高优指导2021版高考数学一轮复习第十一章概率51古典概型考点规范练文北师大版.doc

考点规范练51　古典概型
　考点规范练A册第40页　 
基础巩固组
1.(2015浙江金丽衢联考)4张卡上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为(　　)

A. B. C. D.
答案:B
解析:因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种.其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3),(2,4)共2种,所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为.
2.(2015武汉调研)同时抛掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案:C
解析:同时抛掷两个骰子,基本事件总数为36,记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A,则事件A包含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共4个,故P(A)=.
3.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案:B
解析:依题意,以(x,y)为坐标的点共6×6=36个,其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率P=.
4.(2015广东,文7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(　　)
A.0.4 B.0.6
C.0.8 D.1
答案:B
解析:设正品分别为A1,A2,A3,次品分别为B1,B2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P==0.6.
5.在平面直角坐标系xOy中,不等式组表示的平面区域为W,从W中随机取点M(x,y).若x∈Z,y∈Z,则点M位于第二象限的概率为(　　)
A. B.
C.1- D.1-〚导学号32470538〛
答案:A
解析:画出平面区域,列出平面区域内的整数点有:(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共12个,其中位于第二象限的有(-1,1),(-1,2),共2个,所以所求概率P=.
6.(2015山东威海一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为(　　)
A. B.
C. D.〚导学号32470539〛
答案:A
解析:由题意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.
因为m⊥n,即m·n=0,所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,
满足条件的有(3,3),(5,5)共2个,故所求的概率为.
7.连掷骰子两次得到的点数分别记为a和b,则使直线3x-4y=0与圆(x-a)2-(y-b)2=4相切的概率为　　　　　. 
答案:
解析:连掷骰子两次总的试验结果有36种,要使直线3x-4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=4相切,
则=2,即满足|3a-4b|=10,符合题意的(a,b)有(6,2),(2,4),共2种,由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P=.
8.(2015北京西城区模拟)曲线C的方程为=1,其中m,n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,如果事件A为“方程=1表示焦点在x轴上的椭圆”,那么P(A)=　　　　　.〚导学号32470540〛 
答案:
解析:试验中所含基本事件个数为36,若想表示椭圆,则先后两次的骰子点数不能相同,则去掉6种可能,既然椭圆焦点在x轴上,则m>n,又只剩下一半情况,即有15种,因此P(A)=.
9.(2015湖南,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.
(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.
解:(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.
(2)不正确.理由如下:
由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为1-.故这种说法不正确.
10.(2015天津,文15)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①用所给编号列出所有可能的结果;
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
解:(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.
因此,事件A发生的概率P(A)=.
11.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c

(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;
(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2,现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
解:(1)抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,则b==0.15.
等级系数为5的恰有2件,则c==0.1.
由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,
则a=0.35-b-c=0.1.
故a=0.1,b=0.15,c=0.1.
(2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取2件,所有可能情况是:{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}.共10个基本事件.
设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共4个.
故所求的概率P(A)==0.4.
能力提升组
12.(2015东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A. B. C. D.〚导学号32470541〛
答案:D
解析:任意找两人玩这个游戏,共有6×6=36种猜数字结果,其中满足|a-b|≤1的有如下情形:
①若a=1,则b=1,2;②若a=2,则b=1,2,3;③若a=3,则b=2,3,4;④若a=4,则b=3,4,5;⑤若a=5,则b=4,5,6;⑥若a=6,则b=5,6,总共16种,故他们“心有灵犀”的概率为P=.
13.(2015江西景德镇模拟)设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为(　　)
A. B. C. D.〚导学号32470542〛
答案:C
解析:因为f(x)=x3+ax-b,所以f'(x)=3x2+a.
因为a∈{1,2,3,4},所以f'(x)>0,
所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.
若存在零点,则f(1)f(2)≤0,解得a+1≤b≤8+2a.
因此,可使函数在区间[1,2]上有零点的有:
a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8共有3种情况;
a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12共有3种情况;
a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12共有3种情况;
a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12共有2种情况.
所以有零点共有3+3+3+2=11种情况.
而构成函数共有4×4=16个,
根据古典概型可得有零点的概率为.
14.(2015四川绵阳诊断)

如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为　　　　　. 
答案:0.3
解析:依题意,记题中的被污损数字为x,若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)≤0,x≥7,即此时x的可能取值是7,8,9,因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P==0.3.
15.将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求:
(1)两数中至少有一个奇数的概率;
(2)以第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率.
解:由题意,先后掷2次,向上的点数(x,y)共有6×6=36种等可能结果,为古典概型.
(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B,则事件B与“两数均为偶数”为对立事件,记为.
∵事件包含的基本事件数为3×3=9,
∴P()=,
∴P(B)=1-P()=,因此,两数中至少有一个奇数的概率为.
(2)点(x,y)在圆x2+y2=15的内部记为事件C,则表示“点(x,y)在圆x2+y2=15上或圆的外部”.
又事件C包含基本事件:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共有8个,∴P(C)=,
∴P()=1-P(C)=1-.
∴点(x,y)在圆x2+y2=15外部或圆上的概率为.

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