,MAB,M.又=l,Ml,M.根据公理3可知,M在与的交线上,同理可知,点C也在与的交线上.2.在空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是() A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案:D解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1l2,l2l3.若取l4为A1D1,则有l1l4;若取l4为DD1,则有l1l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.3.已知直线a和平面,那么a的一个充分条件是()A.存在一条直线b,ab且bB.存在一条直线b,ab且bC.存在一个平面,a且D.存在一个平面,a且答案:C4.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.(1,)D.(1,)导学号32470793答案:A解析:此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于.5.(2015湖北,文5)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件导学号32470794答案:A解析:l1,l2是异面直线l1,l2不相交,即pq;而l1,l2不相交l1,l2是异面直线,即qp.故p是q的充分条件,但不是q的必要条件.6.(2015河北唐山三模)异面直线l与m所成角为,异面直线l与n所成角为,则异面直线m与n所成角的范围是()A.B.C.D.导学号32470795答案:A解析:设m,n所成的角为,如图所示,将异面直线l,m,n平移到相交于一点,固定l,m,易得n的轨迹为圆锥侧面,从而可知.又因为两异面直线所成角的范围为,所以,故选A.7.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是.答案:0解析:ab,bc,a与c可以相交、平行、异面,故错.a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面、相交、平行,故错.由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面、相交、平行,故错.同理错,故真命题的个数为0.8.用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a,b,则ab;若a,b,则ab;若ab,bc,则ac;若abc,则a,b,c共面.其中真命题的序号是.答案:解析:由平行线的传递性(公理4)知正确.举反例:图1如图1,在同一平面内,ab,bc,有ac.举反例:图2如图2中的长方体,a,b,但a与b相交.垂直于同一平面的两直线互相平行,知正确.显然正确.由三棱柱的三条侧棱知错.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.证明:(1)如图所示.因为EF是D1B1C1的中位线,所以EFB1D1.又在正方体AC1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)正方体AC1中,设平面ACC1A1为,平面DBFE为.因为QA1C1,所以Q,又QEF,所以Q,则Q是与的公共点,同理,P是与的公共点,所以=PQ.又A1C=R,所以RA1C,R且R,则RPQ,故P,Q,R三点共线.10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)几何体A1GH-ABC是三棱台;(3)平面EFA1平面BCHG.证明:(1)GH是A1B1C1的中位线,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四点共面.(2)A1G􀱀AB,AA1与BG必相交,设交点为P,则.同理设CHAA1=Q,则.P与Q重合,即三条直线AA1,GB,CH相交于一点.又由棱柱的性质知平面A1GH平面ABC,几何体A1GH-ABC为棱台.(3)E,F分别为AB,AC的中点,EFBC,EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.A1G􀱀EB,四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB.A1E平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.能力提升组11.如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是()A.B.C.D.导学号32470796答案:C解析:点M不在B1C1上,由B1C1与点M可确定唯一平面B1C1M,设此平面与AA1交点为N,则N为AA1中点,在平面ABB1A1内,B1N与BA必相交,设交点为Q,则QM与B1C1一定不平行,QM与AB,B1C1都相交,由作法知,这样的直线QM有且仅有一条,是真命题;ABA1B1,A1B1与B1C1相交确定一个平面A1B1C1D1,过点M作平面A1B1C1D1的垂线唯一,过M作MEDC,交CC1于E,DCAB,MEAB;过M作MFA1D1,交AA1于F,A1D1B1C1,MFB1C1,AB与B1C1都与平面MEF平行,由作法知,这样的平面MEF有且仅有一个,故选C.12.若空间三条直线a,b,c满足ab,bc,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直答案:D解析:两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选D.13.(2015广东,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5导学号32470797答案:B解析:特殊值法.当n=3时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故n=3符合;当n=4时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故n=4符合.由此可以排除选项A,C,D.故选B.14.已知m,n,l为不同直线,为不同平面,给出下列命题,其中真命题的序号是(填上所有真命题的序号).m,n,mn;m,nmn;m与l异面,n与l异面m与n异面;m与l共面,n与l共面m与n共面.答案:解析:mn,故为真命题;mn,故为真命题;如图,在长方体中,m与l异面,n1,n2,n3都与l异面,但n2与m相交,n1与m异面,n3与m平行,故为假命题;如图,在长方体中,m与l共面,n与l共面,但m与n异面,故为假命题.15.四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.(1)解:由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1,AD平面BDC.四面体体积V=221=.(2)证明:BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH.FGEH.同理EFAD,HGAD,EFHG.四边形EFGH是平行四边形.又AD平面BDC,ADBC.EFFG.四边形EFGH是矩形.导学号3247079816.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF.(1)求证:EFA1C1;(2)在棱C1C上确定一点G,使A,E,G,F四点共面,并求此时C1G的长.(1)证明:如图所示,连接B1D1.图ABCD-A1B1C1D1为正方体,四边形A1B1C1D1为正方形.A1C1B1D1,BB1平面A1B1C1D1,A1C1BB1.B1D1BB1=B1,A1C1平面BB1D1D.EF平面BB1D1D,EFA1C1.(2)解:如图所示,假设A,E,G,F四点共面,则A,E,G,F四点确定平面AEGF,图ABCD-A1B1C1D1为正方体,平面AA1D1D平面BB1C1C.平面AEGF平面AA1D1D=AE,平面AEGF平面BB1C1C=GF,由平面与平面平行的性质定理得AEGF,同理可得AFGE,因此四边形AEGF为平行四边形,GF=AE.在RtADE中,AD=a,DE=DD1=,ADE=90,由勾股定理得AE=a.在直角梯形B1C1GF中,下底B1F=BB1=a,腰B1C1=a,GF=AE=a,由勾股定理可得GF=a,结合图形可知C1GB1F,解得C1G=a.6