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考点规范练35 空间几何体的表面积与体积
考点规范练A册第26页
基础巩固组
1.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( )
A.4π B.3π C.2π D.π
答案:C
解析:由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为1,其侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.
2.(2015安徽,文9)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )
A.1+ B.1+2 C.2+ D.2
答案:C
解析:
由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+.
3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )
A.π B.4π C.4π D.6π〚导学号32470497〛
答案:B
解析:如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,
则OO'=,O'M=1,
∴OM=,即球的半径为.
∴V=π()3=4π.
4.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.8-2π B.8-π C.8- D.8-
答案:B
解析:由三视图知,该几何体为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的圆柱,所以该几何体的体积为23-2×π×12×2×=8-π.
5.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )
A. B.4π C.2π D.
答案:D
解析:因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,
所以半径r==1,
所以V球=×13=.故选D.
6.(2015课标全国Ⅰ,文6)
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛〚导学号32470498〛
答案:B
解析:设圆锥的底面半径为R,高为h.
∵米堆底部的弧长为8尺,∴·2πR=8,∴R=.
∵h=5,
∴米堆的体积V=πR2h=×π××5.
∵π≈3,∴V≈(立方尺).
∴堆放的米约有≈22(斛).
7.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2= .
答案:1∶24
解析:设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h,底面三角形ABC的面积为S,则V1=S·h=Sh=V2,
即V1∶V2=1∶24.
8.(2015上海,文6)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a= .〚导学号32470499〛
答案:4
解析:依题意,×a×a××a=16,解得a=4.
9.(2015天津,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.
答案:
解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,左、右两边是两个相同的圆锥,底面半径为1,高为1;中间是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以该几何体的体积V=2××π×12×1+π×12×2=+2π=.
10.(2015四川,文14)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是 .
答案:
解析:由题意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示.
其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.
∵M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,
∴MN=,NP=1.∴S△MNP=×1=.
∵点A1到平面MNP的距离为AM=,
∴.
11.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm):
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2)求这个几何体的表面积和体积.
解:(1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.
由PA1=PD1= cm,A1D1=AD=2 cm,可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×+2××()2=22+4(cm2),体积V=23+×()2×2=10(cm3).
12.
一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为1的平行四边形,左视图是一个长为、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的表面积S.
解:(1)由三视图可知,该几何体是一个斜四棱柱(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=1×1×.
(2)由三视图可知,该四棱柱中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,
所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.
S=2×(1×1+1×+1×2)=6+2.
能力提升组
13.具有如图所示的主视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为( )
A.3 B.7+3 C.π D.14
答案:D
解析:由主视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2×(1×3+1×1+3×1)=14.
14.
如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( )
A. B. C. D.〚导学号32470500〛
答案:A
解析:如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,
∴S△AGD=S△BHC=×1=.
∴V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC
=2VE-ADG+VAGD-BHC
=×2+×1=.
15.已知球的直径SC=4,A,B是该球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( )
A.3 B.2 C. D.1〚导学号32470501〛
答案:C
解析:
如图所示,由题意知,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,其中AB=,SC=4,所以SA=SB=2,AC=BC=2,作BD⊥SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此VS-ABC=×()2×4=.
16.(2015重庆,文5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.+2π B. C. D.
答案:B
解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其中左边是半个圆锥,底面半径为1,高为1,所以其体积V1=π·12·1·;右边是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以其体积V2=π·12·2=2π,故该几何体的体积为V=V1+V2=+2π=.
17.
如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.
(1)求证:CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.
解:(方法一)(1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⫋平面BCD,∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⫋平面ABD,BD⫋平面ABD,
∴CD⊥平面ABD.
(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD,
∵AB=BD=1,∴S△ABD=.
∵M是AD的中点,∴S△ABM=S△ABD=.
由(1)知,CD⊥平面ABD,
∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,
因此三棱锥A-MBC的体积
VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=.
(方法二)(1)同方法一.
(2)由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,
又平面ABD∩平面BCD=BD,
如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,
则MN⊥平面BCD,
且MN=AB=.
又CD⊥BD,BD=CD=1,
∴S△BCD=.
∴三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=AB·S△BCD-MN·S△BCD=.
18.
(2015课标全国Ⅱ,文19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解:(1)交线围成的正方形EHGF如图.
(2)作EM⊥AB,垂足为M,
则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,AH=10,HB=6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.
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